7.5: Статичний та стаціонарний простір (частина 2)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77726

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Теореми про відсутність волосся

Теорема Біркгофа схожа на набір теорем, званих теоремами без волосся, що описують чорні діри. Найбільш загальна теорема no-hair стверджує, що чорна діра повністю характеризується своєю масою, зарядом і кутовим імпульсом. Крім цих трьох чисел, ніхто зовні не може відновити будь-яку інформацію, якою володіла речовина і енергія, які були засмоктані в чорну діру.

Запропоновано ¹¹, що теорема без волосся для ненульового моменту моменту і нульового заряду може бути перевірена емпіричним шляхом спостереженнями Стрільця А*. Якщо спостереження узгоджуються з теоремою про відсутність волосся, це буде сприйнято як підтримує обґрунтованість загальної відносності та тлумачення цього об'єкта як надмасивної чорної діри. Якщо ні, то існують різні можливості, включаючи нездатність загальної відносності бути правильною теорією сильних гравітаційних полів, або провал одного з інших припущень теореми, таких як неіснування замкнутих часових кривих у навколишньому Всесвіті.

Теореми без волосся говорять про те, що відносність має лише невеликий репертуар типів чорних дір, визначених як регіони простору, причинно від'єднані від Всесвіту, в тому сенсі, що майбутні світлові конуси точок у регіоні не поширюються до нескінченності. ¹² Тобто чорна діра визначається як область, прихована за горизонтом подій, і оскільки визначення горизонту подій залежить від спостерігача, ми вказуємо спостерігача нескінченно далеко. Теорема Біркгофа має дещо іншу структуру, ніж теореми без волосся, оскільки вона передбачає симетрію і доводить існування горизонту подій (якщо вакуумна область розширена до досить малих радіусів), тоді як теореми без волосся припускають горизонт подій і доводять форму метрики, в тому числі і його симетрії.

нуль нескінченність

Більш офіційне твердження про це див. Хокінг і Елліс, «Широкомасштабна структура простору-часу», стор. 315. По суті, область повинна бути з'єднаною областю на космічній триповерхні, і не повинно бути світлоподібних світових ліній, які з'єднують точки в цій області з нульовою нескінченністю. Нульова нескінченність була введена коротко в розділі 7.3 визначена формально за допомогою конформних методів, але в основному відноситься до точок, які нескінченно далеко як у просторі, так і в часі, і мають дві нескінченності рівні в певному сенсі, так що вільний промінь світла може опинитися там. Визначення ґрунтується на припущенні, що навколишній простор-час асимптотично плоский, оскільки в іншому випадку нульова нескінченність не може бути визначена. Насправді не потрібно припускати сингулярність як частину визначення; теореми без волосся гарантують, що вона існує.

Теореми без волосся не можуть класифікувати оголені особливості, тобто ті, які не приховані за горизонтами. Роль оголених сингулярностей у відносності є предметом гіпотези космічної цензури, яка є відкритою проблемою. Теореми не виключають особливість Великого вибуху, оскільки ми не можемо визначити поняття спостерігача, нескінченно далекого від Великого вибуху. Ми також бачимо, що теорема Біркгофа не забороняє Великий вибух, оскільки космологічні моделі не є вакуумними розв'язками з\(\Lambda\) = 0. Чорні струнні розв'язки не виключені теоремою Біркгофа, оскільки їм не вистачало б сферичної симетрії, тому нам потрібні аргументи, наведені в розділі 6.3, щоб показати, що вони не існують.

Ми побачили на прикладі 4 та розділі 7.3, що немає чітко визначеного способу розглядати сингулярність як геометричний об'єкт, і що ця неоднозначність поширюється навіть на такі, здавалося б, прості питання, як скільки розмірів вона має. Геометрично, як сказала Гертруда Стайн про Окленд, там «немає». Ми також могли б запитати, чи має сингулярність чорної діри якісь фізичні властивості. Якщо так, то теореми про відсутність волосся обмежують перелік таких властивостей максимум трьома. Але ми не можемо приписувати ці властивості самій сингулярності. Швидше, вони є властивостями деякої великої області просторучасу, виміряної спостерігачем при асимптотичній нескінченності. Такий спостерігач не може сказати, чи є маса чорної діри властивістю сингулярності; вона навіть не може сказати, чи існує сингулярність «зараз». У цьому сенсі сингулярність чорної діри - це не «це». Запитувати про «його» властивості - це все одно, що запитати, який час, коли кінчик хвилинної стрілки знаходиться в центрі годинника. Циферблат існує лише по колу кола, а не в його центрі.

Гравітаційний потенціал

Коли Паунд і Ребка зробили перше спостереження за гравітаційними червоними зміщеннями, ці зрушення інтерпретувалися як свідчення гравітаційного розширення часу, тобто невідповідності темпів годинника. Ми звикли з'єднувати ці дві ідеї за допомогою виразу e ^{−\(\Delta \Phi\)} для співвідношення швидкостей двох годинників (приклад 11), де\(\Phi\) є функція просторових координат, і це фактично найбільш загальне можливе визначення гравітаційного потенціалу.\(\Phi\) в теорії відносності. Оскільки стаціонарне поле дозволяє нам порівнювати частоти годинника, здається, що ми повинні мати можливість визначити гравітаційний потенціал для будь-якого стаціонарного поля. Існує проблема, однак, тому що коли ми говоримо про потенціал, ми зазвичай маємо на увазі щось, що закодовано в ньому все, що потрібно знати про поле. Тому ми очікуємо, що зможемо знайти метрику з потенціалу. Але приклад обертається землі показує, що це не повинно бути для загального стаціонарного поля. У цьому прикладі є такі ефекти, як перетягування кадру,\(\Phi\) з яких явно неможливо вивести\(\Phi\); бо симетрія не залежить від азимутального кута, і тому він не може розрізнити напрямок обертання та зворотний напрямок. У статичному просторовому часі цих обертальних ефектів не існує; статичний вакуумний простор можна описати повністю з точки зору єдиного скалярного потенціалу плюс інформація про просторову кривизну.

Є дві основні причини, чому відносність не пропонує гравітаційного потенціалу з тією ж загальною корисністю, що і його ньютонівський аналог.

Рівняння поля Ейнштейна нелінійні. Тому, загалом, неможливо знайти поле, створене заданим набором джерел шляхом складання потенціалів. У кращому випадку це можливе наближення слабкого поля. Зокрема, хоча теорема Біркгофа в деякому роді аналогічна теоремі ньютонівської оболонки, вона не може бути використана для пошуку метрики довільного сферично симетричного розподілу маси шляхом розбивання її на сферичні оболонки.

Також не має сенсу говорити про будь-який гравітаційний потенціал для космічних часів, які не є статичними або стаціонарними. Наприклад, розглянемо космологічну модель, що описує нашу розширюється Всесвіт. Такі моделі зазвичай будуються за принципом Коперника, що жодне положення у Всесвіті не займає привілейованого місця. Іншими словами, вони однорідні в тому сенсі, що у них є вектори Killing, що описують довільні переклади та обертання. Через таку високу ступінь симетрії гравітаційний потенціал для такої моделі повинен був би бути незалежним від положення, і тоді він явно не міг кодувати ніякої інформації про просторової частини метрики. Навіть якби ми були готові зробити потенціал функцією часу,\(\Phi\) (t), результати все одно були б нісенітницею. Гравітаційний потенціал визначається з точки зору відповідності швидкості годинника, тому потенціал, який був чисто функцією часу, описував би ситуацію, в якій усі годинники, всюди у Всесвіті, змінювали свої швидкості рівномірно. Але це явно просто еквівалентно редефініції часової координати, яка не має спостережуваних наслідків, оскільки загальна відносність є координатно-інваріантною. Наслідком є те, що в космологічному просторовічасу неможливо дати природний рецепт для вирішення того, чи є конкретний червоний зсув гравітаційним (вимірюється\(\Phi\)) або кінематичним, або деякою комбінацією цих двох (див. Також розділ 8.2).

Посилання

¹¹ Йоганнсен і Псалтида, http://arxiv.org/abs/1008.3902v1