10.E: Електромагнетизм (вправи)

Q1

1. Паралельно пластинчастий конденсатор має заряд на одиницю площі$±σ$ на двох своїх обкладинках. Використовуйте закон Гаусса, щоб знайти поле між пластинами.
2. У стилі Прикладу 10.4.1 перетворіть поле на кадр, що рухається перпендикулярно пластинам, і переконайтеся, що результат має сенс з точки зору джерел, які присутні.
3. Повторіть аналіз для рами, що рухається паралельно пластинам.

Q2

Ми бачили такі приклади, як малюнок 10.1.1, в якому чисто магнітне поле в одному кадрі стає сумішшю магнітного та електричного полів в іншому, а також такі випадки, як приклад 10.4.1, в якому чисто електричне поле перетворюється на суміш. Чи можемо ми мати випадок, коли чисто електричне поле в одному кадрі перетворюється в чисто магнітне в інший? Простий спосіб вирішити цю проблему - за допомогою інваріантів.

Q3

1. Починаючи з рівняння 10.3.5 для$\mathcal{F}^{µν}$, опустіть індекс, щоб знайти$\mathcal{F}^µ\: _ν$. Припустімо координати Мінковського та метричний підпис$+---$.
2. Нехай$v = γ(1,u_x,u_y,u_z)$, де$(u_x,u_y,u_z)$ знаходиться швидкість трьохвектора. Випишіть множення матриці$F^µ = q\mathcal{F}^µ\:_ν\; v^ν$, і покажіть, що результатом є закон сили Лоренца.

Q4

У розділі 10.6 я представив перелік властивостей тензора електромагнітних напружень, а потім аргумент, в якому тензор будується з трьома невідомими константами$a$$b$$c$, і, визначатися з цих властивостей. Значення$a$ і$b$ виводяться в тексті, і мета цієї проблеми полягає в тому, щоб закінчити, доводячи це$c = -1$. Ідея полягає в тому, щоб взяти поле точкового заряду, яке, як ми знаємо, задовольняє рівняння Максвелла, а потім застосувати властивість 8, яка вимагає, щоб умова енергозбереження$∂T^{ab}/∂x^a = 0$ трималася. Це добре виходить, якщо застосувати цю властивість до$x$ стовпця$T$, в точці, яка лежить в позитивному$x$ напрямку щодо заряду.

Q5

Показати, що кількість незалежних умов, що містяться в рівняннях 10.7.8 і 10.7.9, узгоджується з числом, знайденим у рівняннях Максвелла.

Q6

Покажіть, що

$$\frac{\partial \mathcal{F} ^{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} + \frac{\partial \mathcal{F} ^{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial \mathcal{F} ^{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} = 0$$

має на увазі, що магнітне поле має нульову розбіжність.

Q7

Запишіть поля електромагнітної площини хвилі, що поширюється в напрямку z, вибираючи деяку поляризацію. Не варто вважати синусоїдальну хвилю. Покажіть, що це рішення

$$\frac{\partial \mathcal{F} ^{\mu\nu}}{\partial x^\nu} = 0$$