7.4: Статичний та стаціонарний простір (частина 1)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77698

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Стаціонарний простір

Коли ми вирішили описати загальний простор-час, якість досвіду «Аліса в країні чудес» частково полягає в тому, що інваріантність координат дозволяє довільно масштабувати наші масштаби часу та відстані, але також частково тому, що ландшафт може змінюватися від одного моменту до іншого. Ситуація різко спрощується, коли просторовийчас має часовий вектор Killing. Такий простор, як кажуть, стаціонарний. Два приклади - плоский простор і простор, що оточує обертову землю (в якому є ефект перетягування кадру). Не-приклади включають Сонячну систему, космологічні моделі, гравітаційні хвилі та хмара речовини, що зазнають гравітаційного колапсу.

Чи може Аліса визначити, подорожуючи по своєму просторучасу і проводячи спостереження, чи є він нерухомим? Якщо це не так, то вона, можливо, зможе це довести. Наприклад, припустимо, що вона відвідує певний регіон і виявляє, що інваріант Кречмана\(R^{abcd}R_{abcd}\) змінюється з часом в її рамках відліку. Можливо, це тому, що астероїд йде на її шляху, і в цьому випадку вона може відрегулювати вектор швидкості відповідно до вектора астероїда. Навіть якщо вона не бачить астероїд, вона все одно може спробувати знайти швидкість, яка змушує її місцеву геометрію перестати змінюватися саме таким чином. Якщо просторово-час дійсно нерухоме, то вона завжди може «налаштуватися» на потрібний вектор швидкості таким чином шляхом систематичного пошуку. Якщо ця процедура коли-небудь не вдається, то вона довела, що її простор не є стаціонарним.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Чому часова природа вектора вбивства важлива в цій історії?

Довести, що просторовий час є нерухомим, важче. Частково це відбувається тільки тому, що простор нескінченний, тому для перевірки скрізь знадобиться нескінченна кількість часу. Ми не схильні занадто турбуватися про це обмеження наших геометричних знань, яке є типом, який був знайомий з тисяч років тому, коли це засмутило древніх греків, що паралельний постулат можна перевірити лише слідуючи лінії на нескінченну відстань. Але є і новий тип обмеження. Простір Шварцшильда за нашим визначенням не є стаціонарним. У координатах, використовуваних у розділі 6.2,\(\partial_{t}\) є вектор вбивства, але це лише часовий для r > 2m; для r < 2m він схожий на пробіл. Хоча рішення описує чорну діру, яка збирається сидіти вічно, не змінюючись, жоден спостерігач ніколи не може перевірити цей факт, тому що, як тільки вона збивається всередині горизонту, вона повинна слідувати часовій світовій лінії, яка закінчить її програму спостереження протягом деякого кінцевого часу.

Ізольовані системи

Асимптотична площинність

Ця прикра особливість нашого визначення стаціонарності - її емпірична неперевірність - це те, з чим взагалі нам просто доводиться жити. Але є альтернатива в окремому випадку ізольованої системи, такої як наша галактика або чорна діра. Це може бути хорошим наближенням ігнорувати віддалену матерію, моделюючи таку систему з простором-часом, який є асимптотично плоским. Поняття асимптотичної площинності було введено неофіційно в розділі 4.5. Формулювання визначення цього терміна суворо і координатно-інваріантним способом передбачає велику кількість технічних механізмів, оскільки нам не гарантовано буде заздалегідь представлений спеціальний, фізично значущий набір координат, який би призвів безпосередньо до кількісного способу визначення слів на кшталт «поруч». Суттєва ідея полягає в тому, що просторовий час є асимптотично плоским, якщо можна виконати конформне перетворення таким чином, що результат має ідеалізовані області на нескінченності i ⁰,\(\mathscr{I}^{+}\) і\(\mathscr{I}^{-}\) (але не i ⁺ і ^{i -}), які виглядають як у Мінковського простір. Читач, який хоче побачити повну представлену техніку, може знайти презентації в різних місцях, таких як Хокінг і Елліс, гл. 11 Wald, або онлайн-оглядова стаття «Конформна нескінченність» на livingreviews.org.

Асимптотично стаціонарний простор

У випадку асимптотично плоского просторового часу ми говоримо, що він також є асимоптотично стаціонарним, якщо у нього є вектор вбивства, який стає схожим на час далеко. Деякі автори (наприклад, Людвігсен) визначають «стаціонарний», щоб означати те, що я називаю «асимоптотично стаціонарним», інші (Хокінг та Елліс) визначають це так само, як я, а треті (Керролл) не є самоузгодженими. Простір Шварцшильда асимптотично стаціонарний, але не стаціонарний.

Стаціонарне поле без інших симетрій

Розглянемо найбільш загальний стаціонарний випадок, в якому єдиним вектором Killing є тимчасовий. Єдина неоднозначність у виборі цього вектора - це перемасштабування, його напрямок зафіксовано. Отже, у будь-якій точці простору ми маємо поняття бути в спокої, тобто мати вектор швидкості паралельний вектору Killing. Спостерігач у спокої не виявляє залежності від часу в таких кількостях, як приливні сили.

Точки в просторі, таким чином, мають постійну ідентичність. Гравітаційне поле, яке говорить нам принцип еквівалентності, зазвичай є невловимим, залежним від кадру концепцією, тепер стає більш конкретним: це правильне прискорення, необхідне для того, щоб залишатися на одному місці. Тому ми можемо використовувати такі фрази, як «стаціонарне поле», без звичайних застережень щодо координатно-залежного значення «поля».

Простір можна посипати однаковими годинами, все в стані спокою. Крім того, ми можемо порівняти показники цих годинників і навіть компенсувати неузгоджені показники за наступною процедурою. Оскільки просторовий час стаціонарний, експерименти відтворюються. Якщо ми відправимо фотон або матеріальну частку з точки А в просторі в точку В, то ідентичні частинки, що випромінюються в більш пізні часи, будуть слідувати однаковим траєкторіям. Часовий відставання між приходом двох таких частинок повідомляє спостерігачеві в B кількість часу в B, що відповідає певному інтервалу в А. Якщо ми хочемо, ми можемо налаштувати всі годинники так, щоб їх швидкість збігалася. Прикладом такого узгодження швидкості є супутникова система GPS, в якій годинник супутників налаштовані на 10.22999999543 МГц, що відповідає наземним годинникам на 10,23 МГц. (Строго кажучи, цей приклад недоречний в цьому підрозділі, так як земне поле має додаткову азимутальну симетрію.)

Спокусливо зробити висновок, що цей тип простору-часу оснащений природною перевагою часової координати, яка є унікальною до глобального афінного перетворення t → при + b Але щоб побудувати таку часову координату, нам доведеться відповідати не тільки швидкості годинника, але і їх фази. Найкращий метод відносності дозволяє це зробити синхронізація Ейнштейна (Додаток 1), яка передбачає торгівлю фотоном вперед і назад між годинниками A і B та регулювання годинників так, щоб вони погоджувалися, що кожен годинник отримує фотон в середині часу між його прибуття на інший годинник. Біда в тому, що для загального стаціонарного просторучасу ця процедура не є перехідною: синхронізація A з B, а B з C, не гарантує узгодження між А з С. Це пов'язано з тим, що час, який потрібен фотону для переміщення за годинниковою стрілкою навколо трикутника ABCA може відрізнятися від часу, необхідного для маршрут проти годинникової стрілки ACBA. Іншими словами, ми можемо мати ефект Sagnac, який, як правило, інтерпретується як знак обертання. Такий ефект буде відбуватися, наприклад, в полі землі, що обертається, і його неможливо усунути, вибравши рамку, яка обертається разом із землею, тому що навколишній простір відчуває ефект перетягування кадрів, який поступово відпадає з відстанню.

Хоча стаціонарний просторовий час не має однозначно бажаного часу, він віддає перевагу деяким часовим координатам над іншими. У стаціонарному просторовічасі завжди можна знайти «приємне» t таке, що метрика може бути виражена без будь-якої t-залежності в її складових.

Стаціонарне поле з додатковими симетріями

Більшість результатів, наведених вище для стаціонарного поля без інших симетрій, також тримаються в особливому випадку, коли присутні додаткові симетрії. Основна відмінність полягає в тому, що ми можемо складати лінійні комбінації певного вектора вбивства, подібного до часу, з іншими векторами Killing, тому тимчасовий вектор Killing не є унікальним. Це означає, що немає бажаного поняття перебування в стані спокою. Наприклад, у плоскому просторовічасі ми не можемо визначити спостерігача, який перебуває у стані спокою, якщо він не спостерігає змін у локальних спостережуваних даних з часом, оскільки це вірно для будь-якого інерційного спостерігача. Оскільки немає бажаного кадру відпочинку, ми не можемо визначити гравітаційне поле з точки зору цього кадру, і більше немає бажаного визначення гравітаційного поля.

Статичний Простір

Окрім синхронізації всіх годин з однаковою частотою, ми також хотіли б мати можливість відповідати всім їхнім фазам за допомогою синхронізації Ейнштейна, що вимагає транзитивності. Транзитивність залежить від кадру. Наприклад, плоский простор дозволяє транзитивність, якщо ми використовуємо звичайні координати. Однак, якщо ми перейдемо до обертової системи відліку, транзитивність не вдається (див. Розділ 3.5). Якщо існують координати, в яких певний простор-час має транзитивність, то цей простор-час вважається статичним. У цих координатах метрика діагоналізується, і оскільки в метриці немає просторово-часових перехресних термінів, таких як dx dt, такий простір-час є інваріантним під час зміни часу. Грубо кажучи, статичний просторомчасу - це таке, в якому немає обертання.

Теорема Біркгофа

Теорема Біркгофа, доведена нижче, стверджує, що у випадку сферичної симетрії рівняння вакуумного поля мають розв'язок, простору-час Шварцшильда, який є унікальним до вибору координат і значення m Перерахуємо припущення, які пішли в наш вивід метрики Шварцшильда в розділ 6.2. Це були: (1) рівняння вакуумного поля, (2) сферична симетрія, (3) асимптотична статичність, (4) певний вибір координат і (5)\(\Lambda\) = 0. Теорема Біркгофа говорить про те, що припущення про статичність не було необхідним. Тобто, навіть якщо масовий розподіл контрактів і розширюється з часом, зовнішнє рішення все одно залишається рішенням Шварцшильда. Теорема Біркгофа полягає в тому, що гравітаційні хвилі є поперечними, а не поздовжніми (див. Розділ 9.2), тому радіальне пульсування розподілу мас не може генерувати гравітаційну хвилю.

Доказ теореми Біркгофа

Сферична симетрія гарантує, що ми можемо ввести координати r і t такі, що поверхні постійних r і t мають структуру сфери з радіусом r На одній такій поверхні ми можемо ввести координати широти і довготи\(\theta\) і\(\phi\). \((\theta, \phi)\)Координати можуть бути розширені природним чином до інших значень r, вибравши радіальні лінії, які лежать у напрямку коваріантного похідного вектора ⁸\(\nabla_{a}\) r, і це гарантує, що метрика не матиме жодних незникаючих термінів у dr d\(\theta\) або dr d\(\phi\), які може виникнути тільки в тому випадку, якщо наш вибір порушив симетрію між позитивними і негативними значеннями d\(\theta\) і d\(\phi\). Подібно до того, як ми були вільні вибирати будь-який спосіб різьблення постійних ліній\((\theta, \phi, t)\) між сферами різних радіусів, ми також можемо вибрати, як різьблення ліній константи\((\theta, \phi, r)\) між різними часами, і це можна зробити так, щоб зберегти метрику вільною від будь-яких перехресних термінів часового простору, таких як d\(\theta\) dt. Таким чином, метрика може бути записана у формі ⁹.

\[ds^{2} = h(t, r)dt^{2} - k(t, r) dr^{2} - r^{2} (d \theta^{2} + \sin^{2} \theta d \phi^{2}) \ldotp\]

Це має бути розв'язком рівнянь вакуумного поля, R _ab = 0, і, зокрема, швидкий розрахунок з Maxima показує, що R _rt =\(− \frac{\partial_{t} k}{k^{2} r}\), тому k повинен бути незалежним від часу. З цим обмеженням знаходимо

\[R_{_rr}= − \frac{\partial_{r} h}{hkr} − \frac{1}{r^{2}} − \frac{1}{kr^{2}} = 0,\]

а оскільки\(k\) є незалежним від часу, також\(\frac{\partial_{r} h}{h}\) є незалежним від часу. Це означає, що для певного часу функція\(f(r) = h(t_o, r)\) має якусь універсальну форму, встановлену диференціальним рівнянням, з єдиною можливою неоднозначністю є загальне масштабування, яке залежить від. Але оскільки h - це часова складова метрики, це масштабування фізично відповідає ситуації, в якій кожен годинник у всьому Всесвіті прискорюється і сповільнюється в унісон. Загальна відносність є координатно-незалежною, тому це не має спостережуваних ефектів, і ми можемо поглинути його в перевизначення t, що призведе до h бути незалежним від часу. Таким чином, метрика може бути виражена в незалежному від часу діагональному вигляді.

\[ds^{2} = h(r) dt^{2} - k(r) dr^{2} - r^{2} (d \theta^{2} + \sin^{2} \theta d \phi^{2}) \ldotp\]

Ми вже розв'язали польові рівняння для метрики такої форми і знайшли у розв'язку просторовий час Шварцшильда. ¹⁰ Оскільки всі компоненти метрики не залежать від t,\(\partial_{t}\) це вектор Killing, і він схожий на час для великих r, тому простір Шварцшильда асимптотично статичний.

⁸ Може здатися зворотним, щоб почати говорити про коваріантну похідну певної координати ще до того, як буде введена повна система координат. Але (за винятком тривіального випадку плоского просторучасу), r - це не просто довільна координата, це те, що спостерігач у певній точці простору-часу може визначити шляхом відображення поверхні геометрично однакових точок, а потім визначаючи радіус кривизни цієї поверхні. Ще одне занепокоєння полягає в тому, що\(\nabla_{a}\) r може погано поводитися на певних поверхнях, таких як горизонт подій простору Шварцшильда, але ми можемо просто вимагати, щоб радіальні лінії залишалися безперервними, коли вони проходять через ці поверхні.

⁹ На тих же поверхнях, про які йдеться у попередній виносці, функції h та k можуть переходити до 0 або ∞. Вони виявляються не більш серйозними, ніж координатні особливості.

¹⁰ Простір Шварцшильда - це однозначно визначена геометрія, знайдена шляхом видалення координатних сингулярностей з цієї форми метрики Шварцшильда.