9.6: Одиниці виміру тензорів

Цілі навчання

• Аналіз одиниць на предмет відносності

Аналіз одиниць, також відомий як аналіз розмірів, є одним з перших речей, які ми дізнаємося у фізиці першокурсників. Це корисний спосіб перевірки нашої математики, і здається, що це повинно бути простим, щоб розширити техніку до відносності. Це, звичайно, можна зробити, але це не так тривіально, як можна було б уявити. Нижче ми побачимо, що різні автори віддають перевагу різним системам, і зіткнення відбуваються між деякими нотаційними системами, що використовуються.

Однією з наших найпоширеніших завдань є перехід від одного набору одиниць до іншого, але в теорії відносності стає нетривіальним визначити, що ми маємо на увазі під поняттям, що наші одиниці виміру змінюються або не змінюються. Ми могли б, наприклад, звернутися до атомного стандарту, але Діке ¹ вказує, що це може бути проблематично. Уявіть, каже він, що

вам каже космічний мандрівник, що атом водню на Сіріусі має такий же діаметр, як і один на землі. Думка кількох моментів переконає вас, що твердження є або визначенням, або інакше безглуздим.

(Деякі пов'язані ідеї щодо числового значення c були розглянуті в розділі 1.1.)

Для початку відзначимо, що абстрактне позначення індексу зручніше конкретних індексних позначень для цих цілей. Як зазначається в розділі 7.5, позначення конкретного індексу призначає різні одиниці різним компонентам тензора, якщо ми використовуємо координати, такі як сферичні координати$(t,r,θ,φ)$, які не всі мають одиниці довжини. У абстрактних індексних позначеннях символ, подібний до$v^i$ позначає весь вектор, а не для однієї з його складових. Оскільки абстрактне позначення індексу навіть не пропонує нам позначення для компонентів, якщо ми хочемо застосувати розмірний аналіз, ми повинні визначити систему, в якій одиниці приписуються тензору в цілому. Припустимо, ми запишемо абстрактно-індексну форму рівняння для належного часу:

$$ds^2 = g_{ab} dx^a dx^a$$

У абстрактному позначенні індексу$dx^a$ не означає нескінченно малу зміну певної координати, це означає нескінченно малий вектор зміщення ² Це рівняння має одну величину зліва та три множники праворуч. Припустимо, ми присвоюємо цим частинам одиниці рівняння$[ds] = L^σ$$[g_{ab}] = L^{2γ}$$[dx^a] = [dx^b] = L^ξ$, і, де квадратні дужки означають «одиниці», а L позначає одиниці довжини. У нас тоді є$σ = γ + ξ$. Через згадані вище неоднозначності ми можемо вибрати будь-які значення, які нам подобаються для цих трьох констант, якщо вони підкоряються цьому правилу. Я$(σ,γ,ξ) = (1,0,1)$ вважаю природним і зручним, але Діке, у вищезгаданому документі, подобається$(1,1,0)$, тоді як математик Террі Тао виступає за$(0,∓1,±1)$.

Припустимо, ми піднімаємо та опускаємо індекси, щоб сформувати тензор з$r$ верхніми індексами та$s$ нижчими індексами Ми називаємо це тензором рангу$(r,s)$. (Ми не рахуємо контрактні індекси, наприклад, uava - це$(0,0)$ ранговий скаляр.) Оскільки метрика - це інструмент, який ми використовуємо для підвищення і зниження індексів, а одиниці нижчого індексу форми метрики є$L^{2γ}$, то випливає, що одиниці змінюються пропорційно$L^{γ(s - r)}$. Загалом, ви можете призначити одиниці фізичної величини,$L^u$ які є добутком двох факторів, «кінематичний» або чисто геометричний фактор$L^k$$k = γ(s - r)$, де, і динамічний фактор$L^d ...$, який може залежати від того, яка кількість це, і де... вказує, що якщо ваша система одиниць має більше, ніж один базовий блок, ті можуть бути там, а також. Dicke використовує одиниці з$\hbar = c = 1$, наприклад, тому існує тільки одна базова одиниця, а маса має одиниці зворотної довжини і$d_{mass} = -1$. Взагалі відносність було б частіше використовувати одиниці, в яких$G = c = 1$, які замість цього дають$d_{mass} = +1$.

Приклад$\PageIndex{1}$: The units of momentum

Розглянемо рівняння

$$p^a = mv^a$$

для імпульсу матеріальної частинки. Припустимо, ми використовуємо спеціальні релятивістські одиниці$c = 1$, в яких, але оскільки гравітація не включена в теорію, не$G$ відіграє особливої ролі, і природно використовувати систему одиниць, в якій є базова одиниця маси$M$.

Кінематичні одиниці перевіряють, тому що$k_p = k_m +k_v$:

$$γ(-1) = γ(0)+ γ(-1)$$

Це лише питання підрахунку індексів, і гарантовано перевіряти до тих пір, поки індекси були записані граматичним способом з обох сторін рівняння. Те, що ця перевірка по суті говорить нам про те, що якби ми встановили координати Мінковського в районі якоїсь точки, і зробити зміну координат$(t,x,y,z) → (αt,αx,αy,αz)$, то величини з обох сторін рівняння змінювалися б відповідно до законів тензорного перетворення відповідно до того ж показника $α$. Наприклад, якби ми змінилися з метрів на сантиметри, рівняння все одно залишалося б дійсним.

Для динамічних одиниць припустимо, що ми використовуємо$(σ,γ,ξ) = (1,0,1)$, так що нескінченно мале переміщення$dx^a$ має одиниці довжини$L$, як і належний час$ds$. Ці дві величини є чисто кінематичними, тому ми не привласнюємо їм ніяких динамічних одиниць, і тому вектор швидкості$v^a = \frac{dx^a}{ds}$ також не має динамічних одиниць. Наш вибір системи одиниць дає$[m] = M$. Ми вимагаємо, щоб рівняння$p^a = mv^a$ мали динамічні одиниці, які перевіряють, так:

$$M = 1\cdot M$$

Ми також повинні призначити одиниці маси імпульсу.

Система, майже ідентична цій, але з різною термінологією, дається Шутеном. ³

Для практичних цілей при перевірці одиниць рівняння ми можемо бачити на прикладі,$\PageIndex{1}$ що занепокоєння кінематичними одиницями є марною тратою часу, поки ми перевірили, що індекси є граматичними. Тому ми можемо дати спрощений метод, який достатньо для перевірки одиниць будь-якого рівняння в абстрактних індексних позначеннях.

1. Ми призначаємо тензору ті ж одиниці, що один з його конкретних компонентів мав би, якби ми прийняли (місцеві) координати Мінковського, в системі с$(σ,γ,ξ) = (1,0,1)$. Це одиниці, які ми автоматично поставили б йому після вивчення спеціальної відносності, але перед тим, як дізнатися про тензори або фантазії перетворення координат. Так як$γ = 0$, позиції індексів не впливають на результат.
2. Одиниці суми такі ж, як і одиниці термінів.
3. Одиниці тензорного добутку є добутком одиниць факторів.

Посилання

¹ «Принцип Маха та інваріантність при перетворенні одиниць» Phys Rev 125 (1962) 2163

² Для сучасного та строгого розвитку диференціальної геометрії за цими напрямками див. Новік і Кац, arxiv.org/abs/1405.0984.

³ Тензорний аналіз для фізиків, гл. VI