Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.6: Тензор напруження-енергії електромагнітного поля

Цілі навчання

  • Поясніть тензор напруження-енергії для електромагнітного поля

Електромагнітне поле має пов'язаний з ним тензор напружено-енергії. З нашого дослідження електромагнетизму ми знаємо, що електромагнітне поле має щільність енергіїU=(E2+B2)/8πk та щільність імпульсуS=(E×B)/4πk (в одиницяхc=1, де, зk постійною Кулона). Це фіксує компоненти тензора напруження-енергії формиTt іTt, тобто верхнього ряду і лівого стовпчика, щоб виглядати так:

Tμν=(USxSySzSxSySz)

рис. 10.6.1.png
Малюнок10.6.1: Тиск і напруга в електростатичних полах.

Наступний аргумент говорить нам щось про те, чого очікувати від компонентівTxx, іTyyTzz, які інтерпретуються як тиск або напруженість, залежно від їх ознак. На малюнку10.6.1 (1) пластини конденсатора хочуть зруйнуватися один проти одного у вертикальному (y) напрямку, але в той же час внутрішні відбиття всередині кожної пластини змушують цю пластину розширюватися вx напрямку. Якщо конденсатор побудований з матеріалів, які тримають свою форму, то електромагнітне напруження вTyy<0 протидіє тискуTyy>0 в матеріалах, тоді як електромагнітний тискTxx>0 скасовується натягом матеріалівTxx<0. Ми отримали ці результати для конкретної фізичної ситуації, але відносність вимагає, щоб енергія стресу була визначена в кожній точці на основі полів у цій точці, тому наші висновки повинні триматися загалом. На малюнку10.6.1 (2) та малюнку10.6.1 (3) білі коробки були намальовані в регіонах, де загальне поле сильне, а поля сильно взаємодіють. На малюнку10.6.1 (2) існує напруга уx напрямку та тискуy; напруга можна розглядати як сприяння тяжіння між протилежними зарядами. У 3 також єx напруга іy тиск; тиск сприяє відштовхуванню подібних зарядів.

Щоб зробити це більш кількісним, розглянемо розрив уEy верхній пластині на малюнку10.6.1 (1). Поле різко перемикається з зовнішньої сторони0 на деяке значенняE між пластинами. За законом Гаусса, заряд на одиницю площі на плиті повинен бутиσ=E/4πk. Середнє поле, яке відчуває заряд в пластині¯E=(0+E)/2=E/2, є, тому сила на одиницю площі, тобто напруга в полі, єσ¯E=E2/8πk. Таким чином, ми очікуємоE,Tyy=E2/8πk якщо знаходиться вздовжy осі.

Для читача, який хоче повного виведення решти дев'яти компонентів тензора, тепер ми наведемо аргумент, який використовує наступний список його властивостей. Інші читачі можуть пропустити вперед туди, де представлений повний тензор.

  1. Tсиметрична,T^{µν} = T^{νµ}.
  2. Компоненти повинні бути другого порядку в полах, наприклад, ми можемо мати такі терміниE_xB_z, як, але ніE_{x}^{3} B_{z}^{7} абоE_xB_zB_y. Це пояснюється тим, що рівняння Максвелла лінійні, і коли хвильове рівняння ідеально лінійне, відповідне енергетичне вираження є другим порядком за амплітудою хвилі.
  3. Tмає властивості парності, описані в прикладі 9.2.3.
  4. Електричне та магнітне поля обробляються симетрично в рівняннях Максвелла, тому їх слід розглядати симетрично в тензорі напруження-енергія. Наприклад, ми могли б мати термін7E_{x}^{2} + 7B_{z}^{2}, як, але ні7E_{x}^{2} + 6B_{z}^{2}.
  5. У розділі 9.2 ми побачили, що стан енергії слідівT^a\: _a \geq 0 задовольняється хмарою пилу тоді і тільки тоді, коли масова енергія пилу не транспортується зі швидкістю, більшою ніжc. У розділі 4.1 ми побачили, що всі ультрарелятивістські частинки мають однакові механічні властивості. Оскільки хмара пилу, в межі, куди наближається його швидкістьc, знаходиться на краю обмеженого, встановленого умовою енергії сліду, ми очікуємоT^a\: _a \rightarrow 0, що електромагнітне поле, в якому збурень поширюються наc, також має точно насичувати стан сліду енергії, так що T^a\: _a = 0.
  6. Тензор стрес-енергії повинен вести себе належним чином при обертаннях, що в основному означаєxy, що, іz слід ставитися симетрично.
  7. Електромагнітна плоска хвиля, що поширюється вx напрямку, не повинна чинити ніякого тиску вy абоz напрямках.
  8. Якщо поле підпорядковується рівнянням Максвелла, то умова енергозбереження\frac{\partial T^{ab}}{\partial x^a} = 0 повинна триматися.

Цих фактів цілком достатньо, щоб повністю визначити форму решти дев'яти складових тензора стрес-енергії. Властивість 3 вимагає, щоб всі ці компоненти були навіть під паритетністю. Оскільки електричні поля перевертаються під паритетністю, але магнітні поля не мають (приклад 10.3.1), ці компоненти можуть мати лише такі терміни, якE_i E_j іB_i B_j, а не змішані терміни, якE_i B_j. Беручи до уваги властивості 4 і 6, ми знаходимо, що діагональні члени повинні виглядати так

і позадіагональні

Власність 5 дає1/2-a-3b=0 і 7 даєb=-a/2, так що у насa=-1 іb=1/2. Визначенняc=-1 залишають як вправу, завдання Q4.

Зараз ми встановили повний вираз для тензора напруження-енергії електромагнітного поля, який

де

і\sigma, відомий як тензор напруги Максвелла, задається

Все це може бути виражено більш компактно і координатно-незалежним способом, як

T^{ab} = \frac{1}{4\pi k} \left(\mathcal{F}^{ac}\mathcal{F}^b\: _c + \frac{1}{4}o^do_dg^{ab}\mathcal{F}_{ef}\mathcal{F}^{ef}\right)

де\vec{o} - вектор швидкості, спрямований на майбутнє, так щоo^do_d=+1 для підпису+--- використовується в цій книзі, і-1 якщо підпис є-+++.

Приклад\PageIndex{1}: Stress-energy tensor of a plane wave

Нехай електромагнітна плоска хвиля (не обов'язково синусоїдальна) поширюється уздовжx -осі, з її поляризацією такою, що\vec{E} знаходиться вy напрямку і\vec{B} наz осі, і|\vec{E}| = |\vec{B}| = A. Тоді ми маємо наступне для тензора енергії стресу.

T^{\mu \nu } = \frac{A^2}{4\pi k} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

T^{tt}Компонент говорить нам про те, що хвиля має певну щільність енергії. Оскільки хвиля безмасова, ми маємоE^2 - p^2 = m^2 = 0, тому щільність імпульсу така ж, як і щільність енергії, іT^{tx} така ж, якT^{tt}. Якщо ця хвиля вдарить по поверхні вyz площині, імпульс, який поверхня поглинає від хвилі, буде відчуватися як тиск, представленийT^{xx}.

У ультрарелятивістської межіv →1 це стає

T^{\mu \nu } = \text{(energy density)} \times \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

який точно такий же, як результат для нашої електромагнітної хвилі. Це ілюструє факт, розглянутий у розділі 4.1, що всі ультрарелятивістські частинки мають однакові механічні властивості.

Приклад\PageIndex{2}: Mass of a capacitor

рис. 10.6.2.png
Малюнок\PageIndex{2}: Маса конденсатора.

Розглянемо масу зарядженого паралельно пластинчатого конденсатора, малюнок\PageIndex{2} (1), спочатку в його рамці спокою, а потім в кадрі, посиленому в напрямку, паралельному полю (перпендикулярно пластинам). Якщо ми не будемо обережні, ми зіткнемося з наступним парадокс. Під наддувом електричне поле, паралельне наддуву, залишається незмінним. Тому в посиленому кадрі ми маємо точно таку ж напруженість поля, але заповнюючи об'єм, який був зменшений за рахунок скорочення довжини. Тому масова енергія конденсатора найбільша у власному кадрі спокою, що абсурдно і суперечить нашому доказу в розділі 9.3, що енергія-імпульс ізольованої системи перетворюється як чотири-вектор.

Там рішення парадоксу походить від визнання того, що ми припускали, що конденсатор знаходиться в статичній рівновазі, але ми ігнорували напруження-енергію будь-яких механічних опор підтримували цю рівновагу. Якщо розглядати тільки напруження-енергіюT_{(em)} електромагнітного поля, то маємоT_{(em)}^{tt} = \frac{1}{8\pi k}E^2 (щільність енергії) іT_{(em)}^{yy} = -\frac{1}{8\pi k}E^2 (напруга вy напрямку, паралельно полю), малюнок\PageIndex{2} (2). Легко помітити, що це має незникаючу розбіжність, так як\partial _y T_{(em)}^{yy} \neq 0 у пластин і немає інших термінів в тензорі стрес-енергії, які могли б це компенсувати.

Тут немає нічого дивного; тільки тензор загальної енергії стресуT повинен бути безмежним, ніT_{(em)}. Це порушило б закони фізики, якби конденсатор залишався в рівновазі, як це, без певної сили для протидії електромагнітному напруженню. Припустимо, що це зусилля забезпечується пружиною, як на малюнку\PageIndex{2} (3). Весна має свійT_{(s)} внесок у стрес-енергію. Для зручності уявімо, як зробити пружину заповненою (а не порожнистим циліндром) і відгодувати її так, щоб вона заповнила весь внутрішній обсяг конденсатора. Тоді для досягнення статичної рівноваги в рамі відпочинку нам потрібен тиск у пружині, щоб скасувати тиск в електричному полі. Тому ми маємоT^{yy} = 0 для загального тензора енергії стресу.

Якщо ми зараз застосуємо закон тензорного перетворення до тензора енергії стресу, то виявимо, що тензор енергії напруження-енергії в посиленому кадрі містить щільність масової енергіїT^{t't'}, яка залежить тільки відT^{tt} іT^{yy}. (Там також повинен бутиxx компонент, щоб пластини не вибухали збоку, але це не входить сюди.) Але ми маємоT^{yy} = 0, тому проблема точно така ж, як перетворення грудки нерелятивістської матерії, і ми знаємо, що цей розрахунок виходить добре. Для явної демонстрації того, що це все ще працює, якщо відкинути спрощене припущення, що пружина заповнює весь внутрішній об'єм конденсатора, див. Ріндлер і Денур, «Простий релятивістський парадокс про електростатичну енергію» Am J Phys 56 (1988) 9.