6.6: Фазова та групова швидкість

Цілі навчання

• Поясніть фазову швидкість і групову швидкість

Фазова швидкість

Хвильовий фронт - це лінія або поверхня постійної фази. У знімку хвилі в один момент часу напрямок поширення хвилі - поперек хвильових фронтів. Візуальна ситуація відрізняється на просторово-часовій діаграмі.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Серфер рухається прямо вправо з вектором швидкості$u$. Хвиля також поширюється вправо.

У$1 + 1$ розмірах, малюнок$\PageIndex{1}$ (1), припустимо, що лінії представляють гребінь водних хвиль. Серфер знаходиться на вершині гребеня, їде разом з ним. Його вектор швидкості$u$ знаходиться в напрямку просторовогочасу, який лежить на вершині хвильового фронту, а не поперек нього. Очевидно, що і його рух, і поширення хвилі знаходяться праворуч, а не ліворуч, як ми могли собі уявити, грунтуючись на досвіді зі знімками хвиль.

У$2+1$ розмірах$\PageIndex{1}$ (2) швидкість серфера візуалізується як стрілка, що лежить в площині постійної фази. Враховуючи фазову інформацію хвилі, існує більше однієї можливої стрілки такого роду. Ми могли б спробувати вирішити неоднозначність, вимагаючи, щоб проекція стрілки в$xy$ площину була перпендикулярна перетину хвильових фронтів з цією площиною, але (за винятком випадку, коли хвиля рухається на$c$, Приклад$\PageIndex{1}$) цей рецепт дає результати, які змінюються залежно від нашої системи відліку, і зміни не описуються перетворенням Лоренца вектора швидкості. Це показує, що в загальному випадку фазова інформація хвилі, закодована в частотному ковекторі$ω\to$, не описує напрямок поширення хвилі через простір. У більшості випадків це говорить нам про фазову швидкість хвилі$ω/k$, яка насправді не є швидкістю. Все це симптоми того, що швидкість повинна бути вектором, але$ω\to$ є ковектором. Фазової швидкості не вистачає фізичного інтересу, оскільки це не швидкість, з якою рухається будь-яка «штучка».

Вектор швидкості світлової хвилі з урахуванням її фази

Ми бачили, що загалом інформація про фазу хвилі, закодованої в,$ω\to$ не визначає її напрямок поширення. Виняток становить хвиля, така як світлова хвиля, яка поширюється при$c$. Нехай світова лінія поширення хвилі лежить вздовж вектора$\to v$. У випадку хвилі, що поширюється на$c$, ми маємо$v^2 = 0$ (так що не$\to v$ може мати звичайну нормалізацію для вектора швидкості), і співвідношення дисперсії просто$ω^2 = 0$. Оскільки фаза залишається постійною вздовж світової лінії поширення,$ω\to v = 0$. Тому ми знаходимо, що$v$ і$ω$ є двома ненульовими, світлоподібними векторами, ортогональними один до одного. Але як показано в задачі Q10 в главі 1, це означає, що два вектори паралельні. Таким чином, якщо нам дано ковектор$ω\to$, ми просто повинні обчислити його подвійний,$\to ω$ щоб знайти напрямок поширення.

Групова швидкість

Фазова швидкість - це не та швидкість, з якою «матеріал» передається хвилею. Швидкість матеріалу називається груповою швидкістю. Щоб мати змістовно визначену групову швидкість, нам потрібно мати хвилю, яка модулюється, оскільки немодульована хвиля - це нескінченна синусоїда, яка тягнеться до нескінченності, і така немодульована хвиля не передає жодної енергії чи інформації. Немодульована хвиля має однаковий частотний ковектор$ω\to$ протягом усього простору-часу, тобто однакову частоту$ω$ і хвильове число$k$. Одним із способів опису модульованої хвилі є те, як$ω\to$ змінюється.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Точки на графіку задовольняють дисперсійному співвідношенню$C = 0$ для водних хвиль. У даній точці на графіку ковектор$(∇C)$ повідомляє нам групову швидкість.

Але різні компоненти не вільні змінювати будь-яким випадково обраним способом.$ω\to$ Зазвичай вони обмежені дисперсійним співвідношенням. Наприклад, поверхневі хвилі в глибокій воді підкоряються обмеженню$C = 0$, де$C = ω^4 - α^2k^2$ (фігура$\PageIndex{2}$) і$α$ є постійною з одиницями прискорення, що відноситься до прискорення сили тяжіння. (Оскільки вода нескінченно глибока, немає іншої шкали, яка могла б увійти в обмеження.)

Тепер, якщо певний удар на конверті, з яким хвиля модулюється відвідує події простору часу$P$ і$Q$, то незалежно від частоти та довжини хвилі хвиля біля шишки спостерігаються однаковими при$P$ і$Q$. Загалом,$k$ і$ω$ є постійними вздовж просторучасу зміщення будь-якої точки на конверті, тому зміщення простору/часу$\to r$ від$P$ до$Q$ має задовольняти умові$(∇ω)\to r = 0$.

Крім того,$∇ω$ повинна бути дотичною до поверхні обмеження$C = 0$, щоб хвиля завжди підкорялася обмеженню. Таким чином, з огляду на точку$ω\to$ в частотному просторі, напрямок поширення$r$ має бути однозначно визначено обмеженням. Припустимо,$C$ це добре поведена функція, так що це приблизно лінійна функція будь-якого невеликого зміни$∆ω$, тобто в$1 + 1$ розмірах ми маємо

$$\Delta C = \frac{\partial C}{\partial \omega }\Delta \omega + \frac{\partial C}{\partial k}\Delta k$$

У цьому наближенні$∆C$ є лінійна функція, яка діє на ковектор$∆ω$ і повертає скаляр. Іншими словами,$∆C$ діє як вектор з компонентами

$$\Delta C = \left ( \frac{\partial C}{\partial \omega }, \frac{\partial C}{\partial k} \right )$$

Цей вектор паралельний$r$, так що він вказує у напрямку поширення хвилі через просторовий час і повідомляє нам свою групову швидкість$\left ( \tfrac{\partial C}{\partial k} \right )/ \left ( \tfrac{\partial C}{\partial \omega } \right )$. У нашому прикладі водних хвиль розрахунок показує, що групова швидкість$±α/2ω$ дорівнює половині фазової швидкості.