7.6: Рівномірне гравітаційне поле переглянуто

У цьому розділі наведено дещо екзотичний приклад. Зовсім необов'язково читати його, щоб розібратися в більш пізньому матеріалі.

У задачі 7 ми склали список бажаних властивостей для рівномірного гравітаційного поля, і виявили, що не всі вони можуть бути задоволені відразу. Тобто не існує глобального рішення рівнянь поля Ейнштейна, яке однозначно і задовільно втілює всі наші ньютонівські уявлення про однорідне поле. Зараз ми переглядаємо це питання у світлі наших нових знань.

1+1-мірна метрика

\[ds^{2} = e^{2gz} dt^{2} - dz^{2}\]

це той, який однозначно задовольняє наші очікування, засновані на принципі еквівалентності (приклад 11), і це вакуумне рішення. Ми можемо логічно спробувати узагальнити це до 3+1 вимірів наступним чином:

\[ds^{2} = e^{2gz} dt^{2} - dx^{2} - dy^{2} - dz^{2} \ldotp\]

Але зараз відбувається забавна річ - просто ляпаючи по двох нових декартових осях x і y, виявляється, що ми зробили наше вакуумне рішення в невакуумне рішення, і не тільки це, але отриманий тензор стрес-енергії нефізичний (задача 8).

Одним із способів продовжити було б розслабити наше наполягання на створенні простору-часу, який точно втілює вимоги принципу еквівалентності до єдиного поля. ¹³ Це можна зробити, взявши g _tt = e ^2\(\Phi\), де\(\Phi\) не обов'язково дорівнює 2gz. Вимагаючи, щоб метрика була розв'язком вакууму 3+1, ми приходимо до диференціального рівняння, рішення якого дорівнює\(\Phi\) = ln (z + k ₁) + k ₂, яке відновлює метрику плоского простору, яку ми знайшли в прикладі 19, застосовуючи зміну координат до метрики Лоренца.

Примітка

Завдяки physicsforums.com користувачеві Mentz114 за те, що він запропонував такий підхід та продемонстрував наступний розрахунок

Що робити, якщо ми хочемо провести узагальнення від 1+1 до 3+1, не порушуючи принципу еквівалентності? Для фізичної мотивації в тому, як пройти цю перешкоду, розглянемо наступний аргумент, зроблений Борном в 1920 році. ¹⁴ Візьміть систему відліку, прив'язану до обертового диска, як у прикладі, з якого Ейнштейн спочатку взяв більшу частину мотивації для створення геометричної теорії гравітації (розділ 3.5). Годинники біля краю диска працюють повільно, і за принципом еквівалентності спостерігач на диску інтерпретує це як гравітаційне розширення часу. Але це не єдиний релятивістський ефект, який бачить такий спостерігач. Її правителі також є Лоренцем, який стискається, як бачить необертовий спостерігач, і вона інтерпретує це як доказ неевклідової просторової геометрії. Існують деякі фізичні відмінності між обертовим диском та нашою концепцією єдиного поля за замовчуванням, зокрема в питанні про те, чи повинна метрика бути статичною (тобто відсутність перехресних термінів між змінними простору та часу). Але навіть незважаючи на це, ці міркування роблять природним гіпотезу, що правильна 3+1-мірна метрика повинна мати поперечні просторові коефіцієнти, які зменшуються з висотою.

При такій мотивації розглянемо метрику виду

\[ds^{2} = e^{2z} dt^{2} - e^{-2jz} dx^{2} - e^{-2kz} dy^{2} - dz^{2},\]

де j і k - константи, і я взяв g = 1 для зручності. ¹⁵ Наступний код Maxima обчислює скалярну кривизну та тензор Ейнштейна:

Примітка

Метрика цієї загальної форми називається метрикою Каснера. Зазвичай бачить, що це написано з логарифмічною зміною змінних, так що z з'являється в базі, а не в експоненті.

Вихідні дані з рядка 9 показують, що скалярна кривизна є постійною, що є необхідною умовою для будь-якого просторового часу, який ми хочемо думати як представляючи рівномірне поле. Оглядаючи вихід тензора Ейнштейна по рядку 10, ми знаходимо, що для того, щоб G _xx і G _yy зникли, нам потрібно j і k бути\(\frac{1 \pm \sqrt{3i}}{2}\). Методом проб і помилок ми виявляємо, що присвоєння складно-сполучених значень j і k змушує G _tt і G _zz також зникати, так що ми маємо вакуумний розв'язок. Це рішення, на жаль, складне, тому не має ніякої очевидної цінності як фізично значущий результат. Оскільки польові рівняння нелінійні, ми не можемо використовувати звичайну хитрість формування реальних суперпозицій комплексних розв'язків. Ми могли б спробувати просто взяти реальну частину метрики. Це дає g _xx = e ^−z cos\(\sqrt{3}\) z та g _yy = e ^{−z sin}\(\sqrt{3}\) z, і є незадовільним, оскільки метрика стає виродженою (має нульовий детермінант) при z =\(\frac{n \pi}{2 \sqrt{3}}\), де n - ціле число.

Виявляється, однак, що існує дуже схоже рішення, знайдене Петровим у 1962 році, ¹⁶, яке є реально цінним. Метрика Петрова, яка описує просторовийчас з циліндричною симетрією, є:

\[ds^{2} = - dr^{2} - e^{-2r} dz^{2} + e^{r} [2 \sin \sqrt{3} r\, d\phi\, dt - \cos \sqrt{3} r (d \phi^{2} - dt^{2})]\]

Відзначимо, що він має багато спільних особливостей зі складним коливальним розчином, який ми знайшли вище. Існують поперечні скорочення довжини, які розпадаються і коливаються точно так само. Наявність цього\(dφ\, dt\) терміна говорить нам про те, що це нестатичне, обертається рішення - саме те, що Ейнштейн і Борн мали на увазі у своєму прототиповому прикладі! Зазвичай ми отримуємо цей тип ефекту завдяки перетягуванню кадру якимось обертовим масивним тілом (див. Розділ 4.5), і рішення Петрова дійсно можна інтерпретувати як просторовий час, який існує у вакуумі на зовнішній стороні нескінченного, жорстко обертається циліндра «пилу» (див. Приклад 13).

Складна метрика Петрова може здатися найвіддаленішою річчю від рівномірного гравітаційного поля, але насправді мова йде про найближче, що загальна теорія відносності забезпечує до такого поля. Спочатку зауважимо, що метрика має вектори Killing\(\partial_{z}, \partial_{\phi}\)\(\partial_{r}\), і, отже, вона має принаймні три з чотирьох симетрій перекладу, які ми очікуємо від рівномірного поля. За аналогією з електромагнетизмом ми очікуємо, що ця симетрія буде відсутня в радіальному напрямку, оскільки за законом Гаусса електричне поле лінії заряду падає подібно\(\frac{1}{r}\). Але дивно, але метрика Петрова також рівномірна радіально. Можна дати четвертий вектор вбивства явно (це так\(\partial_{r} + z \partial_{z} + (\frac{1}{2})(\sqrt{3}t − \phi)\partial_{\phi} − (\frac{1}{2})(\sqrt{3}\phi + t)\partial_{t})\), але, мабуть, більш прозоро перевірити, що він являє собою поле постійної сили (задача 4).

Щоб зрозуміти цей дивовижний результат, нагадаємо, що в нашій спробі побудови декартової версії цієї метрики ми зіткнулися з проблемою, що метрика стала виродженою при z =\(\frac{n \pi}{2 \sqrt{3}}\). Наявність терміна d\(\phi\) dt перешкоджає цьому відбуватися в циліндричному варіанті Петрова; дві діагональні складові метрики можуть зникати при певних значеннях r, але наявність позадіагональної складової заважає визначнику йти в нуль. (Визначник фактично дорівнює −1 скрізь.) Те, що відбувається фізично, полягає в тому, що хоча маркування координат\(\phi\) і t передбачає час і азимутальний кут, ці дві координати насправді розглядаються повністю симетрично. При значеннях r, де коефіцієнт косинуса дорівнює 1, метрика є діагональною і має сигнатуру (t\(\phi\),, r, z) = (+, −, −, −), але коли косинус дорівнює −1, це стає (−, +, −, −), тож тепер\(\phi\) це часова координата. Ця досконала симетрія між\(\phi\) і t є крайнім прикладом перетягування кадру, і виробляється через спеціально обраної швидкості обертання пилового циліндра, така, що швидкість пилу на зовнішній поверхні рівно c (або наближається до неї).

Класично ми очікуємо, що тестова частинка, випущена досить близько до циліндра, буде втягнута гравітаційним притяганням і знищена при ударі, тоді як частинка, що виділяється далі, злетить через відцентрову силу, втеча і врешті-решт наближається до постійної швидкості. Жоден з них не був би чимось подібним до досвіду тестової частинки, випущеної в однорідному полі. Але розглянемо частку, випущену в спокої в обертовій рамці з радіусом r ₁, для якого cos\(\sqrt{3}\) r ₁ = 1, так що t є часовою координатою. Частка прискорюється (скажімо назовні), але в якийсь момент вона приходить до r ₂, де косинус дорівнює нулю, а\(\phi\) − t частина метрики має суто вигляд d\(\phi\) dt. У цьому місці ми можемо визначити локальні координати u =\(\phi\) − t і v =\(\phi\) + t, так що метрика залежить лише від du ² − dv ². Одна з координат, скажімо u, зараз час, як один. Оскільки наша частка матеріальна, її світова лінія повинна бути схожа на час, тому вона змітається вздовж у\(− \phi\) напрямку. Гібонс і Гілен показують, що частинка тепер повернеться всередину і продовжуватиметься назавжди, коливаючись назад і вперед між двома радіусами, при яких косинус зникає.

Закриті часові криві

Це коливання все ще не звучить як рух частинки в рівномірному полі, але відбувається ще одна дивна річ, як ми можемо бачити, взявши інший погляд на значення r, при якому косинус зникає. При такому значенні r побудуйте криву виду (t = константа, r = константа\(\phi\), z = константа). Це замкнута крива, а її належна довжина дорівнює нулю, тобто вона світлоподібна. Це порушує причинно-наслідковий зв'язок.

Фотон міг подорожувати цим шляхом і прибути до його вихідної точки одночасно, коли він був випущений. Щось подібне дивне відбувається з тестовою частинкою, описаною вище: тоді як вона, здається, падає іноді вгору, а іноді вниз, насправді вона завжди падає - але іноді вона досягає цього, падаючи під час руху назад у часі!

Хоча метрика Петова порушує причинно-наслідковий зв'язок, Гібонс і Гілен показали, що вона задовольняє гіпотезу про захист хронології: «У контексті порушення причинно-наслідкового зв'язку ми показали, що не можна створювати КТК [замкнуті часові криві], обертаючи циліндр за межі його критичної кутової швидкості шляхом зйомки. у частинках на часових або нульових кривих».

Ми маємо точний вакуумний розв'язок рівнянь поля Ейнштейна, що порушує причинно-наслідковий зв'язок. Це викликає клопіткі питання про логічну самоузгодженість загальної теорії відносності. Дуже читабельний і цікавий огляд цих питань наведено в заключній главі Кіпа Торна «Чорні діри та деформації часу: Епатажна спадщина Ейнштейна». У іграшковій моделі, побудованій студентами Торна, із залученням більярдної кулі та червоточини, виявилося, що завжди, здавалося, були самоузгоджені рішення рівнянь руху м'яча, але вони не були унікальними, і вони часто включали тривожні можливості, в яких м'яч повернувся в минуле і зіткнувся зі своїм більш раннім «я». Крім усього іншого, це, здається, призводить до порушення збереження маси-енергії, так як в систему не було закладено жодної маси для створення зайвих копій м'яча. Це було б прикладом того факту, що, як обговорюється в розділі 4.5, загальна теорія відносності не допускає глобальних законів збереження. Однак є і аргумент, що гирла червоточини змінюються в масі таким чином, щоб зберегти збереження енергії. ¹⁷

Посилання

¹⁴ Макс Борн, Теорія відносності Ейнштейна, 1920. У 1962 Dover видання, відповідний уривок знаходиться на стор. 320

¹⁶ Петров, в останніх подіях загальної теорії відносності, 1962, Пергамо, стор. 383. Презентацію, яка знаходиться у вільному доступі в Інтернеті, див. Гіббонс і Гілен, «Рішення Петрова та Кайгородова-Озсв'ат: простор як груповий колектор», arxiv.org/abs/0802.4082.

¹⁷ http://golem.ph.utexas.edu/string/ar...es/000550.html