6.1: Частота

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77276

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Поясніть час і годинник

Ця глава та попередня мають хороші, тверді фізичні назви. Інерція. Хвилі. Але в основі фізичного змісту лежить нитка математики, призначена для того, щоб навчити вас мови для опису простору-часу. Без цієї мови ускладнення відносності швидко наростають і стають некерованими. У розділі 5.2 ми побачили, що існують фізично вагомі причини перемикання назад і вперед між різними системами координат - різні способи приєднання імен до подій, що складають просторовий час. Малюк у двомовній сім'ї отримує вигоду за перемикання туди-сюди між запитанням Мами іспанською мовою для дульців та попередженням тата англійською мовою, що Барбі потрібно врятувати від падіння з дивана. Вона може відскакувати між двома мовами в одному реченні - звичка, яку лінгвісти називають «перемиканням коду». У відносності нам потрібно побудувати fuluency мовою, яка дозволяє говорити про реальні явища, не зациклюючись на системі іменування.

Чи постійний потік часу?

Найпростіша задача іменування полягає в\(0 + 1\) розмірах: часова лінія, подібна до тих, що знаходяться в класі історії. Якщо ми назвемо точки в часі\(A, B, C, ...\) або\(1, 2, 3, ...\), або Буш, Клінтон, Буш,..., як ми знаємо, що ми відзначаємо рівні проміжки часу? Чи має сенс уявляти, що сам час може прискорити і сповільнитися, або навіть почати і зупинитися? Другий закон термодинаміки спонукає нас думати, що це могло б. Якби Всесвіт існував нескінченний час, то ентропія максимізувалася б - давно, імовірно, - і ми б не існували, тому що теплова смерть Всесвіту вже відбулася б.

Експерименти з порівнянням годинників

Але що б це насправді означало емпірично, щоб швидкість потоку часу змінювалася? Якщо ми не зможемо прив'язати це до результатів експериментів, це не що інше, як метафізика швидкості різання. У голлівудському фільмі, де час може зупинитися, сценаристи показували нам зупинку очима спостерігача, який прогулювався повз замерзлих водоспадів та знімкових куль у середині польоту. Мозок спостерігача - це своєрідний годинник, як і водоспад. Ми залишилися з тим, що відоме як експеримент з порівнянням годинників. На сьогоднішній день всі експерименти з порівнянням годинників дали нульові результати. Мацакіс та ін. ¹ виявив, що пульсари відповідають нормам атомних годин з дрейфом менше приблизно\(10^{-6}\) секунд протягом\(10\) багатьох років. Гвіана та співавт. ² помічено, що атомні годинники з використанням атомів різних ізотопів дрейфують відносно один одного не більше, ніж приблизно\(10^{-16}\) на рік. Будь-який ненульовий результат викликав би серйозні проблеми щодо відносності. Одне з очікувань в аристотельському описі просторучасу полягає в тому, що рух матеріальних об'єктів на землі природно сповільниться відносно небесних явищ, таких як сходження і захід сонця. Релятивістська інтерпретація розширення часу як вплив на сам час також дуже залежить від нульових результатів цих експериментів.

Позначення пташиних доріжок

Як простий приклад порівняння годин, давайте уявімо, використовуючи годинну появу механічного птаха з годинника зозулі, керованого маятником, для вимірювання швидкості, з якою земля обертається. Тут явно є своєрідна симетрія, оскільки ми могли б однаково добре сприймати обертання нашої планети як стандарт і використовувати його для вимірювання частоти, з якою птах вискакує з дверей. Схематично, давайте представимо цей процес вимірювання наступними позначеннями, які є частиною системи під назвою birdtracks: ³

\[c \rightarrow e = 24\]

Тут\(c\) зображують годинник з зозулею і е обертання землі. Хоча залежність вимірювання майже симетрична, стрілка має напрямок, тому що, наприклад, вимірювання періоду обертання землі з точки зору тактової частоти

\[c \rightarrow e = (1\: hr^{-1})(24\: hr) = 24\]

але період годинника з точки зору земної частоти

\[e \rightarrow c = \frac{1}{24}\]

Ми говоримо, що відносини не симетричні, а «подвійні». До речі, неважливо, як ми розставимо ці схеми на сторінці. Позначення\(c \rightarrow e\) і\(e \rightarrow c\) означають точно те ж саме, а такі вирази можуть бути навіть намальовані вертикально.

Припустимо, що\(e\) це зміщення вздовж якоїсь одновимірної лінії часу, і ми хочемо думати про нього як про річ, яку вимірюють. Тоді ми очікуємо, що процес вимірювання, представлений,\(c\) дає реальний результат і є лінійною функцією\(e\). Оскільки зв'язок між\(c\) і\(e\) є подвійним, ми очікуємо, що це\(c\) також належить до деякого векторного простору. Наприклад, векторні простори дозволяють множення на скаляр: ми могли б подвоїти частоту годинника зозулі, змусивши птах вийти як на півгодини, так і на годину, формуючи\(2c\). Вимірювання повинно бути лінійною функцією обох векторів; ми говоримо, що це «білінійна».

Двоїстість

Два вектори\(c\) і\(e\) мають різні одиниці\(hr\),\(hr^{-1}\) і населяють два різних одновимірних векторних просторів. «Аромат» вектора представлений тим, чи йде в нього стрілка або виходить назовні. Так само, як ми використовували позначення, як\(\overrightarrow{v}\) у фізиці першокурсника, щоб розповідати вектори окремо від скалярів, ми можемо використовувати стрілки в позначенні birdtracks як частина позначення для вектора, так що замість того, щоб писати два вектори як\(c\) і\(e\), ми можемо відзначити їх як\(c \to\) і\(\to e\). Виконання виміру схоже на сантехніку. З'єднуємо дві «труби» в\(c \to\; \to e\) і спрощуємо\(c \to e\).

Навколо цих понять виросли заплутані і нестандартизовані джунглі позначень і термінології. Поки що давайте звернемося до вектора\(\to e\), наприклад, зі стрілкою, що входить, просто як «вектор», а тип,\(c \to\) як «ковектор». У одновимірному прикладі землі та годинника з зозулею ролі, які зіграли ці дві речі, були абсолютно рівнозначними, і не важливо, яку ми висловили як вектор, а яку як ковектор.

Посилання

¹ Астрономія та астрофізика 326 (1997) 924, ADSABS.Harvard.edu/Full/1997A & 26A... 326.. 924M

² arxiv.org/абс/1205.4235

³ Система, що використовується в цій книзі, слідує за тією, яка була визначена Cvitanovi'c, яка була тісно заснована на графічному позначенні через Пенроуза. Більш повну експозицію дивіться у статті Вікіпедії «Графічні позначення Пенроуза» та онлайн-книзі Cvitanovi'c за адресою birdtracks.eu.