4.5: Альфа-розпад
- Page ID
- 76883
Багато типів важких атомних ядер спонтанно розпадаються з утворенням дочірніх ядер за допомогою випромінювання\(\alpha\) -частинок (тобто ядер гелію) певної характерної енергії. Цей процес відомий як\(\alpha\) -розпад. Досліджуємо\(\alpha\) -розпад конкретного типу атомного ядра радіуса\(R\), заряду-числа\(Z\) та масового числа\(A\). Таким чином, таке ядро розпадається, утворюючи дочірнє ядро заряду-числа\(Z_1=Z-2\) і масового числа\(A_1=A-4\), і\(\alpha\) -частинки заряду-числа\(Z_2=2\) і масового числа\(A_2=4\). Нехай характерна енергія\(\alpha\) -частинки буде\(E\). До речі, виявлено, що ядерні радіуси задовольняють емпіричній формулі\[R = 1.5\times 10^{-15}\,A^{1/3}\,{\rm m}=2.0\times 10^{-15}\,Z_1^{\,1/3}\,{\rm m}\] для\(Z\gg 1\).
У 1928 році Георгій Гамов запропонував дуже вдалу теорію\(\alpha\) -розпаду, згідно з якою\(\alpha\) -частка вільно рухається всередині ядра, і викидається після тунелювання через потенційний бар'єр між собою і дочірнім ядром. Іншими словами,\(\alpha\) частинка, енергія якої є\(E\), потрапляє в потенційну яму радіуса\(R\) потенційним бар'єром\[V(r) = \frac{Z_1\,Z_2\,e^{\,2}}{4\pi\,\epsilon_0\,r}\] для\(r>R\).
Використовуючи наближення WKB (і нехтуючи тим, що\(r\) це радіальна, а не декартова, координата), ймовірність\(\alpha\) тунелювання частинок через бар'єр є\[|T|^{\,2} = \exp\left(-\frac{2\sqrt{2\,m}}{\hbar}\int_{r_1}^{r_2} \sqrt{V(r)-E}\,dr\right),\] де\(r_1=R\) і\(r_2 = Z_1\,Z_2\,e^{\,2}/(4\pi\,\epsilon_0\,E)\). Тут\(m=4\,m_p\) знаходиться маса\(\alpha\) -частинок. Попередній вираз зводиться до того,\[|T|^{\,2} = \exp\left(-2\sqrt{2}\,\beta \int_{1}^{E_c/E}\left[\frac{1}{y}-\frac{E}{E_c}\right]^{1/2} dy\right),\] де\[\beta = \left(\frac{Z_1\,Z_2\,e^{\,2}\,m\,R}{4\pi\,\epsilon_0\,\hbar^{\,2}}\right)^{1/2} = 0.74\,Z_1^{\,2/3}\] є безрозмірна константа, і\[E_c = \frac{Z_1\,Z_2\,e^{\,2}}{4\pi\,\epsilon_0\,R} = 1.44\,Z_1^{\,2/3}\,\,{\rm MeV}\] є характерною енергією, яка потрібна\(\alpha\) частинці для того, щоб вирватися з ядра без тунелювання. Звичайно,\(E\ll E_c\). Легко продемонструвати, що\[\int_1^{1/\epsilon}\left(\frac{1}{y} - \epsilon\right)^{1/2} dy \simeq \frac{\pi}{2\sqrt{\epsilon}}-2\] коли\(\epsilon\ll 1\). Звідси. \[|T|^{\,2} \simeq \exp\left(-2\sqrt{2}\,\beta\left[\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{E_c}{E}}-2\right]\right).\]
Тепер\(\alpha\) -частинка рухається всередині ядра з характерною швидкістю\(v= \sqrt{2\,E/m}\). Звідси випливає, що частинка відскакує назад і вперед всередині ядра на частоті\(\nu\simeq v/R\), даючи\[\nu\simeq 2\times 10^{28}\,\,{\rm yr}^{-1}\] для 1 МеВ\(\alpha\) -частинки, захопленої всередині типового важкого ядра радіусом\(10^{-14}\) м Таким чином,\(\alpha\) -частинка ефективно намагається тунелювати через потенційний бар'єр \(\nu\)разів на секунду. Якщо кожна з цих спроб має\(|T|^{\,2}\) ймовірність успіху, то ймовірність розпаду за одиницю часу становить\(\nu\,|T|^{\,2}\). Отже, якщо є\(N(t)\gg 1\) нерозкладене нуклії в той час,\(t\) то є лише\(N+dN\) в той час\(t+dt\), де\[dN = - N\,\nu\,|T|^{\,2}\,dt.\] Цей вираз може бути інтегрований, щоб дати\[N(t) = N(0)\,\exp(-\nu\,|T|^{\,2}\,t).\] Тепер\(\tau\), період напіврозпаду, визначається як час, який повинен пройти по порядку для половини нуклій спочатку присутні до розпаду. З попередньої формули випливає, що\[\tau = \frac{\ln 2}{\nu\,|T|^{\,2}}.\] зверніть увагу, що період напіврозпаду не залежить від\(N(0)\).
Нарешті, використовуючи попередні результати, ми отримуємо \[\label{e5.64} \log_{10}[\tau ({\rm yr})] = -C_1 - C_2\,Z_1^{\,2/3} + C_3\,\frac{Z_1}{\sqrt{E({\rm MeV})}},\]де\[\begin{aligned} C_1 &= 28.5,\\[0.5ex] C_2 &= 1.83,\\[0.5ex] C_3 &= 1.73.\end{aligned}\]
Малюнок 15: Експериментально визначений період напіврозпаду різних\(\begin{equation}\tau_{\mathrm{e} x}\end{equation}\) атомних ядер, які розпадаються через
емісію порівняно з найкращим теоретичним періодом напіврозпаду\(\begin{equation}\log _{10}\left(\tau_{t h}\right)=-28.9-1.60 Z_{1}^{2 / 3}+1.61 Z_{1} / \sqrt{E}\end{equation}\). Обидва періоди напіврозпаду вимірюються роками. Ось,\(\begin{equation}Z_{1}=Z-2\end{equation}\). Обидва періоди напіврозпаду вимірюються роками. Тут\(\begin{equation}Z_{1}=Z-2, \text { where } Z\end{equation}\) знаходиться номер заряду ядра, а
характерна енергія випромінюваної -частинки в МеВ. У порядку збільшення періоду напіввиведення бали відповідають наступним ядрам: Rn 215, Po 214, Po 216, Po 197, Fm 250, Ac 225, U 230, U 232, U 234, Gd 150, U 236, U 238, Pt 190, Gd 152, Nd 144. Дані, отримані від Центру ядерних даних МАГАТЕ.
Рівняння ([e5.64]) відоме як формула Гейгера-Натталла, тому що вона була виявлена емпіричним шляхом Г.Гейгер і Дж.М. Натталл в 1911 році.
Період напіврозпаду\(\tau\), дочірнє число заряду та енергія\(\alpha\) -частинки\(E\), для атомних ядер, які зазнають\(\alpha\) -розпаду, дійсно виявляються, що задовольняють зв'язок форми ([e5.64]).\(Z_1=Z-2\) Найкраще підходить до даних (див. Рис. [fal]) виходить за допомогою\[\begin{aligned} C_1 &= 28.9,\\[0.5ex] C_2 &= 1.60,\\[0.5ex] C_3 &= 1.61.\end{aligned}\] Зверніть увагу, що ці значення надзвичайно схожі на ті, які були розраховані раніше.