4.6: Квадратна потенційна свердловина
- Page ID
- 76894
Розглянемо частинку маси\(m\) і енергії, що\(E\) взаємодіють з простою квадратною потенційною ямою
\ begin {рівняння} V (x) =\ left\ {\ begin {масив} {ll}
-V_ {0} &\ текст {для} -а/2\ leq x\ leq a/2\ leq a/2\\
0 &\ text {інакше}
\ кінець {масив}\ право. \ end {рівняння}
Тепер, якщо\(E>0\) тоді частка необмежена. Таким чином, при зіткненні частинки з колодязем вона або відбивається, або передається. Як легко продемонструвати, ймовірності відображення та передачі задаються рівняннями ([e5.28]) та ([e5.29]) відповідно, де\[\begin{aligned} k^{\,2}&= \frac{2\,m\,E}{\hbar^{\,2}},\\[0.5ex] q^{\,2} &= \frac{2\,m\,(E+V_0)}{\hbar^{\,2}}.\end{aligned}\]
Припустимо, однак, що\(E<0\). При цьому частка обмежена (тобто\(|\psi|^{\,2}\rightarrow 0\) як\(|x|\rightarrow\infty\)). Чи можна знайти обмежені розв'язки рівняння Шредінгера в скінченній квадратній потенційній ямі ([e5.71])?
Тепер легко помітити, що незалежні розв'язки рівняння Шредінгера ([e5.2]) в симетричному [тобто\(V(-x)=V(x)\)] потенціалі ([e5.71]) повинні бути або повністю симетричними [тобто,\(\psi(-x)=\psi(x)\)], або повністю антисиметричними [тобто,\(\psi(-x) =-\psi(x)\)]. Крім того, розв'язки повинні задовольняти граничній умові\ begin {рівняння}\ psi\ rightarrow 0\ quad\ text {as} |x|\ rightarrow\ infty\ end {рівняння}
Давайте, перш за все, шукаємо абсолютно симетричне рішення. У області ліворуч від свердловини (тобто\(x<-a/2\)) розв'язок рівняння Шредінгера, яке задовольняє граничній умові\(\psi\rightarrow 0\) і\(x\rightarrow-\infty\) є\[\psi(x) = A\,{\rm e}^{\,k\,x},\] де\[k^{\,2} = \frac{2\,m\,|E|}{\hbar^{\,2}}.\] За симетрією розв'язком в області праворуч від свердловини (тобто\(x>a/2\)) є \[\psi(x) = A\,{\rm e}^{-k\,x}.\]Рішення всередині свердловини (тобто\(|x|\leq a/2\)), яке\(\psi(-x)=\psi(x)\) задовольняє обмеженню симетрії,\[\psi(x) = B\,\cos(q\,x),\] де\[q^{\,2} = \frac{2\,m\,(V_0+E)}{\hbar^{\,2}}.\] Тут ми припустили, що\(E> -V_0\). Обмеження, яке\(\psi(x)\) і його перша похідна є неперервними по краях свердловини (тобто в\(x=\pm a/2\)) дає \[\label{e5.81} k = q\,\tan(q\,a/2).\]
Нехай\(y= q\,a/2\). Звідси випливає, що\[E = E_0\,y^{\,2} - V_0,\] там, де\[E_0 = \frac{2\,\hbar^{\,2}}{m\,a^{\,2}}.\] Крім того, Equation ([e5.81]) стає \[\label{e5.84} \frac{\sqrt{\lambda-y^{\,2}}}{y} = \tan y,\]з\[\lambda = \frac{V_0}{E_0}.\] Тут,\(y\) повинні лежати в діапазоні\(0< y< \sqrt{\lambda}\): тобто\(E\) повинні лежати в діапазоні\(-V_0< E < 0\).
Тепер розв'язки Рівняння ([e5.84]) відповідають перетину кривої\(\sqrt{\lambda - y^{\,2}}/y\) з кривою\(\tan y\). Рисунок [добре] показує ці дві криві, побудовані для певного значення\(\lambda\). При цьому криві перетинаються двічі, вказуючи на існування двох абсолютно симетричних зв'язаних станів в свердловині. Більш того, з малюнка видно, що зі\(\lambda\) збільшенням (тобто у міру того, як свердловина стає глибше) з'являється все більше і більше зв'язаних станів. Однак також очевидно, що завжди є хоча б один абсолютно симетричний пов'язаний стан, незалежно від того, наскільки маленьким\(\lambda\) стає (тобто незалежно від того, наскільки неглибоким стає колодязь). У межі\(\lambda\gg 1\) (тобто межі, в якій свердловина стає дуже глибокою), розв'язки рівняння ([e5.84]) асимптоті до коренів\(\tan y =\infty\). Це дає\(y = (2\,j-1)\,\pi/2\), де\(j\) є додатне ціле число, або\[q = \frac{(2\,j-1)\,\pi}{a}.\] Ці розв'язки еквівалентні непарним\(n\) нескінченним розв'язкам квадратних свердловин, заданих рівнянням ([e5.8]).
Для випадку повністю антисиметричного зв'язаного стану, подібний до попереднього аналізу дає \[\label{e5.85} -\frac{y}{\sqrt{\lambda-y^{\,2}}} = \tan y.\]Розв'язки цього рівняння відповідають перетину кривої\(\tan y\) з кривою\(-y/\sqrt{\lambda-y^{\,2}}\). Рисунок [well1] показує ці дві криві, побудовані для того\(\lambda\) ж значення, яке використовується на малюнку [добре]. При цьому криві перетинаються один раз, вказуючи на існування єдиного повністю антисиметричного зв'язаного стану в свердловині. Це, знову ж таки, видно з малюнка, що зі\(\lambda\) збільшенням (тобто у міру того, як свердловина стає глибше) з'являється все більше і більше зв'язаних станів. Однак також очевидно, що коли\(\lambda\) стає досить малим [тобто\(\lambda < (\pi/2)^{\,2}\)], тоді не існує абсолютно антисиметричного зв'язаного стану. Іншими словами, дуже дрібна потенційна свердловина завжди має повністю симетричний зв'язаний стан, але, як правило, не має повністю антисиметричного пов'язаного стану. У межі\(\lambda\gg 1\) (тобто межі, в якій свердловина стає дуже глибокою), розв'язки рівняння ([e5.85]) асимптоті до коренів\(\tan y =0\). Це дає\(y = j\,\pi\), де\(j\) є додатне ціле число, або\[q = \frac{2\,j\,\pi}{a}.\] Ці розв'язки еквівалентні парним\(n\) нескінченним розв'язкам квадратних свердловин, заданих рівнянням ([e5.8]).