4.5: Альфа-розпад

Багато типів важких атомних ядер спонтанно розпадаються з утворенням дочірніх ядер за допомогою випромінювання$\alpha$ -частинок (тобто ядер гелію) певної характерної енергії. Цей процес відомий як$\alpha$ -розпад. Досліджуємо$\alpha$ -розпад конкретного типу атомного ядра радіуса$R$, заряду-числа$Z$ та масового числа$A$. Таким чином, таке ядро розпадається, утворюючи дочірнє ядро заряду-числа$Z_1=Z-2$ і масового числа$A_1=A-4$, і$\alpha$ -частинки заряду-числа$Z_2=2$ і масового числа$A_2=4$. Нехай характерна енергія$\alpha$ -частинки буде$E$. До речі, виявлено, що ядерні радіуси задовольняють емпіричній формулі $$R = 1.5\times 10^{-15}\,A^{1/3}\,{\rm m}=2.0\times 10^{-15}\,Z_1^{\,1/3}\,{\rm m}$$ для$Z\gg 1$.

У 1928 році Георгій Гамов запропонував дуже вдалу теорію$\alpha$ -розпаду, згідно з якою$\alpha$ -частка вільно рухається всередині ядра, і викидається після тунелювання через потенційний бар'єр між собою і дочірнім ядром. Іншими словами,$\alpha$ частинка, енергія якої є$E$, потрапляє в потенційну яму радіуса$R$ потенційним бар'єром $$V(r) = \frac{Z_1\,Z_2\,e^{\,2}}{4\pi\,\epsilon_0\,r}$$ для$r>R$.

Використовуючи наближення WKB (і нехтуючи тим, що$r$ це радіальна, а не декартова, координата), ймовірність$\alpha$ тунелювання частинок через бар'єр є $$|T|^{\,2} = \exp\left(-\frac{2\sqrt{2\,m}}{\hbar}\int_{r_1}^{r_2} \sqrt{V(r)-E}\,dr\right),$$ де$r_1=R$ і$r_2 = Z_1\,Z_2\,e^{\,2}/(4\pi\,\epsilon_0\,E)$. Тут$m=4\,m_p$ знаходиться маса$\alpha$ -частинок. Попередній вираз зводиться до того, $$|T|^{\,2} = \exp\left(-2\sqrt{2}\,\beta \int_{1}^{E_c/E}\left[\frac{1}{y}-\frac{E}{E_c}\right]^{1/2} dy\right),$$ де $$\beta = \left(\frac{Z_1\,Z_2\,e^{\,2}\,m\,R}{4\pi\,\epsilon_0\,\hbar^{\,2}}\right)^{1/2} = 0.74\,Z_1^{\,2/3}$$ є безрозмірна константа, і $$E_c = \frac{Z_1\,Z_2\,e^{\,2}}{4\pi\,\epsilon_0\,R} = 1.44\,Z_1^{\,2/3}\,\,{\rm MeV}$$ є характерною енергією, яка потрібна$\alpha$ частинці для того, щоб вирватися з ядра без тунелювання. Звичайно,$E\ll E_c$. Легко продемонструвати, що $$\int_1^{1/\epsilon}\left(\frac{1}{y} - \epsilon\right)^{1/2} dy \simeq \frac{\pi}{2\sqrt{\epsilon}}-2$$ коли$\epsilon\ll 1$. Звідси. $$|T|^{\,2} \simeq \exp\left(-2\sqrt{2}\,\beta\left[\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{E_c}{E}}-2\right]\right).$$

Тепер$\alpha$ -частинка рухається всередині ядра з характерною швидкістю$v= \sqrt{2\,E/m}$. Звідси випливає, що частинка відскакує назад і вперед всередині ядра на частоті$\nu\simeq v/R$, даючи $$\nu\simeq 2\times 10^{28}\,\,{\rm yr}^{-1}$$ для 1 МеВ$\alpha$ -частинки, захопленої всередині типового важкого ядра радіусом$10^{-14}$ м Таким чином,$\alpha$ -частинка ефективно намагається тунелювати через потенційний бар'єр $\nu$разів на секунду. Якщо кожна з цих спроб має$|T|^{\,2}$ ймовірність успіху, то ймовірність розпаду за одиницю часу становить$\nu\,|T|^{\,2}$. Отже, якщо є$N(t)\gg 1$ нерозкладене нуклії в той час,$t$ то є лише$N+dN$ в той час$t+dt$, де $$dN = - N\,\nu\,|T|^{\,2}\,dt.$$ Цей вираз може бути інтегрований, щоб дати $$N(t) = N(0)\,\exp(-\nu\,|T|^{\,2}\,t).$$ Тепер$\tau$, період напіврозпаду, визначається як час, який повинен пройти по порядку для половини нуклій спочатку присутні до розпаду. З попередньої формули випливає, що $$\tau = \frac{\ln 2}{\nu\,|T|^{\,2}}.$$ зверніть увагу, що період напіврозпаду не залежить від$N(0)$.

Нарешті, використовуючи попередні результати, ми отримуємо $$\label{e5.64} \log_{10}[\tau ({\rm yr})] = -C_1 - C_2\,Z_1^{\,2/3} + C_3\,\frac{Z_1}{\sqrt{E({\rm MeV})}},$$ де $$\begin{aligned} C_1 &= 28.5,\\[0.5ex] C_2 &= 1.83,\\[0.5ex] C_3 &= 1.73.\end{aligned}$$

Малюнок 15: Експериментально визначений період напіврозпаду різних$\begin{equation}\tau_{\mathrm{e} x}\end{equation}$ атомних ядер, які розпадаються через емісію порівняно з найкращим теоретичним періодом напіврозпаду$\begin{equation}\log _{10}\left(\tau_{t h}\right)=-28.9-1.60 Z_{1}^{2 / 3}+1.61 Z_{1} / \sqrt{E}\end{equation}$. Обидва періоди напіврозпаду вимірюються роками. Ось,$\begin{equation}Z_{1}=Z-2\end{equation}$. Обидва періоди напіврозпаду вимірюються роками. Тут$\begin{equation}Z_{1}=Z-2, \text { where } Z\end{equation}$ знаходиться номер заряду ядра, а характерна енергія випромінюваної -частинки в МеВ. У порядку збільшення періоду напіввиведення бали відповідають наступним ядрам: Rn 215, Po 214, Po 216, Po 197, Fm 250, Ac 225, U 230, U 232, U 234, Gd 150, U 236, U 238, Pt 190, Gd 152, Nd 144. Дані, отримані від Центру ядерних даних МАГАТЕ.

Рівняння ([e5.64]) відоме як формула Гейгера-Натталла, тому що вона була виявлена емпіричним шляхом Г.Гейгер і Дж.М. Натталл в 1911 році.

Період напіврозпаду$\tau$, дочірнє число заряду та енергія$\alpha$ -частинки$E$, для атомних ядер, які зазнають$\alpha$ -розпаду, дійсно виявляються, що задовольняють зв'язок форми ([e5.64]).$Z_1=Z-2$ Найкраще підходить до даних (див. Рис. [fal]) виходить за допомогою $$\begin{aligned} C_1 &= 28.9,\\[0.5ex] C_2 &= 1.60,\\[0.5ex] C_3 &= 1.61.\end{aligned}$$ Зверніть увагу, що ці значення надзвичайно схожі на ті, які були розраховані раніше.

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick