6.E: Вакуумні рішення (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77607

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Покажіть, що в геометризованих одиницях потужність безрозмірна. Знайдіть еквівалент у ватах потужності, яка дорівнює 1 в геометричних одиницях.
Метрика координат$(\theta, \phi)$ на одиничній сфері дорівнює$ds^{2} = d \theta^{2} + \sin^{2} \theta d \phi^{2}$. (а) Показати, що існує особлива точка, в якій g ^ab →$\infty$. (b) Переконайтеся безпосередньо, що скалярна кривизна R =$R_{a}^{a}$ побудована на основі сліду тензора Річчі ніколи не є нескінченною. (c) Доведіть, що сингулярність є координатною сингулярністю.
(а) Космічні зонди в нашій Сонячній системі часто використовують маневр рогатки. У найпростішому випадку зонд розсіюється гравітаційно через кут 180 градусів планетою. Покажіть, що в якомусь іншому кадрі, такому як решта кадру сонця, в якій планета має швидкість u до вхідного зонда, маневр додає 2u до швидкості зонда. (б) Припустимо, що ми замінюємо планету чорною дірою, а космічний зонд - світловим променем. Чому це не прискорює промінь до швидкості більшої за c?
Спостерігач за межами горизонту подій чорної діри ніколи не може спостерігати за тестовою частинкою, що падає повз горизонту подій і пізніше потрапляє в сингулярність. Тому ми могли б задатися питанням, чи загальні прогнози відносності щодо інтер'єру чорної діри, і особливість зокрема, є навіть перевіреною науковою теорією. Однак спостерігач міг і сама потрапити в чорну діру. Тоді питання полягає в тому, чи досягне вона сингулярності протягом кінцевого належного часу; якщо так, то це можна спостерігати за нею. Мета даної задачі - довести, що це так, використовуючи прийоми розділу 6.2. Припустимо для простоти, що спостерігач починає в спокої далеко від чорної діри, і падає прямо всередину до неї. (а) У позначенні розділу 6.2, які значення E і L в цьому випадку? (b) Знайдіть функцію r (s), тобто радіальну координату Шварцшильда спостерігача як функцію її належного часу, і показати, що вона досягає сингулярності в кінцевому належному часі.
Крива, задана параметрично (cos ³ t, sin ³ t) називається астроїдом. Довжина дуги по цій кривій задається s = ($\frac{3}{2}$) sin ² t, а її кривизна k = − ($\frac{2}{3}$) csc ² t Обертаючи цей астроїд навколо осі x, ми формуємо поверхню обертання, яку можна описати координатами (t,$\phi$), де$\phi$ - кут обертання. (а) Знайдіть метрику на цій поверхні. (b) Визначте будь-які особливості та класифікуйте їх як координатні або внутрішні особливості.
(a) Розділ 3.5 дав метрику плоского простору в обертових полярних координатах, $$ds^ {2} = (1 -\ омега^ {2} r^ {2}) dt^ {2} - dr^ {2} d\ theta'^ {2} - 2\ omega r^ {2} d\ theta' dt\ lDotP$Визначити два значення r при яких виникають особливості, і класифікувати їх як координатні або некоординатні особливості.
(б) Виявлено, що відповідною просторовою метрикою є $$ds^ {2} = - dr^ {2} -\ frac {r^ {2}} {1 -\ omega^ {2}} d\ theta'^ {2}\ lDotP$$Визначити два значення r, при яких виникають особливості, і класифікувати їх як координатні або некоординатні особливості.
(c) Розглянемо наступний аргумент, який призначений для надання відповіді на частину b без будь-яких обчислень. У двох вимірах існує лише одна міра кривизни, яка еквівалентна (аж до константи пропорційності) гаусової кривизни. Гауссова кривизна пропорційна кутовому$\epsilon$ дефіциту трикутника. Оскільки кутовий дефіцит трикутника в просторі з негативною кривизною задовольняє нерівність$− \pi < \epsilon < 0$, ми робимо висновок, що гаусова кривизна ніколи не може бути нескінченною. Оскільки в двовимірному просторі є лише одна міра кривизни, це означає, що некоординатної сингулярності немає. Чи правильний цей аргумент, і чи відповідає заявлений результат вашим відповідям на частину b?
Першою експериментальною перевіркою гравітаційних червоних зрушень стало вимірювання в 1925 році В.С.Адамсом спектра світла, що випромінюється з поверхні білої карликової зірки Сіріуса Б. Сіріуса Б., має масу 0,98М _$\odot$і радіус 5,9 × 10 ⁶ м. знайти червоне зсув.
Показати, що, як стверджується в розділі 6.3, застосування зміни координат t'= t−2m ln (r−2m) до метрики Шварцшильда призводить до метрики, для якої g _rr та g _{t't _'ніколи не} вибухають, але що g ^t't' вибухає.
Використовуйте геодезичне рівняння, щоб показати, що у випадку кругової орбіти в метриці Шварцшильда$\frac{d^{2} t}{ds^{2}}$ = 0. Поясніть, чому це має сенс.
Переконайтеся прямим розрахунком, як стверджується в розділі 6.4, що тензор Рімана зникає для метрики ds ² = −t dt ² − d$\ell^{2}$, де d$\ell^{2}$ = dx ² + dy ² + dz ².
Припустимо, хтось пропонує, що рівняння вакуумного поля загальної відносності не R _ab = 0, а скоріше R _ab = k, де k - певна константа, яка описує вроджену тенденцію простору-часу мати приливні спотворення. Поясніть, чому це не гарна пропозиція.
Доведіть, як стверджується в розділі 6.3, що в 2+1 вимірах, з зникаючої космологічної постійної, немає нетривіальної метрики Шварцшильда.
У розділі 6.2 я стверджував, що немає способу визначити операцію зміни часу в загальній теорії відносності, щоб вона застосовувалася до всіх просторових часів. Чому ми не можемо визначити його, вибравши якусь довільну поверхню, подібну до простору, яка охоплює весь Всесвіт, перевертаючи швидкість кожної частинки на цій поверхні та розвиваючи нову версію простору-часу назад і вперед від цієї поверхні за допомогою рівнянь поля?