9.6: Одиниці виміру тензорів
- Page ID
- 77235
Цілі навчання
- Аналіз одиниць на предмет відносності
Аналіз одиниць, також відомий як аналіз розмірів, є одним з перших речей, які ми дізнаємося у фізиці першокурсників. Це корисний спосіб перевірки нашої математики, і здається, що це повинно бути простим, щоб розширити техніку до відносності. Це, звичайно, можна зробити, але це не так тривіально, як можна було б уявити. Нижче ми побачимо, що різні автори віддають перевагу різним системам, і зіткнення відбуваються між деякими нотаційними системами, що використовуються.
Однією з наших найпоширеніших завдань є перехід від одного набору одиниць до іншого, але в теорії відносності стає нетривіальним визначити, що ми маємо на увазі під поняттям, що наші одиниці виміру змінюються або не змінюються. Ми могли б, наприклад, звернутися до атомного стандарту, але Діке 1 вказує, що це може бути проблематично. Уявіть, каже він, що
вам каже космічний мандрівник, що атом водню на Сіріусі має такий же діаметр, як і один на землі. Думка кількох моментів переконає вас, що твердження є або визначенням, або інакше безглуздим.
(Деякі пов'язані ідеї щодо числового значення c були розглянуті в розділі 1.1.)
Для початку відзначимо, що абстрактне позначення індексу зручніше конкретних індексних позначень для цих цілей. Як зазначається в розділі 7.5, позначення конкретного індексу призначає різні одиниці різним компонентам тензора, якщо ми використовуємо координати, такі як сферичні координати\((t,r,θ,φ)\), які не всі мають одиниці довжини. У абстрактних індексних позначеннях символ, подібний до\(v^i\) позначає весь вектор, а не для однієї з його складових. Оскільки абстрактне позначення індексу навіть не пропонує нам позначення для компонентів, якщо ми хочемо застосувати розмірний аналіз, ми повинні визначити систему, в якій одиниці приписуються тензору в цілому. Припустимо, ми запишемо абстрактно-індексну форму рівняння для належного часу:
\[ds^2 = g_{ab} dx^a dx^a\]
У абстрактному позначенні індексу\(dx^a\) не означає нескінченно малу зміну певної координати, це означає нескінченно малий вектор зміщення 2 Це рівняння має одну величину зліва та три множники праворуч. Припустимо, ми присвоюємо цим частинам одиниці рівняння\([ds] = L^σ\)\([g_{ab}] = L^{2γ}\)\([dx^a] = [dx^b] = L^ξ\), і, де квадратні дужки означають «одиниці», а L позначає одиниці довжини. У нас тоді є\(σ = γ + ξ\). Через згадані вище неоднозначності ми можемо вибрати будь-які значення, які нам подобаються для цих трьох констант, якщо вони підкоряються цьому правилу. Я\((σ,γ,ξ) = (1,0,1)\) вважаю природним і зручним, але Діке, у вищезгаданому документі, подобається\((1,1,0)\), тоді як математик Террі Тао виступає за\((0,∓1,±1)\).
Припустимо, ми піднімаємо та опускаємо індекси, щоб сформувати тензор з\(r\) верхніми індексами та\(s\) нижчими індексами Ми називаємо це тензором рангу\((r,s)\). (Ми не рахуємо контрактні індекси, наприклад, uava - це\((0,0)\) ранговий скаляр.) Оскільки метрика - це інструмент, який ми використовуємо для підвищення і зниження індексів, а одиниці нижчого індексу форми метрики є\(L^{2γ}\), то випливає, що одиниці змінюються пропорційно\(L^{γ(s - r)}\). Загалом, ви можете призначити одиниці фізичної величини,\(L^u\) які є добутком двох факторів, «кінематичний» або чисто геометричний фактор\(L^k\)\(k = γ(s - r)\), де, і динамічний фактор\(L^d ...\), який може залежати від того, яка кількість це, і де... вказує, що якщо ваша система одиниць має більше, ніж один базовий блок, ті можуть бути там, а також. Dicke використовує одиниці з\(\hbar = c = 1\), наприклад, тому існує тільки одна базова одиниця, а маса має одиниці зворотної довжини і\(d_{mass} = -1\). Взагалі відносність було б частіше використовувати одиниці, в яких\(G = c = 1\), які замість цього дають\(d_{mass} = +1\).
Приклад\(\PageIndex{1}\): The units of momentum
Розглянемо рівняння
\[p^a = mv^a\]
для імпульсу матеріальної частинки. Припустимо, ми використовуємо спеціальні релятивістські одиниці\(c = 1\), в яких, але оскільки гравітація не включена в теорію, не\(G\) відіграє особливої ролі, і природно використовувати систему одиниць, в якій є базова одиниця маси\(M\).
Кінематичні одиниці перевіряють, тому що\(k_p = k_m +k_v\):
\[γ(-1) = γ(0)+ γ(-1)\]
Це лише питання підрахунку індексів, і гарантовано перевіряти до тих пір, поки індекси були записані граматичним способом з обох сторін рівняння. Те, що ця перевірка по суті говорить нам про те, що якби ми встановили координати Мінковського в районі якоїсь точки, і зробити зміну координат\((t,x,y,z) → (αt,αx,αy,αz)\), то величини з обох сторін рівняння змінювалися б відповідно до законів тензорного перетворення відповідно до того ж показника \(α\). Наприклад, якби ми змінилися з метрів на сантиметри, рівняння все одно залишалося б дійсним.
Для динамічних одиниць припустимо, що ми використовуємо\((σ,γ,ξ) = (1,0,1)\), так що нескінченно мале переміщення\(dx^a\) має одиниці довжини\(L\), як і належний час\(ds\). Ці дві величини є чисто кінематичними, тому ми не привласнюємо їм ніяких динамічних одиниць, і тому вектор швидкості\(v^a = \frac{dx^a}{ds}\) також не має динамічних одиниць. Наш вибір системи одиниць дає\([m] = M\). Ми вимагаємо, щоб рівняння\(p^a = mv^a\) мали динамічні одиниці, які перевіряють, так:
\[M = 1\cdot M\]
Ми також повинні призначити одиниці маси імпульсу.
Система, майже ідентична цій, але з різною термінологією, дається Шутеном. 3
Для практичних цілей при перевірці одиниць рівняння ми можемо бачити на прикладі,\(\PageIndex{1}\) що занепокоєння кінематичними одиницями є марною тратою часу, поки ми перевірили, що індекси є граматичними. Тому ми можемо дати спрощений метод, який достатньо для перевірки одиниць будь-якого рівняння в абстрактних індексних позначеннях.
- Ми призначаємо тензору ті ж одиниці, що один з його конкретних компонентів мав би, якби ми прийняли (місцеві) координати Мінковського, в системі с\((σ,γ,ξ) = (1,0,1)\). Це одиниці, які ми автоматично поставили б йому після вивчення спеціальної відносності, але перед тим, як дізнатися про тензори або фантазії перетворення координат. Так як\(γ = 0\), позиції індексів не впливають на результат.
- Одиниці суми такі ж, як і одиниці термінів.
- Одиниці тензорного добутку є добутком одиниць факторів.