6.4: Подвійність

Цілі навчання

• Поясніть поняття подвійності

Подвійність у розмірах 3+1

У нашому оригінальному$0 + 1$ -мірному прикладі годинника з зозулею і землею ми мали подвійність: виміри$c\to e = 24$ і$e\to c = 1/24$ дійсно надавали однакову інформацію, і неважливо, чи зробили ми наш скаляр з ковектора$c\to$ і вектора$\to e$ або ковектора$e\to$ і вектор$\to c$. Всі ці величини були просто тактовими частотами, які могли бути описані або їх частотами (ковекторами), або їх періодами (векторами).

Щоб узагальнити це до$3+1$ розмірів, нам потрібно використовувати метрику - частину техніки, яку ми ніколи не мали використовувати з початку глави. З огляду на вектор$\to r$, припустимо, ми знали, як виготовити його ковекторний варіант$r\to$. Тоді ми могли б підключити сантехніку, щоб сформувати$r\to r$, яка є лише номером. Якого числа це може бути? Єдиною розумною можливістю є квадрат величини$r$, яку ми обчислюємо за допомогою метрики як$r^2 = g(r,r)$. Оскільки ми можемо розглядати ковектори як функції, які приймають вектори до дійсних чисел, явно$r\to$ повинна бути функція,$f$ визначена$f(x) = g(r,x)$.

Приклад$\PageIndex{1}$: Finding the dual of a given vector

Враховуючи вектор$\to v = (3,4)$ в$1 + 1$ -мірних координатах Мінковського, знайдіть ковектор$v\to$, тобто він подвійний.

Наша мета - виписати явний вираз для ковектора в компонентному вигляді,

$$v\to = (a,b)$$

Щоб визначити ці компоненти, ми повинні мати на увазі якусь основу, що складається з одного часу, як спостерігач-вектор,$o$ і одного просторового вектора одночасності$s$. Оскільки ми робимо це в координатах Мінковського (розділ 1.2), давайте відзначимо їх як$\to \hat{t}$ і$\to \hat{x}$, де капелюхи вказують, що це одиничні вектори в тому сенсі, що$\hat{t}^2 = 1$ і$\hat{x}^2 = -1$. Написання з$v\to$ точки зору$a$ і$b$ означає, що ми ідентифікуємо$v\to$ з функцією,$f$ визначеною$f(x) = g( v,x)$. Тому

$$f(\to \hat{t}) = a\; \text{and}\; f(\to \hat{x}) = b$$

або

$$g(\to v ,\to \hat{t}) = 3 = a\; \; \text{and}\; \; g(\to v,\to \hat{x}) = -4 = b$$

Результатом грізного, вигадливого розрахунку в прикладі$\PageIndex{1}$ було просто взяти вектор$(3,4)$ і відкинути знак його просторового компонента, щоб дати його подвійний, ковектор$(3,-4)$. Озираючись назад, чому це сталося, це було тому, що ми використовували координати Мінковського, а в координатах Мінковського форма метрики

$$g(p,q) = (+1)p_tq_t + (-1)p_xq_x + ....$$

Тому ми завжди можемо знайти дуали таким чином, за умови, що

1. ми використовуємо координати Мінковського, і
2. підпис метрики, як передбачається в цій книзі$+---$, немає$-+ ++$.

Приклад$\PageIndex{2}$: Going both ways

Припустімо координати Мінковського та підпис$+---$. З огляду на вектор

$$\to e = (8,7)$$

і ковектор

$$f \to = (1,2)$$

знайти$e\to$ і$\to f$.

Рішення

За встановленим вище правилом ми можемо знайти,$e\to$ просто відкинувши знак$7$,

$$e \to = (8,-7)$$

Щоб знайти$\to f$, нам потрібно запитати, який вектор$(a,b)$, якби ми відкинули знак$b$, дав би нам$(a,-b) = (1,2)$. Очевидно, що це

$$\to f = (1,-2)$$

Іншими словами, перекидання знака просторової частини вектора також є рецептом зміни ковекторів на вектори.

Приклад$\PageIndex{2}$ показує, що в координатах Мінковського операція зміни ковектора на відповідний вектор така ж, як і зміна вектора на його ковектор. Таким чином, дуал подвійний - це те саме, з чого ви почали. В цьому відношенні подвійність схожа з арифметичними операціями, такими як$x\to -x$ і$x\to 1/x$. Тобто подвійність - це самообернена операція - вона скасовує себе, як проведення двох операцій зі зміни статі поспіль або двічі перемикання політичних партій у країні, яка має двопартійну систему. Позначення Birdtracks робить це самообернене властивість виглядати очевидним, оскільки подвійність означає перемикання стрілки всередину на зовнішню або навпаки, і чітке виконання двох таких перемикачів повертає початкові позначення. Ця властивість була встановлена в прикладі$\PageIndex{2}$ за допомогою координат Мінковського і припускаючи, що підпис буде$+---$, але вона тримається без цих припущень.

У загальному випадку, коли координати можуть бути не Мінковським, вищевказаний аналіз розігрується наступним чином. Ковектори та вектори представлені векторами рядків і стовпців. Метрика може бути задана матрицею$g$ так, що внутрішній добуток векторів стовпців$p$ і$q$ задається тим$p^T gq$, де$T$ представляє транспонування. Повторюючи ту саму логіку з цими додатковими ускладненнями, ми виявляємо$(gq)^T$, що подвійний вектор$ω$ є$(ωg^{-1})^T$, тоді як подвійний ковектора$g{-1}$ - де зворотна матриця$g$.$q$

зміна основи

Ми побачили в розділі 6.2, що в$0 + 1$ розмірах вектори та ковектори мають протилежні властивості масштабування при зміні одиниць, так що перемикання нашого базового блоку з годин на хвилини призвело до того, що наші частотні ковектори піднімаються в рази$60$, в той час як наші вектори часу знизилися на той же коефіцієнт. Така поведінка була необхідна для того, щоб скалярні продукти залишалися однаковими. У більш ніж одному вимірі поняття зміни одиниць замінюється зміною основи. У лінійній алгебрі вектори рядків і стовпчикові вектори діють як ковектори та вектори; вони подвійні один одному. $B$Дозволяти матриця, зроблена з векторів-стовпців, що представляють собою основу для стовпцево-векторного простору. Потім зміна основи для вектора рядка$r$ виражається як$r' = rB$, тоді як така ж зміна основи для вектора стовпця$c$ є$c' = B^{-1} c$. Потім ми виявляємо, що скалярний добуток не впливає зміна основи, оскільки$r'c' = rBB^{-1}c = rc$.

У важливому особливому випадку, коли$B$ відбувається перетворення Лоренца, це означає, що ковектори трансформуються під зворотним перетворенням, яке можна знайти, відхиливши знак$v$. Цей факт буде важливим в наступному розділі.