4.3: Наближення WKB
- Page ID
- 76884
Розглянемо частинку маси\(m\) і енергії,\(E>0\) що рухаються через деякий повільно змінюється потенціал\(V(x)\). Хвильова функція частинки задовольняє \[\label{e5.38} \frac{d^{\,2}\psi(x)}{dx^{\,2}} = - k^{\,2}(x)\,\psi(x),\]де\[k^{\,2}(x) = \frac{2\,m\,[E-V(x)]}{\hbar^2}.\] Спробуємо розв'язку Рівняння ([e5.38]) виду, \[\label{e5.40} \psi(x) = \psi_0\,\exp\left(\int_0^x{\rm i}\,k(x')\,dx'\right),\]де\(\psi_0\) є комплексна константа. Зауважте, що це рішення являє собою частинку, що поширюється в позитивному\(x\) напрямку [оскільки повна хвильова функція множиться на\(\exp(-{\rm i}\,\omega\,t)\), де\(\omega=E/\hbar>0\)] з безперервно мінливим хвильовим числом\(k(x)\). Звідси випливає, що\[\frac{d\psi(x)}{dx} = {\rm i}\,k(x)\,\psi(x),\] і \[\label{e5.42} \frac{d^{\,2}\psi(x)}{dx^{\,2}} = {\rm i}\,k'(x)\,\psi(x) - k^{\,2}(x)\,\psi(x),\]де\(k'\equiv dk/dx\). Порівняння рівнянь ([e5.38]) і ([e5.42]) показує, що рівняння ([e5.40]) являє собою наближене рішення рівняння ([e5.38]) за умови, що перший член праворуч є незначним порівняно з другим. Це дає критерій валідності\(|k'|\ll k^{\,2}\), або \[\label{e5.43} \frac{k}{|k'|}\gg k^{-1}.\]Іншими словами, шкала довжини варіації\(k(x)\), яка приблизно така ж, як і шкала довжини варіації\(V(x)\), повинна бути набагато більшою, ніж довжина хвилі частинки де Броля (яка є порядком\(k^{-1}\)) . Припустимо, що це так. До речі, наближення, яке бере участь у скиданні першого члена з правого боку Рівняння ([e5.42]), загальновідоме як наближення WKB після Г. Венцеля, Х.А. Крамерса та Л.Бріллуен. Аналогічно, Рівняння ([e5.40]) називається рішенням WKB.
Згідно з рішенням WKB ([e5.40]) щільність ймовірності залишається постійною: тобто до тих пір,\[|\psi(x)|^{\,2} = |\psi_0|^{\,2},\] поки частинка рухається через область, в якій\(E>V(x)\), і, отже,\(k(x)\) є реальною (тобто дозволеною областю згідно класичної фізики). Припустимо, однак, що частинка стикається з потенційним бар'єром (тобто областю, з якої частинка виключена за класичною фізикою). За визначенням,\(E<V(x)\) всередині такий бар'єр, а\(k(x)\) отже, і уявний. Нехай бар'єр простягається від\(x=x_1\) до\(x_2\), куди\(0<x_1<x_2\). Рішення WKB всередині бар'єру написано \[\label{e5.45} \psi(x) = \psi_1\,\exp\left(-\int_{x_1}^x |k(x')|\,dx'\right),\]де\[\psi_1=\psi_0\,\exp\left(\int_0^{x_1}{\rm i}\,k(x')\,dx'\right).\] Тут ми знехтували нефізичним експоненціально зростаючим рішенням.
Згідно з рішенням WKB ([e5.45]) щільність ймовірності розпадається експоненціально всередині бар'єру:\(|\psi_1|^{\,2}\) тобто\[|\psi(x)|^{\,2} = |\psi_1|^{\,2}\,\exp\left(-2\,\int_{x_1}^x |k(x')|\,dx'\right),\] де щільність ймовірності в лівій частині бар'єру (тобто\(x=x_1\)). Звідси випливає, що щільність ймовірності в правій частині бар'єру (тобто\(x=x_2\))\[|\psi_2|^{\,2} = |\psi_1|^{\,2}\,\exp\left(-2\,\int_{x_1}^{x_2} |k(x')|\,dx'\right).\] Зауважте, що\(|\psi_2|^{\,2} < |\psi_1|^{\,2}\). Звичайно, в області праворуч від бар'єру (тобто\(x>x_2\)) щільність ймовірності приймає постійну величину\(|\psi_2|^{\,2}\).
Ми можемо інтерпретувати співвідношення щільності ймовірності праворуч і ліворуч від потенційного бар'єру як ймовірність того, що частка\(|T|^{\,2}\), що падає зліва, буде тунелем через бар'єр і виникати з іншого боку: тобто \[\label{e5.49} |T|^{\,2} = \frac{|\psi_2|^{\,2}}{|\psi_1|^{\,2}} = \exp\left(-2\,\int_{x_1}^{x_2} |k(x')|\,dx'\right).\](Див. Розділ 1.3.) Легко продемонструвати, що ймовірність падіння частинки з правого тунелю через бар'єр однакова.
Зверніть увагу, що критерій ([e5.43]) дійсності наближення WKB передбачає, що попередня ймовірність передачі дуже мала. Отже, наближення WKB застосовується лише до ситуацій, коли дуже мало шансів на тунелювання частинок через відповідний потенційний бар'єр. На жаль, критерій валідності ([e5.43]) руйнується повністю по краях бар'єру (тобто в\(x=x_1\) і\(x_2\)), тому що\(k(x)=0\) в цих точках. Однак можна продемонструвати, що внесок тих регіонів, навколо\(x=x_1\) і\(x_2\), в яких наближення WKB руйнується, до інтеграла в рівняння ([e5.49]) досить незначний. Отже, попередній вираз для ймовірності тунелювання є розумним наближенням за умови, що довжина хвилі де Броля падаючої частинки набагато менша за просторовий ступінь потенційного бар'єру.