6.2: Фаза

Цілі навчання

• Поясніть, чому фаза є скалярною

Фаза - скалярна

У розділі 1.3 ми визначили інваріант (Лоренца) як величину, яка була незмінною при обертаннях і прискореннях Лоренца. Вимірювання,$c \to e = 24$ таке як, є інваріантом, оскільки це просто підрахунок. Ми підрахували кількість періодів. Насправді, підрахунок є не просто інваріантним при обертаннях і посиленнях, але при будь-якій добре поведеній зміні координат - технічна умова полягає в тому, що кожна координата в кожному наборі є диференційованою функцією кожної координати в іншому наборі. Така зміна координат називається дифеоморфізмом. Наприклад, рівномірне масштабування координат$(t,x,y,z) \to (kt,kx,ky,kz)$, що аналогічно зміні одиниць, ¹ все в порядку, поки$k$ не нуль. Величина, яка залишається однаковою при будь-якому дифеоморфізмі, називається скалярним. Оскільки перетворення Лоренца є дифеоморфізмом, кожен скаляр є інваріантом Лоренца. Не кожен інваріант Лоренца є скаляром.

Приклад$\PageIndex{1}$: The determinant of the metric

Координати Мінковського можна визначити як координати, в яких метрика має стандартну форму$g = diag(1,-1,-1,-1)$. Якщо ми масштабуємо ці координати відповідно до$(t,x,y,z) \to (kt,kx,ky,kz)$, то метрика змінюється відповідно до$g \to k^{-2} g$. Щоб відстежувати, як «un-Minkowski» це масштабування, ми могли б використовувати детермінант метрики$det(g) = -k^{-8}$. Цей детермінант говорить нам, скільки координатно-сіткових коробок вписується в одиничний об'єм, і це цікавить в більш загальному контексті, ніж цей приклад рівномірного масштабування, наприклад, він виконує аналогічну функцію при перетворенні з декартових координат в полярні координати.

При перетворенні Лоренца або обертанні метрика зберігає свою стандартну форму, і тому$det(g)$ є інваріантною Лоренца. Інший спосіб побачити це полягає в тому, що об'єм простору-часу є інваріантним Лоренцем, так що перетворення Лоренца не змінює, скільки координатно-сіткових коробок вписується в одиничний обсяг.

Але хоча і$det(g)$ є інваріантом Лоренца, він не є скаляром, оскільки змінюється під описаним вище перетворенням.

У позначеннях birdtracks будь-який вираз, який взагалі не має зовнішніх стрілок, являє собою скаляр. Так як вираз не$c \to e = 24$ має зовнішніх стрілок, тільки внутрішніх, воно являє собою скаляр. Інший спосіб опису цього вимірювання - це фаза. Якщо ми вважаємо за краще вимірювати фазу$φ$ в одиницях циклів, то ми маємо

$$φ = c\to e$$

Якщо нам подобаються радіани, ми можемо використовувати

$$φ = 2πc\to e$$

Масштабування

Зручний спосіб узагальнення всіх наших категорій змінних - це їх поведінка, коли ми масштабуємо наші координати. Якщо ми перемикаємо нашу одиницю часу з годин на хвилини, кількість яблук в мисці незмінна, земний період обертання стає в$60$ рази більше, а частота годинника зозулі змінюється в рази$1/60$. Іншими словами, величина u при масштабуванні координат на коефіцієнт α стає$α^p u$, де показники$-1$$0$, і$+1$ відповідають ковекторам, скалярам і векторам відповідно. Тому ми можемо бачити, що ці відмінності представляють інтерес навіть у одному вимірі, всупереч тому, що можна було б очікувати від першокурсника фізики концепції вектора як чогось, що певним чином трансформується під час обертання.

У розділі 1.3 ми визначили інваріант як величину, яка не змінювалася при обертаннях або підсиленнях Лоренца, тобто таку, яка була незалежною від системи відліку. Для скаляра у нас є ще більш обмежувальна умова, що вона не повинна змінюватися при будь-якій зміні координат. Наприклад, площа в$1 + 1$ -вимірному просторовічасі є інваріантом, але це не скалярний; він змінюється, коли ми змінюємо масштаб координат.

Посилання

¹ Відповідний релятивістський спосіб визначення зміни одиниць схильний до деякої неоднозначності. Див. Розділ 9.6