9.2: Тензор енергії стресу
- Page ID
- 77215
Цілі навчання
- Поясніть збереження та енергетичний імпульс
- Поясніть тензор енергії стресу
Збереження та потік енергії-імпульсу
Така частинка, як електрон, має заряд, але вона також має масу. Ми не можемо визначити релятивістський потік маси, оскільки потік визначається додаванням, але маса не є адитивною в відносності. Мас-енергія є адитивною, але на відміну від заряду вона не є інваріантною. Маса-енергія є частиною енергії-імпульсу чотирьох векторів\(p = (E, p^x, p^y, p^z)\). Потім ми маємо шістнадцять різних потоків, які ми можемо визначити. Наприклад, ми могли б повторити опис у розділі 9.1 триповерхневого\(S\) перпендикулярного\(x\) напрямку, але тепер нас цікавить така кількість, як\(z\) складова імпульсу. Потім у нас є міра щільності потоку\(p^z\) в напрямку х, яку ми відзначаємо як\(T^{zx}\). Матриця\(T\) називається тензором напружено-енергії, і вона є об'єктом центральної важливості в теорії відносності. (Причина непарного імені стане зрозумілішою через мить.) У загальній теорії відносності вона є джерелом гравітаційних полів.
Тензор стрес-енергії пов'язаний з фізичними вимірами наступним чином. \(o\)Дозволяти бути орієнтований на майбутнє, нормований вектор швидкості спостерігача; нехай\(s\) висловити просторовий напрямок відповідно до цього спостерігача, тобто він вказує в напрямку одночасності і нормалізується з\(s\cdot s = -1\); і нехай\(S\) буде триоб'ємний ковектор, спрямований у майбутнє ( тобто,\(o^a S_a > 0\)). Тоді вимірювання цим спостерігачем виходять наступним чином:
\[T^{ab} o_a S_b = \text{mass-energy inside the three-volume } S\]
\[T^{ab} s_a S_b = \text{momentum in the direction } s, \text{inside } S\]
Тензор стрес-енергії дозволяє висловити збереження енергії-імпульсу як
\[\frac{\partial T^{ab}}{\partial x^a} = 0\]
Це локальне збереження енергії-імпульсу - це все, що ми отримуємо в загальній теорії відносності. Як обговорювалося в розділі 4.3, такого глобального закону в криволінійному просторовому часі немає. Однак ми покажемо в розділі 9.3, що в особливому випадку плоского простору-часу, тобто особливої відносності, ми маємо такий глобальний закон збереження.
Симетрія тензора енергії напруження
Тензор напруження-енергія являє собою симетричну матрицю. Наприклад, припустимо, у нас є деякі нерелятивістські частинки. Якщо у нас є ненульовий\(T^{tx}\), він являє собою потік маси енергії (\(p^t\)) через три поверхні перпендикулярно до\(x\). Це означає, що маса рухається в\(x\) напрямку. Але якщо маса рухається в\(x\) напрямку, то у нас є певний\(x\) імпульс\(p^x\). Тому ми також повинні мати\(T^{xt}\), оскільки цей імпульс переноситься частинками, чиї світові лінії проходять через гіперповерхню одночасності.
Пил
Найпростішим прикладом тензора енергії напруження буде хмара частинок, все в спокої в певній системі відліку, описаної в координатах Мінковського:
\[T^{\mu \nu } = \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
де ми тепер використовуємо\(ρ\) для позначення щільності масової енергії, а не заряду, як в розділі 9.1. Це може бути тензор стрес-енергії стопки апельсинів у продуктовому магазині, атоми в шматку міді або галактики в якомусь невеликому районі Всесвіту. Релятивісти називають такий тип матерії, у яких швидкості мізерно малі, як «пил». Незникаючий компонент\(T^{tt}\) вказує на те, що для триповерхневої\(S\) перпендикулярної\(t\) осі частинки з масовою енергією\(E = P^t\) перетинають цю поверхню з минулого в майбутнє. Збереження енергії-імпульсу задовольняється, так як всі\(T\) елементи цього постійні, тому всі часткові похідні зникають.
Тензори 2-го рангу та закон їх трансформації
Припустимо, ми повинні були подивитися на цю хмару в іншій системі відліку. Деякі або всі тимчасові рядки\(T^{t\nu }\) та стовпці типу часу заповнилися\(T^{µt}\) б через існування імпульсу, але давайте просто зосередимося на даний момент на зміні масово-енергетичної щільності, представленої\(T^{tt}\). Вона збільшиться з двох причин. По-перше, кінетична енергія кожної частинки тепер ненульова; її масова енергія збільшується від\(m\) до\(mγ\). Але крім того, обсяг, зайнятий хмарою, був зменшений за\(1/γ\) рахунок скорочення довжини. Ми підібрали два фактори гамма, тому результат є\(ρ → ργ^2\). Це відрізняється від трансформаційної поведінки вектора. Коли вектор є чисто часовим, як в одному кадрі, перетворення в інший кадр піднімає його часову складову лише на коефіцієнт\(γ\), а не\(γ^2\). Це говорить нам про те, що матриця подібно\(T\) перетворюється інакше, ніж вектор (розділ 7.2). Загальне правило полягає в тому, що якщо ми трансформуємо з координат\(x\) в\(x'\), то:
\[T^{'\mu \nu } = T^{\kappa \lambda }\frac{\partial x^{'\mu }}{\partial x^{\kappa }}\frac{\partial x^{'\nu }}{\partial x^{\lambda }}\]
Об'єкт, який трансформується таким стандартним способом, називається\(2\) ранг-тензором. Це\(2\) тому, що він має два індекси. Вектори і ковектори мають ранг\(1\), інваріанти рангу\(0\). У розділі 7.3 ми розробили метод перетворення метрики з одного набору координат в інший; тепер ми бачимо цю техніку як застосування більш загального правила, наведеного в рівнянні\(\PageIndex{5}\). Розглядається як тензор, метрика симетрична,\(g_{ab} = g_{ba}\). У більшості розглянутих нами прикладів метричний тензор є діагоналлю, але коли він має недіагональні елементи, кожен з них є половиною відповідного коефіцієнта у виразі для\(ds\), як у наступному прикладі.
Приклад\(\PageIndex{1}\): An non-diagonal metric tensor
Відповіддю на проблему Q2 у главі 7 була метрика
\[ds^2 = dx^2 + dy^2 + 2cosϕdxdy\]
Записуючи це з точки зору метричного тензора, ми маємо
\[\begin{align*} ds^2 &= g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\\ &= g_{xx}dx^2 + g_{xy}dxdy + g_{yx}dydx + g_{yy}dy^2\\ &= g_{xx}dx^2 + 2g_{xy}dxdy + g_{yy}dy^2 \end{align*}\]
Тому у нас\(g_{xy} = cosϕ\), немає\(g_{xy} = 2cosϕ\).
Приклад\(\PageIndex{2}\): Dust in a different frame
Почнемо з тензора напружено-енергії хмари частинок, в іншому кадрі частинок.
\[T^{\mu \nu } = \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
Під поштовхом\(\nu \) у\(x\) напрямку закон тензорного перетворення дає
\[T^{\mu '\nu '} = \begin{pmatrix} \gamma ^2\rho & \gamma ^2\nu \rho & 0 & 0\\ \gamma ^2\nu \rho & \gamma ^2\nu ^2\rho & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
Загальний фактор\(γ^2\) виникає з причин, описаних раніше.
Приклад\(\PageIndex{3}\): Parity
Трансформація парності - це зміна координат, яка виглядає наступним чином:
\[t' = t\]
\[x' = -x\]
\[y' = -y\]
\[z' = -z\]
Він перетворює правосторонні гвинти в лівші, але залишає стрілку часу незмінною. Під цим перетворенням закон тензорного перетворення говорить нам, що деякі компоненти тензора енергії стресу перевернуть свої знаки, а інші залишаться колишніми:
\[\begin{pmatrix} \text{no flip} & \text{flip} & \text{flip} & \text{flip}\\ \text{flip} & \text{no flip} & \text{no flip} & \text{no flip}\\ \text{flip} & \text{no flip} & \text{no flip} & \text{no flip}\\ \text{flip} & \text{no flip} & \text{no flip} & \text{no flip} \end{pmatrix}\]
Все тут ґрунтувалося виключно на тому, що\(T\) був ранговий\(2\) тензор, виражений у координатах Мінковського, і тому ті ж властивості паритету мають і для інших\(2\) ранг-тензорів.
Тиск
Тензор стрес-енергії несе інформацію про тиск. Наприклад,\(T^{xx}\) це потік у\(x\) напрямку\(x\) -імпульсу. Це просто тиск\(P\), який буде чинити на поверхні з його нормальним в\(x\) напрямку. Негативний тиск - це напруга, і це походження терміна «тензор», придуманого Леві-Чівітою.
Приклад\(\PageIndex{4}\): Pressure as a source of gravitational fields
Оскільки тензор стрес-енергії є джерелом гравітаційних полів у загальній теорії відносності, ми бачимо, що на гравітаційне поле об'єкта має впливати не тільки його масова енергія, а й внутрішні напруження. У самому ранньому Всесвіті переважали фотони, а не матерія, і фотони мають набагато вище відношення імпульсу до масової енергії, ніж матерія, тому важливість компонентів тиску в тензорі стрес-енергії була набагато більшою в ту епоху. У Всесвіті сьогодні найбільший тиск - це ті, що знаходяться всередині атомних ядер. Усередині важкого ядра електромагнітний тиск може бути настільки ж високим, як\(10^{33}\: Pa\)! Якби загальний опис відносності тиску як джерела гравітаційних полів було неправильним, то ми побачили б аномальні ефекти в гравітаційних силах, що чинилися важкими елементами порівняно з легкими. Такі ефекти шукали як в лабораторії 1, так і в експериментах з місячним лазерним діапазоном, 2 з результатами, які узгоджувалися з прогнозами загальної теорії відносності.
Ідеальна рідина
Хмара в прикладі\(\PageIndex{2}\) мала тензор стрес-енергії у власному кадрі спокою, який був ізотропним, тобто симетричним по відношенню до\(x\)\(y\), і\(z\) напрямків. Тензор став анізотропним, коли ми вийшли з цього кадру. Якщо фізична система має рамку, в якій її тензор напружено-енергії є ізотропним, т. Е.
\[T^{\mu \nu } = \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0\\ 0 & P & 0 & 0\\ 0 & 0 & P & 0\\ 0 & 0 & 0 & P \end{pmatrix}\]
ми називаємо це ідеальною рідиною в рівновазі. Хоча він може містити рухомі частинки, ця спеціальна рамка - це та, в якій їх моменти скасовуються. В інших випадках тиск не повинен бути ізотропним, а напруга, яку надає рідина, не повинна бути перпендикулярною поверхні, на яку вона діє. Компонентами простору буде класичний тензор напружень, діагональні елементи якого є анізотропним тиском, і чиї позадіагональні елементи є напругою зсуву.\(T\) Це і є причиною для\(T\) виклику тензора стрес-енергії.
Ідеальна рідка форма тензора стрес-енергії надзвичайно важлива і поширена. Наприклад, космологи виявляють, що це майже ідеальний опис Всесвіту у великих масштабах.
Ми обговорювали в розділі?? ідеї перетворення туди-сюди між векторами та відповідними їм ковекторами та позначення цього як підвищення та зниження індексів. Ми можемо зробити те ж саме з двома індексами\(2\) ранг-тензора, так що тензор напруження-енергії може бути виражений чотирма різними способами:\(T^{ab}\)\(T^{ab}\),\(T^a\: _b\),, і\(T_a\: ^b\), але симетрія\(T\) означає, що немає цікавого відмінності між останніми двома ці. У спеціальній теорії відносності відмінності між різними формами не особливо захоплюють. Ми завжди можемо охопити весь простор-час координатами Мінковського, так що форма метрики - це просто діагональна матриця з елементами\(±1\) по діагоналі. Як і у випадку з\(1\) ранг-тензором, підвищення і зниження індексів на\(2\) ранг-тензорі просто перевертає деякі компоненти і залишає інші в спокої. Методи підвищення і зниження не потрібно виводити або запам'ятовувати, оскільки вони однозначно випливають з граматики позначення індексу, наприклад,\(T^a\: _b = g_{bc}T^{ac}\). Але є потенціал для великої плутанини з усіма знаками, і крім того є той факт, що деякі люди використовують\(+ ---\) підпис, а інші використовують\(- + ++\). Оскільки ідеальні рідини настільки важливі, я продемонструю, як все це працює в такому випадку.
Для ідеальної рідини ми можемо записати тензор енергії стресу в координатно-незалежній формі
\[T^{ab} = (\rho +P)o^a o^b - (o^c o_c)Pg^{ab}\]
де\(o\) представляє вектор швидкості спостерігача в кадрі спокою рідини, і\(o^c o_c = o^2 = o\cdot o\) дорівнює\(1\) для нашого\(+- --\) підпису або\(-1\) для підпису\(-+++\). Для зручності написання скоротимо фактор підпису як\(s = o^c o_c\).
Припустимо, що метрика діагональна, але її складові різні,\(g_{\alpha \beta } = diag(sA^2,-sB^2,...)\). Правильно нормований вектор швидкості спостерігача при (координаті-) спокої дорівнює\(o^{α} = (A^{-1} , 0, 0, 0)\). Зниження показника дає\(o_α = (sA, 0, 0, 0)\). Різні форми тензора енергії стресу виглядають наступним чином:
\[T_{00} = A^2 \rho \; \; \; \; \; T_{11} = B^2 P\]
\[T^0\: _0 = s\rho \; \; \; \; \; T^1\: _1 = -sP\]
\[T^{00} = A^{-2}\rho \; \; \; \; \; T^{11}= B^{-2}P\]
Яка з цих форм є «справжньою», наприклад, яка форма\(00\) компонента є тією, яку спостерігач\(o\) насправді вимірює, коли вона встромляє лопату в землю, витягує певний обсяг бруду, зважує її і визначає\(ρ\)? Відповідь полягає в тому, що позначення індексу настільки гладке і добре розроблене, що всі вони однаково «реальні», і нам не потрібно запам'ятовувати, що насправді відповідає вимірюванням. Коли вона робить це вимірювання лопатою, вона може сказати, що вимірює кількість\(T^{ab} o_a o_b\). Але тому, що всі в і\(a\) '\(b\)s парні, цей вираз є ранг-\(0\) тензор. Це означає\(T^{ab} o_a o_b\), що\(T_{ab} o^a o^b\), і всі\(T^a\: _b\, o_a o^b\) однакові числа. Якщо, наприклад, у нас є координати, в яких метрика діагональна і має елементи\(±1\), то у всіх цих виразах різні знаки точно компенсуються знаками\(T\) тих.\(o\)
Приклад\(\PageIndex{5}\): A rope under tension
Як реальний приклад, в якому тиск не є ізотропним, розглянемо мотузку, яка рухається інерційно, але під напругою, тобто рівні сили на її кінцях скасовуються, щоб мотузка не прискорювалася. Напруга таке ж, як і негативний тиск. Якщо мотузка лежить уздовж\(x\) осі, а її волокна здатні підтримувати натяг тільки уздовж цієї осі, то тензор напруження-енергії мотузки буде мати форму
\[T^{\mu \nu } = \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0\\ 0 & P & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
де\(P\) негативний і дорівнює мінус натягу на одиницю площі поперечного перерізу. Збереження енергії-імпульсу виражається у вигляді (Рівняння\(\PageIndex{3}\))\(\frac{\partial T^{ab}}{\partial x^a} = 0\). Конвертуючи абстрактні індекси в конкретні, ми маємо
\[\frac{\partial T^{\mu \nu }}{\partial x^{\mu }} = 0\]
де мається на увазі сума над\(µ\), і рівняння має триматися як у випадку, коли\(\nu \) є мітка для, так\(t\) і той, на який він посилається\(x\). У першому випадку ми маємо
\[\frac{\partial T^{tt}}{\partial t} + \frac{\partial T^{xt}}{\partial x} = 0\]
яка є твердженням збереження енергії, енергія є часоподібною складовою енергії-імпульсу. Перший термін дорівнює нулю, тому що\(ρ\) постійний в силу нашого припущення, що мотузка була рівномірною. Другий термін дорівнює нулю тому що\(T^{xt} = 0\). Тому збереження енергії задовольняється. Це сталося автоматично, тому що, записуючи незалежний від часу вираз для стрес-енергії, ми диктували статичну рівновагу. Коли\(\nu \) означає\(x\), ми отримуємо рівняння, яке вимагає збереження\(x\) складової імпульсу,
\[\frac{\partial T^{tx}}{\partial t} + \frac{\partial T^{xx}}{\partial x} = 0\]
Це просто говорить
\[\frac{\partial P}{\partial x} = 0\]
це означає, що натяг в мотузці постійне по її довжині.
Приклад\(\PageIndex{6}\): A rope supporting its own weight
Варіація на прикладі\(\PageIndex{5}\) - це така, в якій мотузка висить і підтримує власну вагу. Хоча гравітація бере участь, ми можемо вирішити цю проблему без загальної теорії відносності, використовуючи принцип еквівалентності (розділ 5.2). Як обговорювалося в розділі 5.1, інерційна рамка в теорії відносності є вільним падінням. Визначено інерційну систему відліку\(o\), відповідну спостерігачу, вільно падаючому повз мотузку, і неінерційну рамку\(o'\) в спокої відносно мотузки.
Оскільки мотузка висить в статичній рівновазі, спостерігач\(o'\) бачить тензор напружено-енергії, який не має залежності від часу. Позадіагональні компоненти зникають в цьому кадрі, оскільки імпульсу немає. Тензор стрес-енергії дорівнює
\[T^{\mu '\nu '} = \begin{pmatrix} \rho & 0\\ 0 & P \end{pmatrix}\]
де компоненти, що беруть участь\(y\) і\(z\) є нульовими і не показані, і\(P\) є негативними, як у прикладі\(\PageIndex{5}\). Ми могли б спробувати застосувати збереження енергетичного стану до цього тензора стрес-енергії, як у прикладі 8, але це було б помилкою. Як обговорювалося в розділі 7.5, швидкості зміни можуть бути виміряні лише шляхом взяття часткових похідних щодо координат, якщо координати Мінковського, тобто в інерційній рамці. Тому нам потрібно перетворити цей тензор стрес-енергії в інерційний кадр\(o\).
Для простоти обмежуємося ньютонівським наближенням, так що зміна координат між двома кадрами
\[t ≈ t'\]
\[x \approx x' + \frac{1}{2}at^2\]
де\(a > 0\) якщо вільно падаючий спостерігач падає в негативному напрямку x,\(x\) тобто позитивний - вгору. Тобто, якщо точка на мотузці у\(x'\) нерухомого позначена плямою фарби, то вільно падаючий спостерігач\(o\) бачить пляму, що рухається вгору, до більших значень\(x\), в\(t > 0\). Застосовуючи закон тензорного перетворення, знаходимо
\[T^{\mu '\nu '} = \begin{pmatrix} \rho & \rho at\\ \rho at & P+\rho a^2 t^2 \end{pmatrix}\]
Як і в прикладі\(\PageIndex{5}\), збереження енергії тривіально задовольняється. Збереження імпульсу дає
\[\frac{\partial T^{tx}}{\partial t} + \frac{\partial T^{xx}}{\partial x} = 0\]
Інтегруючи це стосовно\(x\), ми маємо
\[P = -ρax + \text{constant}\]
Нехай площа поперечного перерізу мотузки буде\(A\), і нехай\(µ = ρA\) буде маса на одиницю довжини і\(T = -PA\) натягу. Потім знаходимо
\[T = µax + \text{constant}\]
Збереження імпульсу вимагає, щоб напруга змінювалася по довжині мотузки, так само, як ми очікуємо від законів Ньютона: ділянка мотузки вище вгору має більшу вагу нижче неї для підтримки.
Енергетичні умови
Результат Прикладу\(\PageIndex{6}\) може призвести до того, що трапиться щось страшне. Якщо ми підійдемо до мотузки під напругою і дамо їй швидку карате відбивну, ми будемо спостерігати хвильові імпульси, що поширюються від відбивної в обидві сторони, на швидкостях\(v = \pm \sqrt{T/\mu }\). Але результатом прикладу є те, що цей вираз збільшується без обмежень, оскільки\(x\) стає все більше і більше. У якийсь момент\(v\) буде перевищувати швидкість світла. (Звичайно, будь-яка реальна мотузка зламається задовго до того, як було досягнуто такої великої напруги.) Дві речі призвели до проблемного результату:
- ми припустили, що немає обмежень на можливий тензор напруги енергії в іншому кадрі мотузки; і
- ми використовували ньютонівське наближення, щоб перейти від цього кадру до вільно падаючого кадру.
Насправді ми не знаємо жодного матеріалу настільки жорсткого, що вібрації поширюються в ньому швидше\(c\). Насправді всі звичайні матеріали зроблені з атомів, атоми пов'язані один з одним електромагнітними силами, і тому жоден матеріал, виготовлений з атомів, не може передавати коливання швидше, ніж швидкість електромагнітної хвилі\(c\).
Виходячи з цих умов, ми очікуємо, що на тензорі енергії напруги будь-якої звичайної форми матерії будуть певні обмеження. Наприклад, ми не очікуємо знайти жодної мотузки, тензор якої стрес-енергії виглядає так:
\[T^{\mu \nu } = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
тому що тут напруження при\(+2\) розтягуванні більше, ніж щільність маси\(1\), що призвело б до\(\left | v \right | = \sqrt{2/1} >1\). Обмеження такого роду називаються енергетичними умовами. Гіпотетичні форми матерії, які їх порушують, називаються екзотичними речовинами; якщо вони існують, вони не складаються з атомів. Цей конкретний приклад порушує енергетичний стан, відомий як домінуюча енергетична умова, яка вимагає\(ρ > 0\) і\(|P| > ρ\). Існує близько п'яти енергетичних умов, які зазвичай використовуються, і детальне їх обговорення більше підходить для загального тексту відносності. Загальні ідеї, які повторюються у багатьох з них:
- що щільність енергії ніколи не буває негативною в будь-якій системі відліку, і
- що ніколи не існує потоку енергії, що поширюється зі швидкістю, більшою ніж\(c\).
Енергетичний стан, який особливо просто висловити, - це стан енергії слідів (TEC),
\[T^a\: _a \geq 0\]
де ми повинні мати один верхній індекс і один нижній індекс, щоб підкорятися граматичним правилам позначення індексу. У координатах\((t, x, y, z)\) Мінковського це стає\(T^\mu \: _\mu \geq 0\), з неявною сумою над\(µ\) розширенням, щоб дати
\[T^t\: _t + T^x\: _x + T^y\: _y + T^z\: _z \geq 0\]
Ліва частина цього співвідношення, сума основних діагональних елементів матриці, називається слідом матриці, звідси і назва цієї енергетичної умови. Оскільки ця книга використовує підпис\(+ ---\) для метрики, підняття другого індексу змінює це на
\[T^{tt} - T^{xx} - T^{yy} - T^{zz} \geq 0\]
У прикладі\(\PageIndex{2}\) ми обчислили тензор енергії напруги хмари пилу, у кадрі, що рухається зі швидкістю v відносно кадру спокою хмари. Результат був
\[T^{\mu '\nu '} = \begin{pmatrix} \gamma ^2\rho & \gamma ^2\nu \rho & 0 & 0\\ \gamma ^2\nu \rho & \gamma ^2\nu ^2\rho & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
У цьому прикладі умова енергії сліду задовольняється саме за умови\(|v| ≤ 1\), що можна інтерпретувати як твердження про те, що згідно ТЕК, масова енергія хмари ніколи не може транспортуватися зі швидкістю, більшою, ніж\(c\) в будь-якому кадрі.