4.E: Одновимірні потенціали (вправи)

1. Показати, що хвильова функція частинки маси\(m\) в нескінченній одновимірній квадраті-лунці ширини\(a\) повертається до початкового вигляду після квантового часу відродження\(T=4\,m\,a^{\,2}/\pi\,\hbar\).
2. Частинка маси вільно\(m\) переміщається в одному вимірі між непроникними стінками, розташованими на\(x=0\) і\(a\). Його початкова хвильова функція - це\[\psi(x,0) = \sqrt{2/a}\,\sin(3\pi\,x/a).\] Що таке подальша еволюція хвильової функції в часі? Припустимо, що початкова хвильова функція - це\[\psi(x,0) = \sqrt{1/a}\,\sin(\pi\,x/a)\,[1+2\,\cos(\pi\,x/a)].\] те, що зараз є наступною еволюцією часу? Обчисліть ймовірність знаходження частинки між 0 і\(a/2\) як функція часу в кожному конкретному випадку.
3. Частинка маси\(m\) знаходиться в наземному стані нескінченної одновимірної квадратичної свердловини ширини\(a\). Раптом колодязь розширюється вдвічі більше початкового розміру, оскільки права стіна рухається від\(a\) до\(2a\), залишаючи хвильову функцію на мить непорушеною. Енергія частинки тепер вимірюється. Який найбільш ймовірний результат? Яка ймовірність отримання такого результату? Який наступний найбільш ймовірний результат, і яка його ймовірність виникнення? Що таке очікуване значення енергії?
4. Потік частинок маси\(m\) і енергії\(E>0\) стикається з потенційним кроком висоти\(W (<E)\): тобто\(V(x)=0\) за\(x<0\) і\(V(x)=W\) за\(x>0\) з частинками, що падають з\(-\infty\). Покажіть, що відбивається дріб - це\[R = \left(\frac{k-q}{k+q}\right)^2,\] де\(k^{\,2}= (2\,m/\hbar^{\,2})\,E\) і\(q^{\,2}= (2\,m/\hbar^{\,2})\,(E-W)\).
5. Потік частинок маси\(m\) і енергії\(E>0\) стикається з потенціалом дельта-функції\(V(x) = -\alpha\,\delta (x)\), де\(\alpha>0\). Покажіть, що відбивається дріб - це\[R = \beta^{\,2}/(1+\beta^{\,2}),\] де\(\beta= m\,\alpha/\hbar^{\,2}\,k\), і\(k^{\,2}= (2\,m/\hbar^{\,2})\,E\). Чи має такий потенціал зв'язаний стан? Якщо так, то яка його енергія?
6. Дві потенційні свердловини ширини\(a\) розділені відстанню\(L\gg a\). Частинка маси\(m\) і енергії\(E\) знаходиться в одній з лунок. Оцініть час, необхідний для тунелю частинки до іншої свердловини.
7. Розглянемо частинку, що потрапила в кінцеву потенційну яму, потенціал якої задається рівнянням ([e5.71]). Продемонструйте, що для тотально симетричного стану відношення ймовірності знаходження частинки зовні до ймовірності знаходження частинки всередині свердловини -\[\frac{P_{\rm out}}{P_{\rm in}}= \frac{\cos^3 y}{\sin y\,(y + \sin y\,\cos y)},\] де\((\lambda-y^{\,2})^{1/2} = y\,\tan y\), і\(\lambda = V/E_0\). Отже, продемонструйте, що для неглибокої свердловини (тобто\(\lambda\ll 1\))\(P_{\rm out}\simeq 1 - 2\,\lambda\), тоді як для глибокої свердловини (тобто\(\lambda\gg 1\))\(P_{\rm out}\simeq (\pi^{\,2}/4) / \lambda^{\,3/2}\) (припускаючи, що частка знаходиться в грунтовому стані). [ex12.3]
8. Розглянемо напівнескінченну потенційну свердловину\[V(x) = \left\{\begin{array}{lll} \infty&\mbox{\hspace{1cm}}&x\leq 0\\ -V_0&&0<x<L\\ 0 &&x\geq L \end{array}\right.,\] де\(V_0> 0\). Продемонструйте, що граничні стани частинки маси\(m\) і енергії\(-V_0<E<0\) задовольняють\[\tan\left(\sqrt{2\,m\,(V_0+E)}\,\,L/\hbar\right) = - \sqrt{(V_0+E)/(-E)}.\]
9. Знайти правильно нормовані перші два збуджених енергії власних станів гармонічного осцилятора, а також очікуване значення потенційної енергії у власному\(n\) стані енергії. Підказка: Розглянемо оператори підвищення і опускання\(a_\pm\), визначені в Рівнянні ([e5.109]).

Автори та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick