9.2: Тензор енергії стресу

Цілі навчання

• Поясніть збереження та енергетичний імпульс
• Поясніть тензор енергії стресу

Збереження та потік енергії-імпульсу

Така частинка, як електрон, має заряд, але вона також має масу. Ми не можемо визначити релятивістський потік маси, оскільки потік визначається додаванням, але маса не є адитивною в відносності. Мас-енергія є адитивною, але на відміну від заряду вона не є інваріантною. Маса-енергія є частиною енергії-імпульсу чотирьох векторів$p = (E, p^x, p^y, p^z)$. Потім ми маємо шістнадцять різних потоків, які ми можемо визначити. Наприклад, ми могли б повторити опис у розділі 9.1 триповерхневого$S$ перпендикулярного$x$ напрямку, але тепер нас цікавить така кількість, як$z$ складова імпульсу. Потім у нас є міра щільності потоку$p^z$ в напрямку х, яку ми відзначаємо як$T^{zx}$. Матриця$T$ називається тензором напружено-енергії, і вона є об'єктом центральної важливості в теорії відносності. (Причина непарного імені стане зрозумілішою через мить.) У загальній теорії відносності вона є джерелом гравітаційних полів.

Тензор стрес-енергії пов'язаний з фізичними вимірами наступним чином. $o$Дозволяти бути орієнтований на майбутнє, нормований вектор швидкості спостерігача; нехай$s$ висловити просторовий напрямок відповідно до цього спостерігача, тобто він вказує в напрямку одночасності і нормалізується з$s\cdot s = -1$; і нехай$S$ буде триоб'ємний ковектор, спрямований у майбутнє ( тобто,$o^a S_a > 0$). Тоді вимірювання цим спостерігачем виходять наступним чином:

$$T^{ab} o_a S_b = \text{mass-energy inside the three-volume } S$$

$$T^{ab} s_a S_b = \text{momentum in the direction } s, \text{inside } S$$

Тензор стрес-енергії дозволяє висловити збереження енергії-імпульсу як

$$\frac{\partial T^{ab}}{\partial x^a} = 0$$

Це локальне збереження енергії-імпульсу - це все, що ми отримуємо в загальній теорії відносності. Як обговорювалося в розділі 4.3, такого глобального закону в криволінійному просторовому часі немає. Однак ми покажемо в розділі 9.3, що в особливому випадку плоского простору-часу, тобто особливої відносності, ми маємо такий глобальний закон збереження.

Симетрія тензора енергії напруження

Тензор напруження-енергія являє собою симетричну матрицю. Наприклад, припустимо, у нас є деякі нерелятивістські частинки. Якщо у нас є ненульовий$T^{tx}$, він являє собою потік маси енергії ($p^t$) через три поверхні перпендикулярно до$x$. Це означає, що маса рухається в$x$ напрямку. Але якщо маса рухається в$x$ напрямку, то у нас є певний$x$ імпульс$p^x$. Тому ми також повинні мати$T^{xt}$, оскільки цей імпульс переноситься частинками, чиї світові лінії проходять через гіперповерхню одночасності.

Пил

Найпростішим прикладом тензора енергії напруження буде хмара частинок, все в спокої в певній системі відліку, описаної в координатах Мінковського:

$$T^{\mu \nu } = \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

де ми тепер використовуємо$ρ$ для позначення щільності масової енергії, а не заряду, як в розділі 9.1. Це може бути тензор стрес-енергії стопки апельсинів у продуктовому магазині, атоми в шматку міді або галактики в якомусь невеликому районі Всесвіту. Релятивісти називають такий тип матерії, у яких швидкості мізерно малі, як «пил». Незникаючий компонент$T^{tt}$ вказує на те, що для триповерхневої$S$ перпендикулярної$t$ осі частинки з масовою енергією$E = P^t$ перетинають цю поверхню з минулого в майбутнє. Збереження енергії-імпульсу задовольняється, так як всі$T$ елементи цього постійні, тому всі часткові похідні зникають.

Тензори 2-го рангу та закон їх трансформації

Припустимо, ми повинні були подивитися на цю хмару в іншій системі відліку. Деякі або всі тимчасові рядки$T^{t\nu }$ та стовпці типу часу заповнилися$T^{µt}$ б через існування імпульсу, але давайте просто зосередимося на даний момент на зміні масово-енергетичної щільності, представленої$T^{tt}$. Вона збільшиться з двох причин. По-перше, кінетична енергія кожної частинки тепер ненульова; її масова енергія збільшується від$m$ до$mγ$. Але крім того, обсяг, зайнятий хмарою, був зменшений за$1/γ$ рахунок скорочення довжини. Ми підібрали два фактори гамма, тому результат є$ρ → ργ^2$. Це відрізняється від трансформаційної поведінки вектора. Коли вектор є чисто часовим, як в одному кадрі, перетворення в інший кадр піднімає його часову складову лише на коефіцієнт$γ$, а не$γ^2$. Це говорить нам про те, що матриця подібно$T$ перетворюється інакше, ніж вектор (розділ 7.2). Загальне правило полягає в тому, що якщо ми трансформуємо з координат$x$ в$x'$, то:

$$T^{'\mu \nu } = T^{\kappa \lambda }\frac{\partial x^{'\mu }}{\partial x^{\kappa }}\frac{\partial x^{'\nu }}{\partial x^{\lambda }}$$

Об'єкт, який трансформується таким стандартним способом, називається$2$ ранг-тензором. Це$2$ тому, що він має два індекси. Вектори і ковектори мають ранг$1$, інваріанти рангу$0$. У розділі 7.3 ми розробили метод перетворення метрики з одного набору координат в інший; тепер ми бачимо цю техніку як застосування більш загального правила, наведеного в рівнянні$\PageIndex{5}$. Розглядається як тензор, метрика симетрична,$g_{ab} = g_{ba}$. У більшості розглянутих нами прикладів метричний тензор є діагоналлю, але коли він має недіагональні елементи, кожен з них є половиною відповідного коефіцієнта у виразі для$ds$, як у наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{1}$: An non-diagonal metric tensor

Відповіддю на проблему Q2 у главі 7 була метрика

$$ds^2 = dx^2 + dy^2 + 2cosϕdxdy$$

Записуючи це з точки зору метричного тензора, ми маємо

$$\begin{align*} ds^2 &= g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\\ &= g_{xx}dx^2 + g_{xy}dxdy + g_{yx}dydx + g_{yy}dy^2\\ &= g_{xx}dx^2 + 2g_{xy}dxdy + g_{yy}dy^2 \end{align*}$$

Тому у нас$g_{xy} = cosϕ$, немає$g_{xy} = 2cosϕ$.

Приклад$\PageIndex{2}$: Dust in a different frame

Почнемо з тензора напружено-енергії хмари частинок, в іншому кадрі частинок.

$$T^{\mu \nu } = \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Під поштовхом$\nu$ у$x$ напрямку закон тензорного перетворення дає

$$T^{\mu '\nu '} = \begin{pmatrix} \gamma ^2\rho & \gamma ^2\nu \rho & 0 & 0\\ \gamma ^2\nu \rho & \gamma ^2\nu ^2\rho & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Загальний фактор$γ^2$ виникає з причин, описаних раніше.

Приклад$\PageIndex{3}$: Parity

Трансформація парності - це зміна координат, яка виглядає наступним чином:

$$t' = t$$

$$x' = -x$$

$$y' = -y$$

$$z' = -z$$

Він перетворює правосторонні гвинти в лівші, але залишає стрілку часу незмінною. Під цим перетворенням закон тензорного перетворення говорить нам, що деякі компоненти тензора енергії стресу перевернуть свої знаки, а інші залишаться колишніми:

$$\begin{pmatrix} \text{no flip} & \text{flip} & \text{flip} & \text{flip}\\ \text{flip} & \text{no flip} & \text{no flip} & \text{no flip}\\ \text{flip} & \text{no flip} & \text{no flip} & \text{no flip}\\ \text{flip} & \text{no flip} & \text{no flip} & \text{no flip} \end{pmatrix}$$

Все тут ґрунтувалося виключно на тому, що$T$ був ранговий$2$ тензор, виражений у координатах Мінковського, і тому ті ж властивості паритету мають і для інших$2$ ранг-тензорів.

Тиск

Тензор стрес-енергії несе інформацію про тиск. Наприклад,$T^{xx}$ це потік у$x$ напрямку$x$ -імпульсу. Це просто тиск$P$, який буде чинити на поверхні з його нормальним в$x$ напрямку. Негативний тиск - це напруга, і це походження терміна «тензор», придуманого Леві-Чівітою.

Приклад$\PageIndex{4}$: Pressure as a source of gravitational fields

Оскільки тензор стрес-енергії є джерелом гравітаційних полів у загальній теорії відносності, ми бачимо, що на гравітаційне поле об'єкта має впливати не тільки його масова енергія, а й внутрішні напруження. У самому ранньому Всесвіті переважали фотони, а не матерія, і фотони мають набагато вище відношення імпульсу до масової енергії, ніж матерія, тому важливість компонентів тиску в тензорі стрес-енергії була набагато більшою в ту епоху. У Всесвіті сьогодні найбільший тиск - це ті, що знаходяться всередині атомних ядер. Усередині важкого ядра електромагнітний тиск може бути настільки ж високим, як$10^{33}\: Pa$! Якби загальний опис відносності тиску як джерела гравітаційних полів було неправильним, то ми побачили б аномальні ефекти в гравітаційних силах, що чинилися важкими елементами порівняно з легкими. Такі ефекти шукали як в лабораторії ¹, так і в експериментах з місячним лазерним діапазоном, ² з результатами, які узгоджувалися з прогнозами загальної теорії відносності.

Ідеальна рідина

Хмара в прикладі$\PageIndex{2}$ мала тензор стрес-енергії у власному кадрі спокою, який був ізотропним, тобто симетричним по відношенню до$x$$y$, і$z$ напрямків. Тензор став анізотропним, коли ми вийшли з цього кадру. Якщо фізична система має рамку, в якій її тензор напружено-енергії є ізотропним, т. Е.

$$T^{\mu \nu } = \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0\\ 0 & P & 0 & 0\\ 0 & 0 & P & 0\\ 0 & 0 & 0 & P \end{pmatrix}$$

ми називаємо це ідеальною рідиною в рівновазі. Хоча він може містити рухомі частинки, ця спеціальна рамка - це та, в якій їх моменти скасовуються. В інших випадках тиск не повинен бути ізотропним, а напруга, яку надає рідина, не повинна бути перпендикулярною поверхні, на яку вона діє. Компонентами простору буде класичний тензор напружень, діагональні елементи якого є анізотропним тиском, і чиї позадіагональні елементи є напругою зсуву.$T$ Це і є причиною для$T$ виклику тензора стрес-енергії.

Ідеальна рідка форма тензора стрес-енергії надзвичайно важлива і поширена. Наприклад, космологи виявляють, що це майже ідеальний опис Всесвіту у великих масштабах.

Ми обговорювали в розділі?? ідеї перетворення туди-сюди між векторами та відповідними їм ковекторами та позначення цього як підвищення та зниження індексів. Ми можемо зробити те ж саме з двома індексами$2$ ранг-тензора, так що тензор напруження-енергії може бути виражений чотирма різними способами:$T^{ab}$$T^{ab}$,$T^a\: _b$,, і$T_a\: ^b$, але симетрія$T$ означає, що немає цікавого відмінності між останніми двома ці. У спеціальній теорії відносності відмінності між різними формами не особливо захоплюють. Ми завжди можемо охопити весь простор-час координатами Мінковського, так що форма метрики - це просто діагональна матриця з елементами$±1$ по діагоналі. Як і у випадку з$1$ ранг-тензором, підвищення і зниження індексів на$2$ ранг-тензорі просто перевертає деякі компоненти і залишає інші в спокої. Методи підвищення і зниження не потрібно виводити або запам'ятовувати, оскільки вони однозначно випливають з граматики позначення індексу, наприклад,$T^a\: _b = g_{bc}T^{ac}$. Але є потенціал для великої плутанини з усіма знаками, і крім того є той факт, що деякі люди використовують$+ ---$ підпис, а інші використовують$- + ++$. Оскільки ідеальні рідини настільки важливі, я продемонструю, як все це працює в такому випадку.

Для ідеальної рідини ми можемо записати тензор енергії стресу в координатно-незалежній формі

$$T^{ab} = (\rho +P)o^a o^b - (o^c o_c)Pg^{ab}$$

де$o$ представляє вектор швидкості спостерігача в кадрі спокою рідини, і$o^c o_c = o^2 = o\cdot o$ дорівнює$1$ для нашого$+- --$ підпису або$-1$ для підпису$-+++$. Для зручності написання скоротимо фактор підпису як$s = o^c o_c$.

Припустимо, що метрика діагональна, але її складові різні,$g_{\alpha \beta } = diag(sA^2,-sB^2,...)$. Правильно нормований вектор швидкості спостерігача при (координаті-) спокої дорівнює$o^{α} = (A^{-1} , 0, 0, 0)$. Зниження показника дає$o_α = (sA, 0, 0, 0)$. Різні форми тензора енергії стресу виглядають наступним чином:

$$T_{00} = A^2 \rho \; \; \; \; \; T_{11} = B^2 P$$

$$T^0\: _0 = s\rho \; \; \; \; \; T^1\: _1 = -sP$$

$$T^{00} = A^{-2}\rho \; \; \; \; \; T^{11}= B^{-2}P$$

Яка з цих форм є «справжньою», наприклад, яка форма$00$ компонента є тією, яку спостерігач$o$ насправді вимірює, коли вона встромляє лопату в землю, витягує певний обсяг бруду, зважує її і визначає$ρ$? Відповідь полягає в тому, що позначення індексу настільки гладке і добре розроблене, що всі вони однаково «реальні», і нам не потрібно запам'ятовувати, що насправді відповідає вимірюванням. Коли вона робить це вимірювання лопатою, вона може сказати, що вимірює кількість$T^{ab} o_a o_b$. Але тому, що всі в і$a$ '$b$s парні, цей вираз є ранг-$0$ тензор. Це означає$T^{ab} o_a o_b$, що$T_{ab} o^a o^b$, і всі$T^a\: _b\, o_a o^b$ однакові числа. Якщо, наприклад, у нас є координати, в яких метрика діагональна і має елементи$±1$, то у всіх цих виразах різні знаки точно компенсуються знаками$T$ тих.$o$

Приклад$\PageIndex{5}$: A rope under tension

Як реальний приклад, в якому тиск не є ізотропним, розглянемо мотузку, яка рухається інерційно, але під напругою, тобто рівні сили на її кінцях скасовуються, щоб мотузка не прискорювалася. Напруга таке ж, як і негативний тиск. Якщо мотузка лежить уздовж$x$ осі, а її волокна здатні підтримувати натяг тільки уздовж цієї осі, то тензор напруження-енергії мотузки буде мати форму

$$T^{\mu \nu } = \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0\\ 0 & P & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

де$P$ негативний і дорівнює мінус натягу на одиницю площі поперечного перерізу. Збереження енергії-імпульсу виражається у вигляді (Рівняння$\PageIndex{3}$)$\frac{\partial T^{ab}}{\partial x^a} = 0$. Конвертуючи абстрактні індекси в конкретні, ми маємо

$$\frac{\partial T^{\mu \nu }}{\partial x^{\mu }} = 0$$

де мається на увазі сума над$µ$, і рівняння має триматися як у випадку, коли$\nu$ є мітка для, так$t$ і той, на який він посилається$x$. У першому випадку ми маємо

$$\frac{\partial T^{tt}}{\partial t} + \frac{\partial T^{xt}}{\partial x} = 0$$

яка є твердженням збереження енергії, енергія є часоподібною складовою енергії-імпульсу. Перший термін дорівнює нулю, тому що$ρ$ постійний в силу нашого припущення, що мотузка була рівномірною. Другий термін дорівнює нулю тому що$T^{xt} = 0$. Тому збереження енергії задовольняється. Це сталося автоматично, тому що, записуючи незалежний від часу вираз для стрес-енергії, ми диктували статичну рівновагу. Коли$\nu$ означає$x$, ми отримуємо рівняння, яке вимагає збереження$x$ складової імпульсу,

$$\frac{\partial T^{tx}}{\partial t} + \frac{\partial T^{xx}}{\partial x} = 0$$

Це просто говорить

$$\frac{\partial P}{\partial x} = 0$$

це означає, що натяг в мотузці постійне по її довжині.

Приклад$\PageIndex{6}$: A rope supporting its own weight

Варіація на прикладі$\PageIndex{5}$ - це така, в якій мотузка висить і підтримує власну вагу. Хоча гравітація бере участь, ми можемо вирішити цю проблему без загальної теорії відносності, використовуючи принцип еквівалентності (розділ 5.2). Як обговорювалося в розділі 5.1, інерційна рамка в теорії відносності є вільним падінням. Визначено інерційну систему відліку$o$, відповідну спостерігачу, вільно падаючому повз мотузку, і неінерційну рамку$o'$ в спокої відносно мотузки.

Оскільки мотузка висить в статичній рівновазі, спостерігач$o'$ бачить тензор напружено-енергії, який не має залежності від часу. Позадіагональні компоненти зникають в цьому кадрі, оскільки імпульсу немає. Тензор стрес-енергії дорівнює

$$T^{\mu '\nu '} = \begin{pmatrix} \rho & 0\\ 0 & P \end{pmatrix}$$

де компоненти, що беруть участь$y$ і$z$ є нульовими і не показані, і$P$ є негативними, як у прикладі$\PageIndex{5}$. Ми могли б спробувати застосувати збереження енергетичного стану до цього тензора стрес-енергії, як у прикладі 8, але це було б помилкою. Як обговорювалося в розділі 7.5, швидкості зміни можуть бути виміряні лише шляхом взяття часткових похідних щодо координат, якщо координати Мінковського, тобто в інерційній рамці. Тому нам потрібно перетворити цей тензор стрес-енергії в інерційний кадр$o$.

Для простоти обмежуємося ньютонівським наближенням, так що зміна координат між двома кадрами

$$t ≈ t'$$

$$x \approx x' + \frac{1}{2}at^2$$

де$a > 0$ якщо вільно падаючий спостерігач падає в негативному напрямку x,$x$ тобто позитивний - вгору. Тобто, якщо точка на мотузці у$x'$ нерухомого позначена плямою фарби, то вільно падаючий спостерігач$o$ бачить пляму, що рухається вгору, до більших значень$x$, в$t > 0$. Застосовуючи закон тензорного перетворення, знаходимо

$$T^{\mu '\nu '} = \begin{pmatrix} \rho & \rho at\\ \rho at & P+\rho a^2 t^2 \end{pmatrix}$$

Як і в прикладі$\PageIndex{5}$, збереження енергії тривіально задовольняється. Збереження імпульсу дає

$$\frac{\partial T^{tx}}{\partial t} + \frac{\partial T^{xx}}{\partial x} = 0$$

Інтегруючи це стосовно$x$, ми маємо

$$P = -ρax + \text{constant}$$

Нехай площа поперечного перерізу мотузки буде$A$, і нехай$µ = ρA$ буде маса на одиницю довжини і$T = -PA$ натягу. Потім знаходимо

$$T = µax + \text{constant}$$

Збереження імпульсу вимагає, щоб напруга змінювалася по довжині мотузки, так само, як ми очікуємо від законів Ньютона: ділянка мотузки вище вгору має більшу вагу нижче неї для підтримки.

Енергетичні умови

Результат Прикладу$\PageIndex{6}$ може призвести до того, що трапиться щось страшне. Якщо ми підійдемо до мотузки під напругою і дамо їй швидку карате відбивну, ми будемо спостерігати хвильові імпульси, що поширюються від відбивної в обидві сторони, на швидкостях$v = \pm \sqrt{T/\mu }$. Але результатом прикладу є те, що цей вираз збільшується без обмежень, оскільки$x$ стає все більше і більше. У якийсь момент$v$ буде перевищувати швидкість світла. (Звичайно, будь-яка реальна мотузка зламається задовго до того, як було досягнуто такої великої напруги.) Дві речі призвели до проблемного результату:

1. ми припустили, що немає обмежень на можливий тензор напруги енергії в іншому кадрі мотузки; і
2. ми використовували ньютонівське наближення, щоб перейти від цього кадру до вільно падаючого кадру.

Насправді ми не знаємо жодного матеріалу настільки жорсткого, що вібрації поширюються в ньому швидше$c$. Насправді всі звичайні матеріали зроблені з атомів, атоми пов'язані один з одним електромагнітними силами, і тому жоден матеріал, виготовлений з атомів, не може передавати коливання швидше, ніж швидкість електромагнітної хвилі$c$.

Виходячи з цих умов, ми очікуємо, що на тензорі енергії напруги будь-якої звичайної форми матерії будуть певні обмеження. Наприклад, ми не очікуємо знайти жодної мотузки, тензор якої стрес-енергії виглядає так:

$$T^{\mu \nu } = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

тому що тут напруження при$+2$ розтягуванні більше, ніж щільність маси$1$, що призвело б до$\left | v \right | = \sqrt{2/1} >1$. Обмеження такого роду називаються енергетичними умовами. Гіпотетичні форми матерії, які їх порушують, називаються екзотичними речовинами; якщо вони існують, вони не складаються з атомів. Цей конкретний приклад порушує енергетичний стан, відомий як домінуюча енергетична умова, яка вимагає$ρ > 0$ і$|P| > ρ$. Існує близько п'яти енергетичних умов, які зазвичай використовуються, і детальне їх обговорення більше підходить для загального тексту відносності. Загальні ідеї, які повторюються у багатьох з них:

1. що щільність енергії ніколи не буває негативною в будь-якій системі відліку, і
2. що ніколи не існує потоку енергії, що поширюється зі швидкістю, більшою ніж$c$.

Енергетичний стан, який особливо просто висловити, - це стан енергії слідів (TEC),

$$T^a\: _a \geq 0$$

де ми повинні мати один верхній індекс і один нижній індекс, щоб підкорятися граматичним правилам позначення індексу. У координатах$(t, x, y, z)$ Мінковського це стає$T^\mu \: _\mu \geq 0$, з неявною сумою над$µ$ розширенням, щоб дати

$$T^t\: _t + T^x\: _x + T^y\: _y + T^z\: _z \geq 0$$

Ліва частина цього співвідношення, сума основних діагональних елементів матриці, називається слідом матриці, звідси і назва цієї енергетичної умови. Оскільки ця книга використовує підпис$+ ---$ для метрики, підняття другого індексу змінює це на

$$T^{tt} - T^{xx} - T^{yy} - T^{zz} \geq 0$$

У прикладі$\PageIndex{2}$ ми обчислили тензор енергії напруги хмари пилу, у кадрі, що рухається зі швидкістю v відносно кадру спокою хмари. Результат був

$$T^{\mu '\nu '} = \begin{pmatrix} \gamma ^2\rho & \gamma ^2\nu \rho & 0 & 0\\ \gamma ^2\nu \rho & \gamma ^2\nu ^2\rho & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

У цьому прикладі умова енергії сліду задовольняється саме за умови$|v| ≤ 1$, що можна інтерпретувати як твердження про те, що згідно ТЕК, масова енергія хмари ніколи не може транспортуватися зі швидкістю, більшою, ніж$c$ в будь-якому кадрі.

Посилання

¹ Крейцер, Фіз. Откр 169 (1968) 1007. Описано в розділі 3.7.3 Волі, «Протистояння загальної теорії відносності та експерименту», відносність. livingreviews.org/articles/LRR-2006-3/.

² Бартлетт і ван Бюрен, Фіз. Преподобний Летт. 57 (1986) 21, також описаний у Волі.