4.6: Квадратна потенційна свердловина

Розглянемо частинку маси$m$ і енергії, що$E$ взаємодіють з простою квадратною потенційною ямою

\ begin {рівняння} V (x) =\ left\ {\ begin {масив} {ll}
-V_ {0} &\ текст {для} -а/2\ leq x\ leq a/2\ leq a/2\\
0 &\ text {інакше}
\ кінець {масив}\ право. \ end {рівняння}

Тепер, якщо$E>0$ тоді частка необмежена. Таким чином, при зіткненні частинки з колодязем вона або відбивається, або передається. Як легко продемонструвати, ймовірності відображення та передачі задаються рівняннями ([e5.28]) та ([e5.29]) відповідно, де

$$\begin{aligned} k^{\,2}&= \frac{2\,m\,E}{\hbar^{\,2}},\\[0.5ex] q^{\,2} &= \frac{2\,m\,(E+V_0)}{\hbar^{\,2}}.\end{aligned}$$

Припустимо, однак, що$E<0$. При цьому частка обмежена (тобто$|\psi|^{\,2}\rightarrow 0$ як$|x|\rightarrow\infty$). Чи можна знайти обмежені розв'язки рівняння Шредінгера в скінченній квадратній потенційній ямі ([e5.71])?

Тепер легко помітити, що незалежні розв'язки рівняння Шредінгера ([e5.2]) в симетричному [тобто$V(-x)=V(x)$] потенціалі ([e5.71]) повинні бути або повністю симетричними [тобто,$\psi(-x)=\psi(x)$], або повністю антисиметричними [тобто,$\psi(-x) =-\psi(x)$]. Крім того, розв'язки повинні задовольняти граничній умові\ begin {рівняння}\ psi\ rightarrow 0\ quad\ text {as} |x|\ rightarrow\ infty\ end {рівняння}

Давайте, перш за все, шукаємо абсолютно симетричне рішення. У області ліворуч від свердловини (тобто$x<-a/2$) розв'язок рівняння Шредінгера, яке задовольняє граничній умові$\psi\rightarrow 0$ і$x\rightarrow-\infty$ є

$$\psi(x) = A\,{\rm e}^{\,k\,x},$$ де $$k^{\,2} = \frac{2\,m\,|E|}{\hbar^{\,2}}.$$ За симетрією розв'язком в області праворуч від свердловини (тобто$x>a/2$) є $$\psi(x) = A\,{\rm e}^{-k\,x}.$$ Рішення всередині свердловини (тобто$|x|\leq a/2$), яке$\psi(-x)=\psi(x)$ задовольняє обмеженню симетрії, $$\psi(x) = B\,\cos(q\,x),$$ де $$q^{\,2} = \frac{2\,m\,(V_0+E)}{\hbar^{\,2}}.$$ Тут ми припустили, що$E> -V_0$. Обмеження, яке$\psi(x)$ і його перша похідна є неперервними по краях свердловини (тобто в$x=\pm a/2$) дає $$\label{e5.81} k = q\,\tan(q\,a/2).$$

Нехай$y= q\,a/2$. Звідси випливає, що

$$E = E_0\,y^{\,2} - V_0,$$ там, де $$E_0 = \frac{2\,\hbar^{\,2}}{m\,a^{\,2}}.$$ Крім того, Equation ([e5.81]) стає $$\label{e5.84} \frac{\sqrt{\lambda-y^{\,2}}}{y} = \tan y,$$ з $$\lambda = \frac{V_0}{E_0}.$$ Тут,$y$ повинні лежати в діапазоні$0< y< \sqrt{\lambda}$: тобто$E$ повинні лежати в діапазоні$-V_0< E < 0$.

Тепер розв'язки Рівняння ([e5.84]) відповідають перетину кривої$\sqrt{\lambda - y^{\,2}}/y$ з кривою$\tan y$. Рисунок [добре] показує ці дві криві, побудовані для певного значення$\lambda$. При цьому криві перетинаються двічі, вказуючи на існування двох абсолютно симетричних зв'язаних станів в свердловині. Більш того, з малюнка видно, що зі$\lambda$ збільшенням (тобто у міру того, як свердловина стає глибше) з'являється все більше і більше зв'язаних станів. Однак також очевидно, що завжди є хоча б один абсолютно симетричний пов'язаний стан, незалежно від того, наскільки маленьким$\lambda$ стає (тобто незалежно від того, наскільки неглибоким стає колодязь). У межі$\lambda\gg 1$ (тобто межі, в якій свердловина стає дуже глибокою), розв'язки рівняння ([e5.84]) асимптоті до коренів$\tan y =\infty$. Це дає$y = (2\,j-1)\,\pi/2$, де$j$ є додатне ціле число, або

$$q = \frac{(2\,j-1)\,\pi}{a}.$$ Ці розв'язки еквівалентні непарним$n$ нескінченним розв'язкам квадратних свердловин, заданих рівнянням ([e5.8]).

Для випадку повністю антисиметричного зв'язаного стану, подібний до попереднього аналізу дає

$$\label{e5.85} -\frac{y}{\sqrt{\lambda-y^{\,2}}} = \tan y.$$ Розв'язки цього рівняння відповідають перетину кривої$\tan y$ з кривою$-y/\sqrt{\lambda-y^{\,2}}$. Рисунок [well1] показує ці дві криві, побудовані для того$\lambda$ ж значення, яке використовується на малюнку [добре]. При цьому криві перетинаються один раз, вказуючи на існування єдиного повністю антисиметричного зв'язаного стану в свердловині. Це, знову ж таки, видно з малюнка, що зі$\lambda$ збільшенням (тобто у міру того, як свердловина стає глибше) з'являється все більше і більше зв'язаних станів. Однак також очевидно, що коли$\lambda$ стає досить малим [тобто$\lambda < (\pi/2)^{\,2}$], тоді не існує абсолютно антисиметричного зв'язаного стану. Іншими словами, дуже дрібна потенційна свердловина завжди має повністю симетричний зв'язаний стан, але, як правило, не має повністю антисиметричного пов'язаного стану. У межі$\lambda\gg 1$ (тобто межі, в якій свердловина стає дуже глибокою), розв'язки рівняння ([e5.85]) асимптоті до коренів$\tan y =0$. Це дає$y = j\,\pi$, де$j$ є додатне ціле число, або $$q = \frac{2\,j\,\pi}{a}.$$ Ці розв'язки еквівалентні парним$n$ нескінченним розв'язкам квадратних свердловин, заданих рівнянням ([e5.8]).

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick