4.E: Одновимірні потенціали (вправи)

1. Показати, що хвильова функція частинки маси$m$ в нескінченній одновимірній квадраті-лунці ширини$a$ повертається до початкового вигляду після квантового часу відродження$T=4\,m\,a^{\,2}/\pi\,\hbar$.
2. Частинка маси вільно$m$ переміщається в одному вимірі між непроникними стінками, розташованими на$x=0$ і$a$. Його початкова хвильова функція - це $$\psi(x,0) = \sqrt{2/a}\,\sin(3\pi\,x/a).$$ Що таке подальша еволюція хвильової функції в часі? Припустимо, що початкова хвильова функція - це $$\psi(x,0) = \sqrt{1/a}\,\sin(\pi\,x/a)\,[1+2\,\cos(\pi\,x/a)].$$ те, що зараз є наступною еволюцією часу? Обчисліть ймовірність знаходження частинки між 0 і$a/2$ як функція часу в кожному конкретному випадку.
3. Частинка маси$m$ знаходиться в наземному стані нескінченної одновимірної квадратичної свердловини ширини$a$. Раптом колодязь розширюється вдвічі більше початкового розміру, оскільки права стіна рухається від$a$ до$2a$, залишаючи хвильову функцію на мить непорушеною. Енергія частинки тепер вимірюється. Який найбільш ймовірний результат? Яка ймовірність отримання такого результату? Який наступний найбільш ймовірний результат, і яка його ймовірність виникнення? Що таке очікуване значення енергії?
4. Потік частинок маси$m$ і енергії$E>0$ стикається з потенційним кроком висоти$W (<E)$: тобто$V(x)=0$ за$x<0$ і$V(x)=W$ за$x>0$ з частинками, що падають з$-\infty$. Покажіть, що відбивається дріб - це $$R = \left(\frac{k-q}{k+q}\right)^2,$$ де$k^{\,2}= (2\,m/\hbar^{\,2})\,E$ і$q^{\,2}= (2\,m/\hbar^{\,2})\,(E-W)$.
5. Потік частинок маси$m$ і енергії$E>0$ стикається з потенціалом дельта-функції$V(x) = -\alpha\,\delta (x)$, де$\alpha>0$. Покажіть, що відбивається дріб - це $$R = \beta^{\,2}/(1+\beta^{\,2}),$$ де$\beta= m\,\alpha/\hbar^{\,2}\,k$, і$k^{\,2}= (2\,m/\hbar^{\,2})\,E$. Чи має такий потенціал зв'язаний стан? Якщо так, то яка його енергія?
6. Дві потенційні свердловини ширини$a$ розділені відстанню$L\gg a$. Частинка маси$m$ і енергії$E$ знаходиться в одній з лунок. Оцініть час, необхідний для тунелю частинки до іншої свердловини.
7. Розглянемо частинку, що потрапила в кінцеву потенційну яму, потенціал якої задається рівнянням ([e5.71]). Продемонструйте, що для тотально симетричного стану відношення ймовірності знаходження частинки зовні до ймовірності знаходження частинки всередині свердловини - $$\frac{P_{\rm out}}{P_{\rm in}}= \frac{\cos^3 y}{\sin y\,(y + \sin y\,\cos y)},$$ де$(\lambda-y^{\,2})^{1/2} = y\,\tan y$, і$\lambda = V/E_0$. Отже, продемонструйте, що для неглибокої свердловини (тобто$\lambda\ll 1$)$P_{\rm out}\simeq 1 - 2\,\lambda$, тоді як для глибокої свердловини (тобто$\lambda\gg 1$)$P_{\rm out}\simeq (\pi^{\,2}/4) / \lambda^{\,3/2}$ (припускаючи, що частка знаходиться в грунтовому стані). [ex12.3]
8. Розглянемо напівнескінченну потенційну свердловину $$V(x) = \left\{\begin{array}{lll} \infty&\mbox{\hspace{1cm}}&x\leq 0\\ -V_0&&0<x<L\\ 0 &&x\geq L \end{array}\right.,$$ де$V_0> 0$. Продемонструйте, що граничні стани частинки маси$m$ і енергії$-V_0<E<0$ задовольняють $$\tan\left(\sqrt{2\,m\,(V_0+E)}\,\,L/\hbar\right) = - \sqrt{(V_0+E)/(-E)}.$$
9. Знайти правильно нормовані перші два збуджених енергії власних станів гармонічного осцилятора, а також очікуване значення потенційної енергії у власному$n$ стані енергії. Підказка: Розглянемо оператори підвищення і опускання$a_\pm$, визначені в Рівнянні ([e5.109]).

Автори та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick