Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.E: Флюс (вправи)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    77239

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Q1

    Перепишіть тензор стрес-енергії досконалої рідини в одиницях СІ. Для повітря на рівні моря порівняйте розміри його складових.

    Q2

    Доведіть прямим обчисленням, що якщо\(2\) ранг-тензор симетричний при вираженні в одному кадрі Мінковського, симетрія зберігається під імпульсом.

    Q3

    Розглянемо наступну зміну координат:

    \[t' = -t\]

    \[x' = x\]

    \[y' = y\]

    \[z' = z\]

    Це називається часовим розворотом. Як і в прикладі 9.2.3, знайти вплив на тензор напруження-енергія.

    Q4

    Покажіть, що в координатах Мінковського у плоскому просторі всі символи Крістоффеля зникають.

    Q5

    Показати, що якщо диференціальне рівняння для геодезиків задовольняється для одного афінного параметра\(λ\), то воно також задовольняється для будь-якого іншого афінного параметра\(λ' = aλ+b\), де\(a\) і\(b\) є константами.

    Q6

    Дана задача досліджує нотаційний конфлікт в описі метричного тензора з використанням індексних позначень. Припустимо, що у нас дві різні метрики,\(g_{µν}\) і\(g'_{µν}\). Різниця двох\(2\) ранг-тензорів також є\(2\) ранг-тензором, тому ми хотіли б,\(\partial g_{\mu \nu } = g'_{\mu \nu } - g_{\mu \nu }\) щоб величина була добре поводиться тензором як у своїх властивостях трансформації, так і в поведінці, коли ми маніпулюємо його індексами. Тепер у нас є\(g_{µν}\) і\(g'_{µν}\), які визначаються як матричні інверси їх нижчих індексних аналогів; це особлива властивість метрики, а не\(2\) ранг-тензорів взагалі. Потім ми можемо визначити\(\partial g^{\mu \nu } = g'^{\mu \nu } - g^{\mu \nu }\).

    1. Скористайтеся простим прикладом, щоб показати, що\(\partial g_{\mu \nu }\) і\(\partial g^{\mu \nu }\) не можна обчислювати один від одного звичайним способом шляхом підвищення та зниження індексів.
    2. Знайдіть загальні відносини між\(\partial g_{\mu \nu }\) і\(\partial g^{\mu \nu }\).

    Q7

    У розділі 9.5 ми проаналізували парадокс космічного корабля Белла, використовуючи скаляр розширення та теорему Герглоца-Нетера. Припустимо, що ми проводимо аналогічний аналіз, але з конгруентністю, визначеною\(x^2 - t^2 = a^{-2}\). Мотивацією розгляду цієї конгруентності є те, що її світові лінії мають постійне власне прискорення\(a\), і кожна така світова лінія має постійне значення координати\(X\) в системі прискореної координати (координати Ріндлера), описаної в розділі 7.1. Показати, що тензор розширення зникає. Тлумачення полягає в тому, що до прямого стрижня можна докласти ретельно спланований набір зовнішніх сил, щоб він розганявся по власній довжині без будь-яких навантажень, т. Е.