6.4: Подвійність

Цілі навчання

• Поясніть поняття подвійності

Подвійність у розмірах 3+1

У нашому оригінальному\(0 + 1\) -мірному прикладі годинника з зозулею і землею ми мали подвійність: виміри\(c\to e = 24\) і\(e\to c = 1/24\) дійсно надавали однакову інформацію, і неважливо, чи зробили ми наш скаляр з ковектора\(c\to \) і вектора\(\to e\) або ковектора\(e\to \) і вектор\(\to c\). Всі ці величини були просто тактовими частотами, які могли бути описані або їх частотами (ковекторами), або їх періодами (векторами).

Щоб узагальнити це до\(3+1\) розмірів, нам потрібно використовувати метрику - частину техніки, яку ми ніколи не мали використовувати з початку глави. З огляду на вектор\(\to r\), припустимо, ми знали, як виготовити його ковекторний варіант\(r\to \). Тоді ми могли б підключити сантехніку, щоб сформувати\(r\to r\), яка є лише номером. Якого числа це може бути? Єдиною розумною можливістю є квадрат величини\(r\), яку ми обчислюємо за допомогою метрики як\(r^2 = g(r,r)\). Оскільки ми можемо розглядати ковектори як функції, які приймають вектори до дійсних чисел, явно\(r\to \) повинна бути функція,\(f\) визначена\(f(x) = g(r,x)\).

Приклад\(\PageIndex{1}\): Finding the dual of a given vector

Враховуючи вектор\(\to v = (3,4)\) в\(1 + 1\) -мірних координатах Мінковського, знайдіть ковектор\(v\to \), тобто він подвійний.

Наша мета - виписати явний вираз для ковектора в компонентному вигляді,

\[v\to = (a,b)\]

Щоб визначити ці компоненти, ми повинні мати на увазі якусь основу, що складається з одного часу, як спостерігач-вектор,\(o\) і одного просторового вектора одночасності\(s\). Оскільки ми робимо це в координатах Мінковського (розділ 1.2), давайте відзначимо їх як\(\to \hat{t}\) і\(\to \hat{x}\), де капелюхи вказують, що це одиничні вектори в тому сенсі, що\(\hat{t}^2 = 1\) і\(\hat{x}^2 = -1\). Написання з\(v\to \) точки зору\(a\) і\(b\) означає, що ми ідентифікуємо\(v\to \) з функцією,\(f\) визначеною\(f(x) = g( v,x)\). Тому

\[f(\to \hat{t}) = a\; \text{and}\; f(\to \hat{x}) = b\]

або

\[g(\to v ,\to \hat{t}) = 3 = a\; \; \text{and}\; \; g(\to v,\to \hat{x}) = -4 = b\]

Результатом грізного, вигадливого розрахунку в прикладі\(\PageIndex{1}\) було просто взяти вектор\((3,4)\) і відкинути знак його просторового компонента, щоб дати його подвійний, ковектор\((3,-4)\). Озираючись назад, чому це сталося, це було тому, що ми використовували координати Мінковського, а в координатах Мінковського форма метрики

\[g(p,q) = (+1)p_tq_t + (-1)p_xq_x + ....\]

Тому ми завжди можемо знайти дуали таким чином, за умови, що

1. ми використовуємо координати Мінковського, і
2. підпис метрики, як передбачається в цій книзі\(+---\), немає\(-+ ++\).

Приклад\(\PageIndex{2}\): Going both ways

Припустімо координати Мінковського та підпис\(+---\). З огляду на вектор

\[\to e = (8,7)\]

і ковектор

\[f \to = (1,2)\]

знайти\(e\to \) і\(\to f\).

Рішення

За встановленим вище правилом ми можемо знайти,\(e\to \) просто відкинувши знак\(7\),

\[e \to = (8,-7)\]

Щоб знайти\(\to f\), нам потрібно запитати, який вектор\((a,b)\), якби ми відкинули знак\(b\), дав би нам\((a,-b) = (1,2)\). Очевидно, що це

\[\to f = (1,-2)\]

Іншими словами, перекидання знака просторової частини вектора також є рецептом зміни ковекторів на вектори.

Приклад\(\PageIndex{2}\) показує, що в координатах Мінковського операція зміни ковектора на відповідний вектор така ж, як і зміна вектора на його ковектор. Таким чином, дуал подвійний - це те саме, з чого ви почали. В цьому відношенні подвійність схожа з арифметичними операціями, такими як\(x\to -x\) і\(x\to 1/x\). Тобто подвійність - це самообернена операція - вона скасовує себе, як проведення двох операцій зі зміни статі поспіль або двічі перемикання політичних партій у країні, яка має двопартійну систему. Позначення Birdtracks робить це самообернене властивість виглядати очевидним, оскільки подвійність означає перемикання стрілки всередину на зовнішню або навпаки, і чітке виконання двох таких перемикачів повертає початкові позначення. Ця властивість була встановлена в прикладі\(\PageIndex{2}\) за допомогою координат Мінковського і припускаючи, що підпис буде\(+---\), але вона тримається без цих припущень.

У загальному випадку, коли координати можуть бути не Мінковським, вищевказаний аналіз розігрується наступним чином. Ковектори та вектори представлені векторами рядків і стовпців. Метрика може бути задана матрицею\(g\) так, що внутрішній добуток векторів стовпців\(p\) і\(q\) задається тим\(p^T gq\), де\(T\) представляє транспонування. Повторюючи ту саму логіку з цими додатковими ускладненнями, ми виявляємо\((gq)^T\), що подвійний вектор\(ω\) є\((ωg^{-1})^T\), тоді як подвійний ковектора\(g{-1}\) - де зворотна матриця\(g\).\(q\)

зміна основи

Ми побачили в розділі 6.2, що в\(0 + 1\) розмірах вектори та ковектори мають протилежні властивості масштабування при зміні одиниць, так що перемикання нашого базового блоку з годин на хвилини призвело до того, що наші частотні ковектори піднімаються в рази\(60\), в той час як наші вектори часу знизилися на той же коефіцієнт. Така поведінка була необхідна для того, щоб скалярні продукти залишалися однаковими. У більш ніж одному вимірі поняття зміни одиниць замінюється зміною основи. У лінійній алгебрі вектори рядків і стовпчикові вектори діють як ковектори та вектори; вони подвійні один одному. \(B\)Дозволяти матриця, зроблена з векторів-стовпців, що представляють собою основу для стовпцево-векторного простору. Потім зміна основи для вектора рядка\(r\) виражається як\(r' = rB\), тоді як така ж зміна основи для вектора стовпця\(c\) є\(c' = B^{-1} c\). Потім ми виявляємо, що скалярний добуток не впливає зміна основи, оскільки\(r'c' = rBB^{-1}c = rc\).

У важливому особливому випадку, коли\(B\) відбувається перетворення Лоренца, це означає, що ковектори трансформуються під зворотним перетворенням, яке можна знайти, відхиливши знак\(v\). Цей факт буде важливим в наступному розділі.