4.1: Нескінченна потенційна свердловина

Розглянемо частинку маси\(m\) та енергії, що\(E\) рухається в наступному простому потенціалі:\[V(x) = \left\{\begin{array}{lcl} 0&\hspace{1cm}&\mbox{for }0\leq x\leq a\\[0.5ex] \infty&&\mbox{otherwise} \end{array}\right..\] З Рівняння ([e5.2]) випливає, що якщо\(d^{\,2}\psi/d x^{\,2}\) (і, отже,\(\psi\)) залишиться кінцевою, то\(\psi\) повинна йти до нуля в регіонах, де потенціал нескінченний. Значить,\(\psi=0\) в регіонах\(x\leq 0\) і\(x\geq a\). Очевидно, що проблема еквівалентна проблемі частинки, що потрапила в одновимірну коробку довжини\(a\). Граничні умови\(\psi\) в області\(0<x<a\) є \[\label{e5.4} \psi(0) = \psi(a) = 0.\]Крім того, це випливає з Рівняння ([e5.2]), що\(\psi\) задовольняє \[\label{e5.5} \frac{d^{\,2} \psi}{d x^{\,2}} = - k^{\,2}\,\psi\]в цій області, де \[\label{e5.6} k^{\,2} = \frac{2\,m\,E}{\hbar^{\,2}}.\]Тут, ми припускаємо, що\(E>0\). Легко продемонстровано, що не існує\(E<0\) розв'язків, здатних задовольнити граничні умови ([e5.4]).

Розв'язок Рівняння ([e5.5]), з урахуванням граничних умов ([e5.4]),\[\psi_n(x) = A_n\,\sin(k_n\,x),\] де є\(A_n\) довільні (дійсні) константи, і

\[\label{e5.8} k_n = \frac{n\,\pi}{a},\]для\(n=1,2,3,\cdots\). Тепер з Рівняння ([e5.6]) і ([e5.8]) видно, що енергії\(E\) дозволяється приймати лише певні дискретні значення: тобто \[\label{eenergy} E_n = \frac{n^{\,2}\,\pi^{\,2}\,\hbar^{\,2}}{2\,m\,a^{\,2}}.\]

Іншими словами, власні значення енергетичного оператора дискретні. Це загальна риса обмежених рішень: тобто рішень, для яких\(|\psi|\rightarrow 0\) як\(|x|\rightarrow\infty\). Згідно з обговоренням у розділі [sstat], ми очікуємо, що стаціонарні власні функції\(\psi_n(x)\) задовольнять обмеження ортонормальності

\[\int_0^a \psi_n(x)\,\psi_m(x)\,dx = \delta_{nm}.\]Легко продемонструвати, що це так, за умови\(A_n = \sqrt{2/a}\). Отже,

\[\label{e5.11} \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\,\sin\left(n\,\pi\,\frac{x}{a}\right)\]для\(n=1,2,3,\cdots\).

Нарешті, знову ж таки з розділу [sstat] загальне залежне від часу рішення можна записати як лінійну суперпозицію стаціонарних розв'язків:

\[\psi(x,t) = \sum_{n=0,\infty} c_n\,\psi_n(x)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,E_n\,t/\hbar},\]де

\[\label{e5.13} c_n = \int_0^a\psi_n(x)\,\psi(x,0)\,dx.\]

Автори та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick