10.5: Інваріанти

Цілі навчання

• Інваріанти і електромагнітне поле

Раніше ми бачили випадки, коли інваріант може бути сформований з$1$ ранг-тензора. Квадрат належного часу, що відповідає часовому зміщенню простору/часу,$\vec{r}$ є$\vec{r}\cdot\vec{r}$ або, в індексному позначенні, введеному в розділі,$r^ar_a$. З тензора імпульсу ми можемо побудувати квадрат маси$p^ap_a$.

Є вагомі підстави вважати, що щось подібне можна зробити з тензором електромагнітного поля, оскільки електромагнітні поля мають певні властивості, які зберігаються при перемиканні кадрів. Зокрема, електромагнітна хвиля складається з електричних та магнітних полів, які рівні за величиною і перпендикулярні один одному. Електромагнітна хвиля, яка є дійсним рішенням рівнянь Максвелла в одному кадрі, також повинна бути дійсною хвилею в іншому кадрі. Можна показати, що наступні дві величини є інваріантами:

$$P = B^2 - E^2$$

і

$$Q = \vec{E}\cdot \vec{B}$$

Той факт, що вони записані як векторні крапкові добутки трьох векторів, показує, що вони є інваріантними при обертанні, але ми також хочемо показати, що вони є релятивістськими скалярами, тобто інваріантними під прискореннями. Щоб довести це, ми можемо записати їх обидва в тензорних позначеннях. Перший інваріант може бути виражений як$P=\frac{1}{2}\mathcal{F}^{ab}\mathcal{F}_{ab}$, тоді як другий дорівнює$Q=\frac{1}{4}\epsilon^{abcd}\mathcal{F}_{ab}\mathcal{F}_{cd}$, де$\epsilon^{\kappa\lambda\mu\nu}$ - тензор Леві-Чивіти.

Поле, для$P=Q=0$ якого обидва називаються нульовим полем. Електромагнітна плоска хвиля - це нульове поле, і хоча це легко перевірити з визначень$P$ і$Q$, є більш глибока причина, чому це повинно бути правдою, і ця причина стосується не тільки електромагнітних хвиль, але й інших типів хвиль, таких як гравітаційні хвилі. Розглянемо будь-який релятивістський скаляр$s$, який є неперервною функцією тензора електромагнітного поля$\mathcal{F}$, тобто безперервною$\mathcal{F}$ функцією компонентів. Ми хочемо$s$ зникнути, коли$\mathcal{F} = 0$. Враховуючи електромагнітну плоску хвилю, ми можемо зробити імпульс Лоренца паралельно напрямку поширення хвилі. При такому поштовху хвиля зазнає доплерівського зсуву довжини хвилі та частоти, але на додаток до цього рівняння перетворення в розділі 10.4 означають, що інтенсивність полів зменшується в будь-якій заданій точці. При цьому в межі невизначеного процесу прискорення$\mathcal{F}\rightarrow 0$, а значить і$s\rightarrow 0$ так само. Але оскільки$s$ є скаляром, його значення не залежить від нашої системи відліку, і тому воно повинно бути нульовим у всіх кадрах.

$P$і$Q$ являють собою повний набір інваріантів електромагнітного поля, що означає, що єдиними іншими електромагнітними інваріантами є ті, які або можуть бути$P$ визначені від похідних полів,$Q$ або залежати від них, а не тільки їх величини. Щоб побачити, що$P$ і$Q$ є повноцінними в цьому сенсі, ми можемо розбити можливості на випадки, залежно від того, чи$Q$ є$P$ нульовими чи ненульовими, позитивними чи негативними. Як репрезентативний приклад розглянемо випадок, де$P<0$ і$Q>0$. Спочатку обертаємо нашу рамку відліку так, що$\vec{E}$ знаходиться уздовж$x$ осі, і$\vec{B}$ лежить в$x$ -$y$ площині. Далі ми робимо прискорення вздовж$z$ осі, щоб усунути$y$ компонент$\vec{B}$; рівняння перетворення поля в розділі 10.4 роблять це можливим, тому що$|\vec{E}|>|\vec{B}|$. Результатом є те, що ми знайшли систему відліку, в якій$\vec{E}$ і$\vec{B}$ обидва лежать вздовж позитивної$x$ осі. Єдина незалежна від кадру інформація, яку потрібно знати, - це інформація, доступна в цьому кадрі, і яка складається лише з двох позитивних дійсних чисел$B_x$,$E_x$ і, які можуть бути визначені за значеннями$P$ і$Q$.

Приклад$\PageIndex{1}$: A static null FIeld

Хоча електромагнітна плоска хвиля є нульовим полем, зворотне не відповідає дійсності. Наприклад, ми можемо створити статичне нульове поле зі статичного однорідного електричного поля та статичного однорідного магнітного поля, причому два поля перпендикулярні один одному.

Приклад$\PageIndex{2}$: Another invariant?

$Π$Дозволяти квадрат величини вектора Пойнтінга,$Π = (\vec{E} × \vec{B}) \cdot (\vec{E} × \vec{B})$. Оскільки$Π$ може бути виражений точковими добутками та скалярними добутками, він гарантовано буде інваріантним при обертаннях. Однак це не релятивістський інваріант. Наприклад, якщо ми робимо імпульс Лоренца паралельно напрямку електромагнітної хвилі, інтенсивність хвилі змінюється, і так само$Π$.

Приклад$\PageIndex{3}$: A non-null invariant for electromagnetic waves?

Величина явно інваріантна, і вона не$Q^{-1} = \frac{1}{\vec{E}\cdot \vec{B}}$ зникає для електромагнітної плоскої хвилі - насправді, вона нескінченна для плоської хвилі. Чи суперечить це нашому доказу того, що будь-який інваріант повинен зникнути для плоської хвилі? Ні, тому що ми довели це тільки в тому випадку, коли інваріант визначається як неперервна функція$F$. Наша функція$Q{-1}$ є переривчастою функцією$F$ коли$F = 0$. Такі переривчасті інваріанти, як правило, не дуже цікаві. Бо припустимо, що ми намагаємося виміряти$Q^{-1}$, і те, що ми вимірюємо, - це електромагнітна хвиля. Наші вимірювання полів, ймовірно, будуть статистично узгоджені з нулем, і тому смуги помилок на нашому вимірюванні, швидше за все,$Q^{-1}$ будуть нескінченно великими.