6.5: Доплерівський зсув і аберація

Цілі навчання

• Що таке аберація

доплерівські зрушення

Як приклад ми узагальнюємо наше попереднє обговорення доплерівського зсуву світла до$3 + 1$ розмірів.

Для наочності, давайте спочатку покажемо, як працює$1+1$ -мірний випадок в нашій новій нотації. Для хвилі, що йде вліво, ми маємо$ω\to = (ω,ω)$ (немає$(ω,-ω)$ — див. Рис. 6.6.1 (1). Тепер ми хочемо трансформуватися в кадр спостерігача, що рухається вправо зі швидкістю$v$ відносно вихідного кадру. Оскільки$ω\to$ це ковектор, ми робимо це за допомогою зворотного перетворення Лоренца. Звичайне перетворення Лоренца прийме світлоподібний вектор$(ω,ω)$$(ω/D,ω/D)$ (див. Розділ 3.2). Зворотне перетворення Лоренца дає$(Dω,Dω)$. Частота була зрушена вгору на коефіцієнт$D$, як було встановлено раніше.

У$3 + 1$ розмірах просторова площина визначається напрямком поширення світла і відносною швидкістю джерела і спостерігача, тому цей випадок зводиться без втрати спільності до$2 + 1$ розмірів. Частота чотиривекторна повинна бути світлоподібною, тому її найбільш загальною можливою формою$θ$ є$(ω,ω cosθ,ω sinθ)$, де інтерпретується як кут між напрямком поширення і відносною швидкістю. У$2+1$ розмірах поштовх Лоренца вздовж$x$ - осі виглядає так:

$$t' = \gamma t - v\gamma x$$

$$x' = - v\gamma t + \gamma x$$

$$y' = y$$

Зворотне перетворення знаходить шляхом перекидання знака$v$. Поставивши наш частотний вектор через зворотний імпульс Лоренца, ми знаходимо

$$\omega ' = \gamma \omega (1 + v\cos \theta )$$

Для$θ = 0$ доплерівського коефіцієнта знижується до

$$γ(1+v) = D$$

який відновлює$1 + 1$ -мірний результат. Бо$\theta = 90^{\circ}$, ми маємо$ω' = γω$, що інтерпретується як ефект розширення чистого часу, коли рух джерела є поперечним до прямої видимості.

Щоб побачити силу математичних інструментів, які ми розробили в цьому розділі, ви можете переглянути розділи 6 та 7 статті Ейнштейна 1905 року про спеціальну відносність, де потрібна тривала деривація, щоб досягти того ж результату.

аберація

Уявіть, що дощ падає вертикально, поки ви їдете в кабріолеті зверху вниз. Для вас краплі дощу, здається, рухаються під деяким ненульовим кутом відносно вертикалі. Це називається аберацією.

Визначення: аберація

Напрямок світової лінії змінюється залежно від своєї системи відліку.

У системі відліку вулиці кут між трьома швидкостями дощу і автомобілем є$\theta = 90^{\circ}$, але в рамі автомобіля$\theta ' \neq 90^{\circ}$. У цьому прикладі аберація є великим ефектом, оскільки швидкість автомобіля$v$ порівнянна зі швидкістю$u$ крапель дощу. Щоб равлик повзав по тротуару набагато нижче$v$, ефект був би невеликим. Використовуючи малокутове наближення$\tan \epsilon \approx \epsilon$, ми виявляємо$v$, що для малих різниця$∆θ = θ' - θ$ буде приблизно$v/u$, в одиницях радіанів.

Порівняно з променем світла, ми всі схожі на равликів. Наприклад, орбітальна швидкість Землі приблизно$v ∼ 10^{-4}$ в одиницях, де швидкість світла$u = 1$, тому ми очікуємо максимального ефекту близько$10^{-4}$ радіанів, або$2''$ дуги, яка невелика, але не незначна для телескопа з високоякісним кріпленням, який використовується при великому збільшенні.

Ця оцінка астрономічної аберації світла приблизно правильна, але ми не очікуємо, що вона буде точною, як через малокутове наближення, так і тому, що ми обчислили її, використовуючи галілейську картину простору-часу. Давайте розрахуємо точний результат. Як показано в прикладі 6.6.1, напрямок поширення світлової хвилі лежить уздовж вектора, який є подвійним до її частотного ковектора. Назвемо цей напрямок поширення$\to u$. Повторне використання виразу для$ω\to$ визначеного вище, і$\to u$ довільно фіксуючи timeslike компонент бути$1$, ми маємо

$$\to u = (1,-\cos\theta ,-\sin\theta )$$

Коли цей вектор зазнає поштовху$v$ вздовж$x$ - осі він стає

$$\to u' = \left ( \gamma (1 + v\cos \theta ), \gamma (-v - v\cos \theta ), -\sin \theta \right )$$

Оригінальний кут

$$\theta = \tan^{-1}\frac{u_y}{u_x}$$

було перетворено на

$$\theta ' = \tan^{-1}\frac{u_y'}{u_x'}$$

результат буття

$$\tan \theta ' = \frac{\sin \theta }{\gamma (\cos \theta + v)}$$

Приклад$\PageIndex{1}$: A test of special relativity

Припущення, що лежить в основі цієї обробки аберації, полягало в тому$u = c$, що швидкість світла була, незалежно від швидкості джерела. Не всі пререлятивістські теорії мали цю властивість, і можна було б очікувати, що в такій теорії аберація не буде відповідати релятивістському результату. Зокрема, припустимо, що ми вірили в галілеївський простор часу, так що коли далека галактика, відступаючи від нас з деякою швидкістю$w$, випромінювала промінь світла на нас, швидкість світла в нашому кадрі була$u = c - w$. Тобто ми уявляємо собі теорію, в якій випромінювання променя світла - це як стріляти кулею з пістолета. Оскільки ефекти аберації йдуть приблизно так$v/u$, ми очікуємо, що зменшення$u$ призведе до більшої аберації порівняно з прогнозом відносності.

Щоб перевірити теорії цього типу, Гекманн ¹ використовував$24$ дюймовий відбивач у Гамбурзі, щоб взяти фотографічні пластини з великим збільшенням зоряного поля в Великій Урсі, що містять$11$ зірки всередині Чумацького Шляху та$5$ далеких галактик. Вимірювання доплерівських зрушень показали, що галактики відступають від нас зі швидкостями близько$w = 0.05c$, тоді як зірки в межах Чумацького Шляху рухаються відносно нас зі швидкостями, незначними в порівнянні. Якби, всупереч релятивістському прогнозу$u$, це призвело до$5\%$ зниження, то ми очікували б про$5\%$ збільшення аберації для галактик порівняно з зірками.

Протягом року орбіта Землі переносить її в бік і від Великої Ведмедиці, так що в земній системі відліку зірки і галактики мають різні швидкості відносно нас, а ефект$∼20''$ аберації коливається в напрямку. Якщо ефект був різним для галактик і зірок, то вони повинні зміщувати свої видимі позиції відносно один одного. Зсув повинен бути в порядку$2000$, або одна секунда дуги.$5\%$ Результати спостережень показали, що ці відносні положення, здається, не змінювалися взагалі протягом року, при цьому середній відносний зсув був$0.00±0.06''$ дугою. Ця різниця в аберації узгоджується з нулем, як передбачається спеціальною відносністю.

Приклад$\PageIndex{2}$: The view of an ultrarelativistic observer

Малюнок$\PageIndex{1}$: 1. Решта кадру куба. Кадр спостерігача. Погляд спостерігача на куб, сильно спотворений аберацією.

$\PageIndex{1}$На малюнку показана візуалізація спостерігача, що летить крізь куб на$v = 0.99$. На малюнку$\PageIndex{1}$ (1) куб зображений у власному кадрі відпочинку, де він має сторони одиничної довжини, а спостерігач, вже пройшовши наскрізь, лежить на одну одиницю праворуч від центру куба. Спостерігач звернений вправо, подалі від куба. Пунктирна лінія - це промінь світла, який рухається від точки$P$ до спостерігача, і в цьому кадрі він виглядає так, ніби промінь, що надходить з$\theta = 162^{\circ}$, не потрапив би в око спостерігача.

Але в кадрі спостерігача, фігура$\PageIndex{1}$ (2), промінь знаходиться в$\theta ' = 47^{\circ}$, так що він насправді потрапляє в її поле зору. Куб по довжині скорочується на коефіцієнт$γ ≈ 7$. Промінь випромінювався раніше, коли куб виходив перед спостерігачем, в положенні, показаному пунктирним контуром.

Зображення, яке бачить спостерігач, показано на малюнку$\PageIndex{1}$ (3). Циркулярний контур, що визначає поле зору, представляє$\theta ' = 50^{\circ}$. Зверніть увагу, що релятивістське скорочення довжини зовсім не те, що бачить спостерігач оптично. На оптичне спостереження впливає скорочення довжини, а також аберація та час, необхідний для поширення світла до спостерігача. Час поширення різний для різних частин куба, тому в кадрі спостерігача, малюнок$\PageIndex{1}$ (2), промені з різних точок повинні були випромінюватися, коли куб знаходився в різних точках свого руху, якщо ці промені повинні були дістатися до ока.

Група в Австралійському національному університеті створила анімації подібних сцен, які можна знайти в Інтернеті, шукаючи «оптичні ефекти особливої відносності».

На відео показані фотореалістичні зображення зменшених сцен. Це означає, що швидкість світла була сповільнена з більш ніж одного мільярда кілометрів на годину до швидкості лише одного метра в секунду. Наслідки цієї вигадки були обмежені оптичними ефектами і дозволяє нам бачити спеціальні релятивістські ефекти, неможливі в повсякденному житті.

Приємно уявити собі погляд спостерігача на борту ультрарелятивістського зорелятивістського корабля. Для$v$ досить близьких до$1$, будь-який кут$\theta < 180^{\circ}$ перетворюється на невеликий$θ'$. Таким чином, все світло, що надходить до цього спостерігача від навколишніх зірок — навіть тих, що знаходяться в крайніх зворотних напрямках! — зібраний у невелику яскраву пляму світла, яка, здається, виходить прямо вперед. Деяке видиме світло буде зміщено в екстремальне ультрафіолетове та інфрачервоне, тоді як деяке інфрачервоне та ультрафіолетове світло стане видимим.

Посилання

¹ Анналес д'Астростатура 23 (1960) 410, адсабс.харвард.еду/абс/1960 р... 23.. 410H.