Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.2: Сферична симетрія

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    77727

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Трохи більше роботи потрібно, якщо ми хочемо пов'язати існування векторів Killing з існуванням певної симетрії, такої як сферична симетрія. Коли ми говоримо про сферичну симетрію в контексті ньютонівської гравітації або рівнянь Максвелла, ми можемо сказати: «Поля залежать лише від»\(r\), неявно припускаючи, що існує\(r\) координата, яка має певне значення для даного вибору походження. Але координати в теорії відносності не гарантовано матимуть певної фізичної інтерпретації, наприклад відстані від певного походження. Походження може навіть не існувати як частина просторучасу, як у метриці Шварцшильда, яка має сингулярність в центрі. Інша можливість полягає в тому, що походження може бути не унікальним, як на евклідовій двосфері, подібній до земної поверхні, де коло, зосереджене на північному полюсі, також є колом, зосередженим на південному полюсі; це також може відбуватися в певних космологічних просторах, які описують всесвіт, який обертається навколо себе просторово.

    Тому ми визначаємо сферичну симетрію наступним чином. \(S\)Просторовий час сферично симетричний, якщо ми можемо записати його як об'єднання\(S = \cup s_{r,t}\) непересічних підмножин s r, t, де кожне s має структуру двосфери, а дійсні числа r і t не мають заздалегідь призначеної фізичної інтерпретації, але s r, t потрібно плавно змінюватися як функція їх. Під «має структуру двошарової сфери», ми маємо на увазі, що ніяке внутрішнє вимірювання не\(s\) дасть жодного результату, відмінного від результату, який ми отримали б на деяких двосферах. Двошарова сфера має лише два властиві властивості:

    1. він схожий на простір, тобто локально його геометрія приблизно така, як евклідова площина;
    2. має постійну позитивну кривизну.

    Якщо нам подобається, ми можемо вимагати, щоб параметр r був відповідним радіусом кривизни, в цьому випадку t є деякою часовою координатою.

    Щоб зв'язати це визначення з векторами вбивства, ми зауважимо, що умова 2 еквівалентна такій альтернативній умові: (2') Набір s повинен мати три вектори вбивства (які за умовою 1 обидва є космічними), і слід вибирати ці вектори вбивства таким чином, щоб алгебраїчно вони діяли однаково як ті, що побудовані явно в прикладі 4 в розділі 7.1. Як приклад такого алгебраїчного властивості, малюнок\(\PageIndex{1}\) показує, що обертання є некомутативними.

    Малюнок 7.2.1.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Виконання обертань в одному порядку дає один результат, 3, а зворотний порядок дає інший результат, 5.

    Приклад 7: Циліндр - це не сфера

    • Покажіть, що циліндр не має структури двохсфери.
    • Циліндр проходить умова 1. Це не вдається умова 2, оскільки його гаусова кривизна дорівнює нулю. Крім того, це не вдається умова 2', оскільки він має лише два незалежних вектори вбивства (приклад 3).

    Приклад 8: Площина не є сферою

    • Покажіть, що евклідова площина не має будови двохсфери.
    • Умова 2 порушується через те, що гаусова кривизна дорівнює нулю. Або, якщо ми хочемо, літак порушує 2' тому що\(\partial_{x}\) і\(\partial_{y}\) коммутіруют, але жоден з векторів вбивства 2-сфери коммутіруют.