9.E: Флюс (вправи)

Q1

Перепишіть тензор стрес-енергії досконалої рідини в одиницях СІ. Для повітря на рівні моря порівняйте розміри його складових.

Q2

Доведіть прямим обчисленням, що якщо$2$ ранг-тензор симетричний при вираженні в одному кадрі Мінковського, симетрія зберігається під імпульсом.

Q3

Розглянемо наступну зміну координат:

$$t' = -t$$

$$x' = x$$

$$y' = y$$

$$z' = z$$

Це називається часовим розворотом. Як і в прикладі 9.2.3, знайти вплив на тензор напруження-енергія.

Q4

Покажіть, що в координатах Мінковського у плоскому просторі всі символи Крістоффеля зникають.

Q5

Показати, що якщо диференціальне рівняння для геодезиків задовольняється для одного афінного параметра$λ$, то воно також задовольняється для будь-якого іншого афінного параметра$λ' = aλ+b$, де$a$ і$b$ є константами.

Q6

Дана задача досліджує нотаційний конфлікт в описі метричного тензора з використанням індексних позначень. Припустимо, що у нас дві різні метрики,$g_{µν}$ і$g'_{µν}$. Різниця двох$2$ ранг-тензорів також є$2$ ранг-тензором, тому ми хотіли б,$\partial g_{\mu \nu } = g'_{\mu \nu } - g_{\mu \nu }$ щоб величина була добре поводиться тензором як у своїх властивостях трансформації, так і в поведінці, коли ми маніпулюємо його індексами. Тепер у нас є$g_{µν}$ і$g'_{µν}$, які визначаються як матричні інверси їх нижчих індексних аналогів; це особлива властивість метрики, а не$2$ ранг-тензорів взагалі. Потім ми можемо визначити$\partial g^{\mu \nu } = g'^{\mu \nu } - g^{\mu \nu }$.

1. Скористайтеся простим прикладом, щоб показати, що$\partial g_{\mu \nu }$ і$\partial g^{\mu \nu }$ не можна обчислювати один від одного звичайним способом шляхом підвищення та зниження індексів.
2. Знайдіть загальні відносини між$\partial g_{\mu \nu }$ і$\partial g^{\mu \nu }$.

Q7

У розділі 9.5 ми проаналізували парадокс космічного корабля Белла, використовуючи скаляр розширення та теорему Герглоца-Нетера. Припустимо, що ми проводимо аналогічний аналіз, але з конгруентністю, визначеною$x^2 - t^2 = a^{-2}$. Мотивацією розгляду цієї конгруентності є те, що її світові лінії мають постійне власне прискорення$a$, і кожна така світова лінія має постійне значення координати$X$ в системі прискореної координати (координати Ріндлера), описаної в розділі 7.1. Показати, що тензор розширення зникає. Тлумачення полягає в тому, що до прямого стрижня можна докласти ретельно спланований набір зовнішніх сил, щоб він розганявся по власній довжині без будь-яких навантажень, т. Е.