7.1: Вбивство векторів

Метрика Шварцшильда є прикладом високосиметричного просторового часу. Він має безперервні симетрії в просторі (під обертанням) і в часі (при перекладі в часі). Крім того, він має дискретні симетрії при просторовому відображенні та розвороті часу. У розділі 6.2 ми побачили, що дві безперервні симетрії призвели до існування збережених величин для траєкторій тестових частинок, і що їх можна інтерпретувати як масову енергію та кутовий імпульс.

Узагальнюючи, ми хочемо розглянути думку про те, що метрика може бути інваріантною, коли кожна точка простору-часу систематично зміщується на якусь нескінченно малу величину. Наприклад, метрика Шварцшильда є інваріантною під$t → t + dt$. В координатах

$$(x^0, x^1, x^2, x^3) = (t, r, \theta, \phi),$$

у нас є векторне поле,$(dt, 0, 0, 0)$ яке визначає симетрію перенесення часу, і прийнято розділити це на два фактори, скінченне векторне поле$\boldsymbol{\xi}$ і нескінченно малий скаляр, так що вектор зміщення

$$\boldsymbol{\xi} dt = (1, 0, 0, 0) dt \ldotp$$

Таке поле називається векторним полем Killing, або просто вектором Killing, після Вільгельма Killing. Коли всі точки в просторі зміщуються, як зазначено вектором Killing, вони протікають без розширення або стиснення. Шляхом певної точки, наприклад пунктирною лінією на малюнку$\PageIndex{1}$, під цим потоком називається його орбітою. Хоча термін «Вектор вбивства» є одниною, він відноситься до всього поля векторів, кожен з яких відрізняється в цілому від інших. Наприклад,$\boldsymbol{\xi}$ показане на малюнку$\PageIndex{1}$ має більшу величину, ніж$\boldsymbol{\xi}$ біля горловини поверхні.

Рисунок$\PageIndex{1}$: Двовимірний простір має симетрію, яку можна візуалізувати, уявляючи його поверхнею обертання, вбудованою в трипросторі. Без посилання на будь-які зовнішні функції, такі як координати або вбудовування, спостерігач на цій поверхні може виявити симетрію, оскільки існує векторне поле$\xi$ du таким чином, що переклад по$\xi$ du не змінює відстань між сусідніми точками.

Ілюстрація$\PageIndex{2}$: Вільгельм Кілінг (1847-1923).

Нескінченно малі позначення призначені для опису безперервної симетрії, а не дискретної. Наприклад, просторовий час Шварцшильда також має дискретну симетрію повороту часу t → −t. Це неможливо описати вектором Killing, оскільки зміщення у часі не є нескінченно малим.

Приклад$\PageIndex{1}$: The Euclidean plane

Евклідова площина має два вектори Killing, що відповідають перекладу в двох лінійно незалежних напрямках, плюс третій вектор Killing для обертання навколо деякого довільно обраного походження O. У декартових координатах одним із способів написання повного набору з них є

$$\begin{split} \xi_{1} &= (1, 0) \\ \xi_{2} &= (0, 1) \\ \xi_{3} &= (-y, x) \ldotp \end{split}$$

Теорема з класичної геометрії ¹ стверджує, що будь-яке перетворення в евклідовій площині, яке зберігає відстані та передачу, може бути виражено або як переклад, або як обертання навколо якоїсь точки. Перетворення, які не зберігають передавання, такі як відображення, дискретні, а не безперервні. Ця теорема говорить нам про те, що більше не існує векторів вбивства, які можна знайти поза цими трьома, оскільки будь-який переклад може бути здійснений за допомогою$\xi_{1}$ і$\xi_{2}$, тоді як обертання навколо точки P можна здійснити шляхом перекладу P до O, обертанням, а потім перекладом O назад на P.

---

¹ Coxeter, Вступ до геометрії, гл. 3

У прикладі простору Шварцшильда складові метрики виявилися незалежними від t при вираженні в наших координатах. Це достатня умова існування вектора Killing, але не є необхідним. Наприклад, можна записати метрику евклідової площини в різних формах, таких як

$$ds^2 = dx^2 + dy^2$$

і

$$ds^2 = dr^2 + r^2 \,d \phi^{2}.$$

Перша форма не залежить від x та y, що демонструє, що x → x + dx та y → y + dy є векторами вбивства, тоді як друга форма дає нам$\phi \rightarrow \phi + d \phi$. Хоча ми можемо знайти певну систему координат, в якій проявляється існування вектора вбивства, його існування є внутрішньою властивістю, яка зберігається незалежно від того, чи ми навіть використовуємо координати. Загалом, вектор Killing ми визначаємо не з точки зору певної системи координат, а в чисто геометричному плані: простір має вектор Killing,$\boldsymbol{\xi}$ якщо переклад на нескінченно малу величину$\boldsymbol{\xi}$ du не змінює відстань між сусідніми точками. Такі твердження, як «простір часу має часовий вектор вбивства», є невід'ємними, оскільки і властивість, подібна до часу, і властивість бути вектором вбивства є координатно-незалежними.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Вектори в точці P на сфері можна візуалізувати як займають евклідову площину, характерну для П.

Вбивчі вектори, як і всі вектори, повинні жити в якомусь векторному просторі. На многообразі цей векторний простір є особливим для заданої точки, рис$\PageIndex{3}$. У кожній точці існує різний векторний простір, так що вектори в різних точках, що займають різні простори, можна порівняти тільки паралельним транспортом. Крім того, у нас дійсно є два таких простори в заданій точці, простір контраваріантних векторів і простір коваріантних. Вони називаються дотичними і котангенсними просторами. Нескінченно малі переміщення, про які ми обговорювали, належать до контраваріантного (верхнього індексу) простору, але шляхом зниження та індексування ми можемо так само добре обговорювати їх як коваріантні вектори. Звичайний спосіб позначення векторів Killing використовує факт, згаданий у розділі 5.10, що оператори часткових похідних є$\partial_{0}, \partial_{1}, \partial_{2}, \partial_{3}$ основою для векторного простору. У цьому позначенні вектор вбивства метрики Шварцшильда, про який ми говорили, можна позначити просто як

$$\boldsymbol{\xi} = \partial_{t} \ldotp$$

Часткове похідне позначення, як і нескінченно малі позначення, неявно відноситься до неперервних симетрій, а не до дискретних. Якщо дискретна симетрія переносить точку P ₁ до якоїсь віддаленої точки P ₂, то P ₁ і P ₂ мають дві різні дотичні площини, тому немає однозначно визначеного поняття про те, чи вектори$\boldsymbol{\xi}_{1}$ і$\boldsymbol{\xi}_{1}$ в цих двох точках рівні - або навіть приблизно дорівнює. Тому не може бути чітко визначеного способу тлумачення такого твердження, як: «P ₁ і P ₂ розділені зміщенням»$\boldsymbol{\xi}$. У випадку безперервної симетрії, з іншого боку, дві дотичні площини наближаються все ближче і ближче до збігу, оскільки відстань s між двома точками на орбіті наближається до нуля, і в цій межі ми відновлюємо приблизне поняття про можливість порівняння векторів у двох дотичних площинам. Їх можна порівняти паралельним транспортом, і хоча паралельний транспорт залежить від шляху, різниця між шляхами пропорційна площі, яку вони охоплюють, яка змінюється як s ², і тому стає незначною в межі s → 0.

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайдіть інший вектор Killing метрики Шварцшильда і висловіть його в позначенні дотичної вектора.

Можна показати, що еквівалентною умовою для поля є вектор Killing, є

$$\nabla_{a} \boldsymbol{\xi}_{b} + \nabla_{b} \boldsymbol{\xi}_{a} = 0.$$

Це відношення, яке називається рівнянням вбивства, записується без прив'язки до будь-якої системи координат, відповідно до координатно-незалежності поняття.

Коли просторовий час має більше одного вектора вбивства, будь-яка лінійна комбінація з них також є вектором вбивства. Це означає, що хоча існування певних типів векторів Killing може бути внутрішнім, точний вибір цих векторів не є.

Приклад$\PageIndex{2}$: Euclidean translations

Евклідова площина має два поступальні вектори вбивства (1, 0) і (0, 1), тобто$\partial_{x}$ і$\partial_{y}$. Ці ж вектори можуть бути виражені як (1, 1) та (1, −1) у системі координат, яка була змінена та повернута на 45 градусів.

Приклад$\PageIndex{3}$: a cylinder

Місцеві властивості циліндра, такі як внутрішня площинність, такі ж, як місцеві властивості евклідової площини. Оскільки визначення вектора вбивства є локальним і внутрішнім, циліндр має ті ж три вектори вбивства, що і площина, якщо розглядати лише патч на циліндрі, який досить малий, щоб він не обертався навколо. Однак лише два з них — переклади — можуть бути розширені, утворюючи плавне векторне поле на всій поверхні циліндра. Вони можуть бути більш природно позначені в ($\phi$, z) координатах, а не (x, y), даючи$\partial_{z}$ і$\partial_{\phi}$.

Рисунок$\PageIndex{4}$: Циліндр має три локальні симетрії, але лише дві, які можна розширити глобально, щоб створити вектори вбивства.

Приклад$\PageIndex{4}$: a sphere

Сфера схожа на площину або циліндр в тому, що це двовимірний простір, в якому жодна точка не має властивостей, які по суті відрізняються від будь-якої іншої. Тоді ми могли б очікувати, що він матиме два вектори вбивства. Насправді він має три, і$\xi_{x} , \xi_{y}$$\xi_{z}$, що відповідає нескінченно малим обертанням навколо осей x, y і z. Щоб показати, що це всі незалежні вектори Killing, нам потрібно продемонструвати, що ми не можемо, наприклад, мати$\xi_{x} = c_{1} \xi_{y} + c_{2} \xi_{z}$ для деяких констант c ₁ і c ₂. Щоб переконатися в цьому, розглянемо дії$\xi_{y}$ і$\xi_{z}$ на точці P, де вісь x перетинає сферу. (Посилання на осі і їх перетин зі сферою є зовнішніми, але це тільки для зручності опису і візуалізації.) Обидва$\xi_{y}$ і$xi_{z}$ рухають P навколо трохи, і ці рухи знаходяться в ортогональних напрямках, тоді як$\xi_{x}$ листя Р нерухомі. Це доводить, що ми не можемо мати$\xi_{x} = c_{1} \xi_{y} + c_{2} \xi_{z}$. Всі три вектори Killing лінійно незалежні.

Цей приклад показує, що лінійну незалежність векторів Killing неможливо візуалізувати, просто думаючи про вектори в дотичній площині в одній точці. Якби це було так, то ми могли б мати не більше двох лінійно незалежних векторів Killing в цьому двовимірному просторі. Коли ми говоримо «Вектор вбивства», ми дійсно маємо на увазі векторне поле Killing, яке визначається скрізь на просторі.

Приклад$\PageIndex{5}$: Proving nonexistence of Killing vectors

• Знайти всі вектори вбивства цих двох метрик: $$\ begin {спліт} ds^ {2} &= e^ {-x} dx^ {2} + e^ {x} dy^ {2}\ ds^ {2} &= dx^ {2} + x^ {2} dy^ {2} dy^ {2}\ ldotp\ end {split}$$
• Оскільки обидві метрики явно не залежать від y, випливає, що$\partial_{y}$ це вектор вбивства для обох. Жоден з них не має жодної іншої явної симетрії, тому ми можемо розумно припустити, що це єдиний вектор вбивства, який має один з них. Однак можна мати симетрії, які не проявляються, тому також можливо, що їх більше.

Одним із способів атаки на це було б використовувати рівняння Killing, щоб знайти систему диференціальних рівнянь, а потім визначити, скільки лінійно незалежних розв'язків було.

Але є більш простий підхід. Залежність цих метрик від x говорить про те, що простори можуть мати внутрішні властивості, які залежать від x; якщо так, то це демонструє нижчу симетрію, ніж у евклідової площини, яка має три вектори Killing. Однією властивістю, яку ми можемо перевірити, є скалярна кривизна R. Наступний код Maxima обчислює R для першої метрики.

Результатом є R = −e ^x, що демонструє, що точки, що відрізняються по x, мають різні внутрішні властивості. Оскільки потік поля Killing ніколи не$\xi$ може з'єднати точки, які мають різні властивості, ми робимо висновок, що$\xi_{x} = 0$. Якщо тільки$\xi_{y}$ може бути ненульовим, рівняння вбивства$\nabla_{a} \xi_{b} + \nabla_{b} \xi_{a} = 0$ спрощує$\nabla_{x} \xi_{y} = \nabla_{y} \xi_{y} = 0$. Ці рівняння обмежують обидва$\partial_{x} \xi_{y}$ і$\partial_{y} \xi_{y}$, що означає, що з урахуванням значення$\xi_{y}$ в деякій точці площини, його значення всюди визначається. Тому єдиними можливими векторами Killing є скалярні кратні вже знайденому вектору Killing. Оскільки ми не вважаємо вектори Killing різними, якщо вони не лінійно незалежні, перша метрика має лише один вектор Killing.

Аналогічний розрахунок для другої метрики показує, що R = 0, а явний розрахунок його тензора Рімана показує, що насправді простір плоский. Це просто евклідова площина, написана в кумедних координатах. Ця метрика має ті ж три вектори вбивства, що і евклідова площина.

Було б спокусливо стрибнути до неправильного висновку щодо другої метрики наступними міркуваннями. Підпис метрики є власною властивістю. Метрика має підпис ++ скрізь у площині, крім осі y, де вона має підпис +0. Це показує, що вісь y має різні внутрішні властивості, ніж решта площини, і тому метрика повинна мати нижчу симетрію, ніж евклідова площина. Він може мати не більше двох векторів вбивства, а не три. Це суперечить нашому попередньому висновку. Дозвіл цього парадоксу полягає в тому, що ця метрика має знімне виродження того ж типу, що і описане в розділі 6.4. Як обговорювалося в цьому розділі, підпис є інваріантним лише при несингулярних перетвореннях, але перетворення, яке перетворює ці координати на декартові, є одниною.

Неправильне змішування нотаційних систем

Як не дивно, прийнято виражати вектори і подвійні вектори, підсумовуючи базисні вектори так:

$$\begin{split} \textbf{v} &= v^{\mu} \partial_{\mu} \\ \boldsymbol{\omega} &= \omega_{\mu} dx^{\mu} \ldotp \end{split}$$

Це зловживання позначеннями, зумовлене бажанням мати пари індексів вгору вниз, щоб підсумувати за звичайними правилами конвенції про позначення Ейнштейна. Але за цією$\boldsymbol{\omega}$ конвенцією, кількість, як v або без індексів є скалярним, і це не так тут. Продукти праворуч не є тензорними продуктами, тобто індекси не контрактуються.

Ця плутанина є результатом спроби змусити позначення Ейнштейна робити занадто багато речей одночасно і спроби зберегти незграбну і застарілу систему позначень і термінології, що виникла Сильвестром у 1853 році. У чистому абстрактному індексному позначенні існує не шість смаків об'єктів, як у двох рівняннях вище, а лише два: вектори, такі як v ^a та подвійні вектори, подібні$\omega_{a}$. Позначення Сильвестра є поширеним серед математиків сьогодні, оскільки їхні попередники взяли на себе зобов'язання за століття до розробки альтернатив, таких як абстрактні індексні позначення та пташині сліди. Система Сильвестра суперечить тому, як фізики сьогодні думають про вектори та подвійні вектори як визначені їх властивостями трансформації, оскільки Сильвестр вважає v і$\boldsymbol{\omega}$ бути інваріантними.

Змішування двох систем призводить до описаних вище видів нотаційних зіткнень. Як особливо абсурдний приклад, фізик, якого просять запропонувати позначення для вектора, зазвичай бере ручку і пише v ^$\mu$. Потім ми змушені сказати, що вектор пишеться в конкретній основі як лінійна комбінація подвійних векторів$\partial_{\mu}$!

Закони про збереження

Всякий раз, коли просторовий час має вектор Killing, геодезики мають постійне значення v ^b$\xi_{b}$, де v ^b - швидкість чотири вектора. Наприклад, оскільки метрика Шварцшильда має вектор Killing$\boldsymbol{\xi} = \partial_{t}$, тестові частинки мають збережене значення v ^t, і тому ми також маємо збереження p ^t, інтерпретується як масова енергія.

Приклад$\PageIndex{6}$: Energy-momentum in flat 1+1 spacetime

Плоский 1+1-мірний простор має вектори Killing$\partial_{x}$ і$\partial_{t}$. Відповідні цим є збережений імпульс і масова енергія, p і E. Якщо ми зробимо імпульс Лоренца, ці два вектори Killing змішуються між собою лінійним перетворенням, відповідним перетворенню p і E в новий кадр.

Крім того, можна визначити глобально збережену величину, знайдену шляхом інтеграції щільності потоку P ^a = T ^ab$\xi_{b}$ за межі будь-якої компактної орієнтованої області. ² У разі плоского просторучасу існує достатня кількість векторів Killing, щоб дати збереження енергії-імпульсу та кутового моменту.

Примітка

Хокінг і Елліс, Велика масштабна структура простору-часу, стор. 62, дають стислу обробку, яка описує щільності потоку і доводить, що теорема Гаусса, яка зазвичай виходить з ладу у вигнутому просторовому часі для нескалярного потоку, тримається у випадку, коли існують відповідні вектори вбивства. Для чіткого опису того, як можна інтегруватися, щоб знайти скалярну масову енергію, див. Winitzki, Теми в загальній теорії відносності, розділ 3.1.5, доступний безкоштовно в Інтернеті.