10.E: Електромагнетизм (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77376

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Q1

Паралельно пластинчастий конденсатор має заряд на одиницю площі\(±σ\) на двох своїх обкладинках. Використовуйте закон Гаусса, щоб знайти поле між пластинами.
У стилі Прикладу 10.4.1 перетворіть поле на кадр, що рухається перпендикулярно пластинам, і переконайтеся, що результат має сенс з точки зору джерел, які присутні.
Повторіть аналіз для рами, що рухається паралельно пластинам.

Q2

Ми бачили такі приклади, як малюнок 10.1.1, в якому чисто магнітне поле в одному кадрі стає сумішшю магнітного та електричного полів в іншому, а також такі випадки, як приклад 10.4.1, в якому чисто електричне поле перетворюється на суміш. Чи можемо ми мати випадок, коли чисто електричне поле в одному кадрі перетворюється в чисто магнітне в інший? Простий спосіб вирішити цю проблему - за допомогою інваріантів.

Q3

Починаючи з рівняння 10.3.5 для\(\mathcal{F}^{µν}\), опустіть індекс, щоб знайти\(\mathcal{F}^µ\: _ν\). Припустімо координати Мінковського та метричний підпис\(+---\).
Нехай\(v = γ(1,u_x,u_y,u_z)\), де\((u_x,u_y,u_z)\) знаходиться швидкість трьохвектора. Випишіть множення матриці\(F^µ = q\mathcal{F}^µ\:_ν\; v^ν\), і покажіть, що результатом є закон сили Лоренца.

Q4

У розділі 10.6 я представив перелік властивостей тензора електромагнітних напружень, а потім аргумент, в якому тензор будується з трьома невідомими константами\(a\)\(b\)\(c\), і, визначатися з цих властивостей. Значення\(a\) і\(b\) виводяться в тексті, і мета цієї проблеми полягає в тому, щоб закінчити, доводячи це\(c = -1\). Ідея полягає в тому, щоб взяти поле точкового заряду, яке, як ми знаємо, задовольняє рівняння Максвелла, а потім застосувати властивість 8, яка вимагає, щоб умова енергозбереження\(∂T^{ab}/∂x^a = 0\) трималася. Це добре виходить, якщо застосувати цю властивість до\(x\) стовпця\(T\), в точці, яка лежить в позитивному\(x\) напрямку щодо заряду.

Q5

Показати, що кількість незалежних умов, що містяться в рівняннях 10.7.8 і 10.7.9, узгоджується з числом, знайденим у рівняннях Максвелла.

Q6

Покажіть, що

\[\frac{\partial \mathcal{F} ^{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} + \frac{\partial \mathcal{F} ^{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial \mathcal{F} ^{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} = 0\]

має на увазі, що магнітне поле має нульову розбіжність.

Q7

Запишіть поля електромагнітної площини хвилі, що поширюється в напрямку z, вибираючи деяку поляризацію. Не варто вважати синусоїдальну хвилю. Покажіть, що це рішення

\[\frac{\partial \mathcal{F} ^{\mu\nu}}{\partial x^\nu} = 0\]