10.3: Електромагнітні поля

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 10.2: Поля в теорії відносності
- 10.4: Трансформація полів

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Поясніть тензор електромагнітного поля

Електричне поле

Розділ 10.1 показав, що відносність вимагає існування магнітних сил, а розділ 10.2 дав нам погляд на те, що це означає або як перетворюються електричні та магнітні поля. Щоб зрозуміти це на більш загальних підставах, давайте явно перерахуємо деякі припущення щодо електричного поля і подивимося, як вони призводять до існування і властивостей магнітного поля:

Визначення електричного поля: У системі відліку інерційного спостерігача візьміть якусь стандартну $o$ , заряджену випробувальну частинку, звільніть її в спокої і спостерігайте за силою $F_o$ (розділ 4.5), що діє на частинку. (Часовий компонент цієї сили зникає.) Потім електричне поле трехвекторное $E$ в кадрі $o$ визначається тим $F_o = qE$ , де ми фіксуємо нашу систему одиниць, приймаючи деяку довільну величину за заряд $q$ досліджуваної частинки.
Визначення електричного заряду: Для зарядів, відмінних від стандартного тестового заряду, ми приймаємо закон Гаусса нашим визначенням електричного заряду.
Заряд Лоренца інваріантний (розділ 1.3).
Поля повинні мати закони трансформації (розділ 10.2). Багато разів вже в нашому дослідженні відносності ми дотримувались стратегії прийняття вектора Галілея і намагалися переосмислити його як чотиривимірний вектор відносності. Спробуємо зробити це за допомогою електричного поля. Тоді у нас не було б іншої очевидної речі, щоб спробувати, ніж змінити його визначення на $F = qE$ , де $F = ma$ є вектор релятивістської сили (розділ 4.5), так що електричне поле три вектора було просто просторовою частиною $E$ . Тому що $a\cdot v = 0$ для матеріальної частинки це означало б, що $E$ це ортогонально йти для будь-якого спостерігача, але це неможливо, оскільки тоді вектор переміщення простору в часі вздовж напрямку $E$ буде вектором одночасності для всіх спостерігачів, і ми знаємо, що це неможливо. в теорії відносності.

Магнітне поле

Наша ситуація дуже схожа на ту, що зустрічалася в розділі 9.1, де ми виявили, що знання щільності заряду в одному кадрі було недостатньо, щоб сказати нам щільність заряду в інших кадрах. Була відсутня інформація, яка виявилася щільністю струму. Проблеми, з якими ми зіткнулися при визначенні трансформаційних властивостей електричного поля, свідчать про подібну ситуацію «відсутньої інформації», і, здається, що відсутньою інформацією є магнітне поле. Як ми повинні змінити наведені вище припущення, щоб дозволити існування магнітного поля на додаток до електричного? Які властивості може мати це додаткове поле? Як би ми це визначили чи виміряли?

Одним із способів уявити новий тип поля було б, якби, крім заряду $q$ , частинки мали якусь іншу характеристику, назвіть її $r$ , і тоді існувало якесь цілком окреме поле, визначене їх дією на частинку з цією «r-ness». Але йти цим шляхом призводить нас до непов'язаних явищ, таких як сильна ядерна взаємодія.

Тензор електромагнітного поля

Характер протиріччя, що надходив у вищезгаданому розділі, такий, що наше додаткове поле тісно пов'язане з електричним, і тому ми очікуємо, що воно буде діяти на заряд, а не на $r$ -ність. Не вигадуючи щось нове на кшталт $r$ -ності, єдиним іншим доступним властивістю тестової частинки є її стан руху, що характеризується вектором швидкості $v$ . Тепер найпростішим правилом, яке ми могли б уявити для визначення сили на тестовій частинці, буде лінійне, яке виглядало б як множення матриці:

$F = q\mathcal {F}v$

або в індексних позначеннях,

$F^a = q\mathcal {F}^a\: _b \: v^b$

Хоча форма $\mathcal {F}^a\: _b$ з одним верхнім і одним нижнім індексом зустрічається природно в цьому виразі, нам буде зручніше відтепер працювати з верхньою-верхньою формою $\mathcal {F}^{ab }$ . $\mathcal {F}$ було б $4 × 4$ , щоб у нього були $16$ елементи:

$\begin{pmatrix} \mathcal {F}^{tt} & \mathcal {F}^{tx} & \mathcal {F}^{ty} & \mathcal {F}^{tz}\\ \mathcal {F}^{xt} & \mathcal {F}^{xx} & \mathcal {F}^{xy} & \mathcal {F}^{xz}\\ \mathcal {F}^{yt} & \mathcal {F}^{yx} & \mathcal {F}^{yy} & \mathcal {F}^{yz}\\ \mathcal {F}^{zt} & \mathcal {F}^{zx} & \mathcal {F}^{zy} & \mathcal {F}^{zz} \end{pmatrix}$

Імовірно, ці $16$ цифри кодували б інформацію про електричне поле, а також деяку додаткову інформацію про поле або поля, які нам не вистачало.

Але це не $16$ цифри, які ми можемо вибирати вільно і самостійно. Наприклад, розглянемо заряджену частинку, яка миттєво знаходиться в спокої в певному кадрі спостерігача, с $v = (1, 0, 0, 0)$ . (У цій ситуації чотирисила дорівнює силі, виміряної спостерігачем.) Робота, виконана силою, позитивна, якщо сила знаходиться в тому ж напрямку, що і рух, негативна, якщо в протилежному напрямку, і нульова, якщо немає руху. Тому потужність $P = dW/ dt$ в даному прикладі повинна бути нульовою. Влада - це часова складова вектора сили, яка змушує нас брати $\mathcal {F}^{tt} = 0$ .

Більш загально розглянемо кінематичне обмеження $a\cdot v = 0$ . Коли ми вимагаємо $a\cdot v = 0$ для будь-якого $v$ , а не лише цього, ми закінчуємо обмеженням, яке $F$ повинно бути антисиметричним, тобто, коли ми транспонуємо його, результатом є інша матриця, яка виглядає так само, як вихідна, але з усіма перевернутими ознаками:

$\begin{pmatrix} 0 & \mathcal {F}^{tx} & \mathcal {F}^{ty} & \mathcal {F}^{tz}\\ -\mathcal {F}^{tx} & 0 & \mathcal {F}^{xy} & \mathcal {F}^{xz}\\ -\mathcal {F}^{ty} & -\mathcal {F}^{xy} & 0 & \mathcal {F}^{yz}\\ -\mathcal {F}^{tz} & -\mathcal {F}^{xz} & -\mathcal {F}^{yz} & 0 \end{pmatrix}$

Кожен елемент дорівнює мінус відповідному елементу по головній діагоналі від нього, а антисиметрія також вимагає, щоб сама головна діагональ була нульовою. З точки зору поняття ступенів свободи, введеного в розділі 3.5, ми скоріше зведені до $6$ ступенів свободи, ніж $16$ . Тепер ми маркуємо елементи матриці і слідуємо за обґрунтуванням міток. В результаті виходить наступний $2$ ранг-тензор:

$\mathcal {F}^{\mu \nu}=\begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}$

Ми будемо називати це тензором електромагнітного поля. Маркування лівого стовпчика просто виражає визначення електричного поля, яке виражається через швидкість $\vec{v}=(1,0,0,0)$ частинки в спокої. Верхній ряд потім випливає з антисиметрії. Для довільного вектора швидкості виписання множення матриці $\mathcal {F}^{\mu} = q\mathcal {F}^{\mu}\: _{\nu} \: v^\nu$ призводить до виразів, таких як $F^x=\gamma q(E_x+u_yB_z-u_zB_y)$ (проблема, p.~). Беручи до уваги різницю коефіцієнта $\gamma$ між чотирма силою та силою, виміряною спостерігачем, ми закінчуємо знайомим законом сили Лоренца,

$\vec{F}_{o} = q(\vec{E}+\vec{u}\times\vec{B})$

де $\vec{B}$ - магнітне поле. Це виражається в одиницях де $c=1$ , так що електричне і магнітне поле мають однакові одиниці. В одиницях з $c\ne 1$ магнітні складові матриці електромагнітного поля слід помножити на $c$ .

Таким чином, відштовхуючись тільки з наведених вище припущень, зробимо висновок, що електричне поле повинно супроводжуватися магнітним полем.

Приклад $\PageIndex{1}$ : Parity properties of E and B

У прикладі 9.2.3 ми побачили, що при перетворенні парності будь-який $2$ ранг-тензор $(t, x, y, z) → (t, -x, -y, -z)$ , виражений в координатах Мінковського, змінює ознаки його складових згідно з тим же правилом:

$\begin{pmatrix} \text{no flip} & \text{flip} & \text{flip} & \text{flip}\\ \text{flip} & \text{no flip} & \text{no flip} & \text{no flip}\\ \text{flip} & \text{no flip} & \text{no flip} & \text{no flip}\\ \text{flip} & \text{no flip} & \text{no flip} & \text{no flip}\\ \end{pmatrix}$

Оскільки це стосується тензора електромагнітного поля $F$ , ми знаходимо, що при парності, $E → -E$ і $B → B$ . Наприклад, конденсатор, помічений у дзеркалі, має своє електричне поле, спрямоване протилежним чином, але немає зміни магнітного поля контуру струму, оскільки розташування кожного елемента струму перевертається на іншу сторону петлі, але його напрямок потоку також зворотне, так що картинка як ціле залишається незмінним.

А як щодо гравітації?

Забавна головоломка вискакує, якщо ми повернемося назад і подумаємо над припущеннями вище, які пішли у все це. Ці припущення були настільки загальними, що майже здається, що єдиною можливою поведінкою полів є поведінка електричного та магнітного полів. Але інші поля поводяться інакше. Як припущення провалилися, наприклад, у випадку гравітації? Закон Гаусса (припущення 2), безумовно, дотримується тяжкості. Але джерело гравітаційних полів не є зарядом, це масова енергія, а масова енергія не є інваріантом Лоренца, всупереч припущенню 3. Крім того, припущення 1 спричинило, що наше поле може бути визначено через сили, виміряні інерційним спостерігачем, але для інерційного спостерігача гравітація не існує (розділ 5.2).