9.7: Позначення для тензорів
- Page ID
- 77227
Цілі навчання
- Позначення рецензій
- Впровадити нові позначення
Джонні - американський школяр, який мав свій ніжний розум, захищений від певних історичних реалій, таких як політичний статус рабів, жінок та корінних американців на початку Сполучених Штатів. Якщо Джонні коли-небудь спробує прочитати Конституцію США, він буде дуже збентежений певними уривками, такими як сумнозвісний пункт про три п'ятих, що стосується непрозорого «всіх інших осіб».
Цей необов'язковий розділ призначений для того, щоб викрити вас деяким подібним історичним потворністю, пов'язаним з тензорними нотаціями, знання яких може бути корисним, якщо ви дізнаєтеся загальну відносність у майбутньому. Як і в еволюції Конституції США та її тлумачення, ми виявимо, що не всі зміни були вдосконаленнями. У цьому розділі ми коротко переказуємо деякі позначення, які вже були введені, а також введемо два нових.
Позначення індексу бетону
Вектор зміщення є нашим прототиповим прикладом тензора, і оригінальний підхід дев'ятнадцятого століття полягав у пов'язуванні цього тензора зі змінами координат. Тензори досягають своєї повної важливості в диференціальній геометрії, де простір (або просторово-час, загалом відносність) може бути вигнутим у сенсі, визначеному в розділі 2.2. У цьому контексті лише нескінченно малі переміщення кваліфікуються як вектори; щоб побачити це, уявіть собі переміщення на сфері, які не комутуються з причин, описаних у розділі 8.3. У малих масштабах кривизна сфери не очевидна, тому нам потрібно зробити наші зміщення нескінченно малими. Таким чином, у цьому підході найпростіший приклад релятивістського тензора виникає, якщо ми вибираємо координати Мінковського, щоб описати область простору-часу, яка є досить малим, щоб кривизна була незначною, і ми пов'язуємо вектор зміщення з\(4\) -кортежем нескінченно малих змін координат:
\[(dt,dx,dy,dz)\]
Приблизно до 1960 року це несло неприємність відсутності строгості, яка, як вважається, пов'язана з нескінченно малими числами в стилі Лейбніца, але ця складність була вирішена і вже не є аргументом проти позначення. 1
Координатно-незалежні позначення
Більш вагомою причиною відмови від позначення старої школи є те, що, як описано в розділі 7, бажано уникати запису кожного рядка математики в позначенні, яке явно посилається на вибір координат. Тому ми можемо віддати перевагу, оскільки Пенроуз почав виступати приблизно в 1970 році, відзначити цей вектор у координатно-незалежних позначеннях, таких як «пташині доріжки» (розділ 6.1),
\[\rightarrow dx\]
або синонімічне абстрактне позначення індексу (розділ?? , р.??) ,
\[dx^a\]
де використання латинської літери а означає, що ми не звертаємося до будь-якої системи координат, а не приймає на себе значення, такі як\(1\) або\(2\), і\(dx^a\) відноситься до всього об'єкта\(\rightarrow dx\), а не до деякого реального числа або набору дійсних чисел.
На жаль для бореться студента відносності, є принаймні ще два позначення, які зараз використовуються, обидва вони несумісні різними способами з тими, з якими ми стикалися досі.
Картанові позначення
Наші позначення, що стосуються верхнього та нижнього індексів, походить від подібного вигляду, винайденого в 1853 році Сильвестром. 2 У цій системі вектори розглядаються як інваріантні величини. Запишемо вектор з точки зору основи\({e_µ}\) як\(x = \sum x^\mu e_\mu\). Оскільки\(x\) вважається інваріантним, то випливає, що компоненти\(x^µ\) і базисні вектори\(e_µ\) повинні трансформуватися протилежними способами. Наприклад, якщо перевести з метрів в сантиметри, то\(x^µ\) вийде в сто разів більше, що компенсується відповідним скороченням базисних векторів на\(1/100\).
Це позначення певним чином стикається з нормальними позначеннями індексу. Один gotcha полягає в тому, що ми не можемо зробити висновок ранг виразу, підраховуючи індекси. Наприклад,\(x = \sum x^\mu e_\mu\) позначається так, ніби це скаляр, але це насправді позначення для вектора.
Близько 1930 року Елі Картан доповнила цю позначення хитрістю, яка, можливо, занадто мила для власного блага. Він зазначив, що оператори часткової диференціації\(∂/∂x^µ\) можуть бути використані як основу для векторного простору, структура якого збігається з простором звичайних векторів. У сучасному контексті ми переписуємо оператор\(∂/∂x^µ\) як\(∂_µ\) і використовуємо умовність підсумовування Ейнштейна, так що в картановій нотації ми виражаємо вектор через його складові як
\[x = x^\mu \partial _\mu\]
У картанських позначеннях символ dxμ викрадено для того, щоб представляти щось зовсім інше, ніж зазвичай; це прийнято означає подвійний вектор, відповідний\(∂_µ\). Набір\({dx^µ}\) використовується в якості основи для позначення ковекторів.
Подальша проблема з картановим позначенням виникає, коли ми намагаємося використовувати його для розмірного аналізу (див. Нижче).
Позначення без індексу
Незалежно від Пенроуза та фізичної спільноти математики винайшли різні позначення без координат, одне без індексів. У цьому позначенні, наприклад, ми б відзначили величину вектора не як\(v_a v^b\) або,\(g_{ab} v^a v^b\) а як
\[g(v,v)\]
Це позначення занадто незграбне для використання в складних виразах, що включають тензори з багатьма індексами. Як показано в наступному розділі, він також не сумісний з тим, як фізики звикли робити розмірний аналіз.
Несумісність картанових і безіндексних позначень з розмірним аналізом
У розділі 9.6 розроблена система розмірного аналізу для використання з абстрактними індексними позначеннями. Тут ми обговорюємо питання, які виникають, коли ми намагаємося змішатися в інших нотаційних системах.
Однією з ознак позначення без індексу є те, що вона використовує немультиплікативні позначення для багатьох тензорних продуктів, які були б записані як множення в індексних позначеннях, наприклад,\(g(v,v)\) а не\(v^a v_a\). Це робить систему незграбною для використання для розмірного аналізу, оскільки ми звикли міркувати про одиниці, засновані на припущенні, що одиниці будь-якого члена в рівнянні дорівнюють добутку одиниць його факторів.
У картанських позначеннях ми маємо проблему, що певні позначення, такі як\(dx^µ\), повністю перевизначені. Решта цього розділу присвячена вивченню того, що йде не так, коли ми намагаємося розширити аналіз розділу 9.6, щоб включити картанові позначення. Нехай вектор\(r\) і ковектор\(ω\) бути подвійними один від одного, і нехай\(r\) представляють зміщення. У картанських позначеннях ми запишемо ці вектори через їх складові, в деякій системі координат, наступним чином:
\[r = r^µ∂_µ\]
\[ω = ω_µdx^µ\]
Припустимо, що координати Мінковського. Читання зліва направо і зверху вниз, є шість величин, що зустрічаються в цих рівняннях. Віднесемо до них одиниці\(L^A, L^B, ...L^F\). Якщо слідувати правилу, що мультиплікативне позначення має на увазі множення одиниць, то
\[A = B + C\]
і
\[D = E + F\]
Для сумісності з системою в розділі 9.6 рівняння 9.7.6 і 9.7.7 вимагають
\[A + D = 2σ\]
і
\[D = 2γ + B\]
Щоб уникнути зіткнення між картаном та конкретним позначенням індексу в системі координат Мінковського, здавалося б, ми хочемо виконати наступні три додаткові умови.
\[F = ξ \text { units of Cartan } dx^µ \text { not to clash with units of } dx^µ\]
\[C = -ξ \text { units of Cartan } ∂µ \text { not to clash with units of the derivative}\]
\[B = ξ \text { units of components in Cartan notation not to clash with units of } dx^µ\]
У нас є\(6\) невідомі та\(7\) обмеження, тому загалом картанові позначення не можуть бути включені в цю систему без деяких обмежень на показники\((σ,γ,ξ)\). Зокрема, ми вимагаємо\(ξ = 0\), який не є вибором, який віддає перевагу більшість фізиків.