6.3: Метрика Шварцшильда (частина 2)

Геодезичний ефект

Як і обіцяли в розділі 5.5, тепер ми розраховуємо геодезичний вплив на гравітаційний зонд B, включаючи всі коефіцієнти ніклінгу 3 і\(\pi\). Щоб фізика була зрозумілою, підходимо до фактичного розрахунку через ряд розминки.

Плоский простір

В якості першого розминки розглянемо два просторових виміру, представлені евклідовими полярними координатами (r,\(\phi\)). Паралельний транспорт кутового моменту гіроскопа навколо кола постійної r дає

\[\begin{split} \nabla_{\phi} L^{\phi} &= 0 \\ \nabla_{\phi} L^{r} &= 0 \ldotp \end{split}\]

Обчисливши коваріантні похідні, ми маємо

\[\begin{split} 0 &= \partial_{\phi} L^{\phi} + \Gamma^{\phi}_{\phi r} L^{r} \\ 0 &= \partial_{\phi} L^{r} + \Gamma^{r}_{\phi \phi} L^{\phi} \ldotp \end{split}\]

Символами Крістоффеля є\(\Gamma^{\phi}_{\phi r} = \frac{1}{r}\) і\(\Gamma^{r}_{\phi \phi}\) = −r. Все це виглядає непотрібно складним, оскільки L ^\(\phi\)і L ^r виражаються в різних одиницях. По суті вектор залишається незмінним, але ми виражаємо його з точки зору базисних векторів в r і\(\phi\) напрямках, які обертаються. Щоб побачити це більш прозоро, нехай r = 1, і запишіть P для L ^\(\phi\)і Q для L ^r, так що

\[\begin{split} P' &= -Q \\ Q' &= P, \end{split}\]

які мають такі рішення, як P = sin\(\phi\), Q = cos\(\phi\). Для кожної орбіти (\(\pi\)зміна 2π в\(\phi\)) базисні вектори обертаються на 2\(\phi\), тому вектор кутового моменту знову має ті ж складові. Іншими словами, це насправді не змінилося взагалі.

Лише просторова кривизна

Розрахунок плоского простору вище відрізняється двома способами від фактичного результату для орбітального гіроскопа: (1) він використовує плоску просторову геометрію, і (2) це чисто просторовий. Чисто просторовий характер обчислення проявляється в тому, що в результаті немає нічого, що стосується того, як швидко ми перемістили вектор по колу. Ми знаємо, що якщо ми збиваємо гіроскоп навколо по колу на кінці мотузки, буде прецесія Томаса (розділ 2.5), яка залежить від швидкості.

Під час наступної розминки давайте викривити просторову геометрію, але продовжуємо опускати часовий вимір. Використовуючи метрику Шварцшильда, ми замінюємо символ Крістоффеля з плоским простором\(\Gamma^{r}_{\phi \phi}\) = −r на −r+2m. Диференціальні рівняння для складових вектора L, знову оцінені при r = 1 для зручності, тепер

\[\begin{split} P' &= -Q \\ Q' &= (1 - \epsilon) P, \end{split}\]

де\(\epsilon\) = 2м. Розчини обертаються з частотою\(\omega' = \sqrt{1 − \epsilon}\). Результатом є те, що коли базисні вектори обертаються на 2\(\pi\), компоненти більше не повертаються до своїх початкових значень; вони відстають на коефіцієнт\(\sqrt{1 − \epsilon}\) ≈ 1 − m, повертаючи множники r назад, це 1 −\(\frac{m}{r}\). Відхилення від одиниці показує, що після одного повного обороту вектор L вже не має абсолютно однакових компонентів, виражених через (r,\(\phi\)) базисних векторів.

Щоб зрозуміти ознаку ефекту, уявімо обертання проти годинникової стрілки. The (r,\(\phi\)) обертаються проти годинникової стрілки, тому відносно них вектор L обертається за годинниковою стрілкою. Після одного обороту він не обертався за годинниковою стрілкою на повні 2\(\pi\), тому його орієнтація тепер трохи проти годинникової стрілки порівняно з тим, що вона була. Таким чином, внесок в геодезичний ефект, що виникає внаслідок просторової кривизни, знаходиться в тому ж напрямку, що і орбіта.

Порівнюючи з фактичними результатами від Gravity Probe B, ми бачимо, що напрямок ефекту є правильним. Величина, однак, вимкнена. Прецесія, накопичена за n періодів\(\frac{2 \pi nm}{r}\), є, або, в одиницях SI,\(\frac{2 \pi nGm}{c^{2} r}\). Використовуючи дані з розділу 2.5, знаходимо\(\Delta \theta\) = 2 × 10 ⁻⁵ радіанів, що занадто мало в порівнянні з даними, показаними на малюнку 5.5.2.

2+1 Розміри

Щоб правильно відтворити експериментальні результати, нам потрібно включити часовий вимір. Вектор кутового моменту тепер має складові (L ^\(\phi\), L ^r, L ^t). Фізична інтерпретація компонента L ^t на даний момент незрозуміла; ми повернемося до цього питання пізніше.

Записуючи загальні похідні трьох компонентів, і відзначаючи\(\frac{dt}{d \phi}\) як\(\omega^{−1}\), ми маємо

\[\frac{dL^{\phi}}{d \phi} = \partial_{\phi} L^{\phi} + \omega^{-1} \partial_{t} L^{\phi}\]

\[\frac{dL^{r}}{d \phi} = \partial_{\phi} L^{r} + \omega^{-1} \partial_{t} L^{r}\]

\[\frac{dL^{t}}{d \phi} = \partial_{\phi} L^{t} + \omega^{-1} \partial_{t} L^{t}\]

Встановлення коваріантних похідних, рівних нулю, дає

\[\begin{split} 0 &= \partial_{\phi} L^{\phi} + \Gamma^{\phi}_{\phi r} L^{r} \\ 0 &= \partial_{\phi} L^{r} + \Gamma^{r}_{\phi \phi} L^{\phi} \\ 0 &= \partial_{t} L^{r} + \Gamma^{r}_{tt} L^{t} \\ 0 &= \partial_{t} L^{t} + \Gamma^{t}_{tr} L^{r} \ldotp \end{split}\]

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Самоперевірка: Існує не лише чотири, а шість коваріантних похідних, які в принципі могли відбутися, і в цих шести коваріантних похідних ми могли б мати загалом 18 символів Крістоффеля. З них 18 тільки чотири не зникають. Поясніть на основі аргументів симетрії, чому наступні символи Крістоффеля повинні зникнути:\(\Gamma^{\phi}_{\phi t}, \Gamma^{t}_{tt}\).

Збираючи все це разом у вигляді матриці, ми маємо L' = ML, де

\[M = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 - \epsilon & 0 & - \frac{\epsilon (1 - \epsilon)}{2 \omega} \\ 0 & - \frac{\epsilon}{2 \omega (1 - \epsilon)} & 0 \end{pmatrix} \ldotp\]

Розв'язки цього диференціального рівняння коливаються подібно e ^{i\(\Omega\) t}, де i\(\Omega\) - власне значення матриці.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Самоперевірка: Частота в чисто просторовому розрахунку була знайдена шляхом огляду. Перевірте результат, застосувавши техніку власних значень до відповідної підматриці 2 × 2.

У найнижчому порядку ми можемо використовувати ньютонівське відношення\(\omega^{2} r = \frac{Gm}{r}\) та знехтувати умовами порядку\(\epsilon^{2}\), так що два нові недіагональні матричні елементи обидва наближені як\(\sqrt{\frac{\epsilon}{2}}\). Три результуючі власні частоти дорівнюють нулю і\(\Omega\) = ± [1 −\(\frac{3}{2}\)) м/р].

Наявність загадкового рішення нульової частоти тепер можна зрозуміти, згадавши попередню таємницю фізичної інтерпретації L ^t компонента кутового імпульсу. Наші результати виходять з розрахунку паралельного транспорту, а паралельний транспорт є чисто геометричним процесом, тому він дає однаковий результат незалежно від фізичної природи чотиривекторного. Припустимо, що ми замість цього вибрали швидкість чотири вектора в якості нашої морської свинки. Визначення геодезичного полягає в тому, що він паралельно переносить власний тангенсний вектор, тому вектор швидкості повинен залишатися постійним. Якщо оглянути власний вектор, відповідний власній частоті нульової частоти, то знайдемо часоподібний вектор, який паралельний швидкості чотири-вектору. У нашому 2+1-вимірному просторі інші два власні вектори, які є космічними, охоплюють підпростір космічних векторів, які є тими, які фізично можуть бути реалізовані як кутовий момент гіроскопа. Ці два власні вектори, які змінюються як e ^{± i\(\Omega\)}, можуть бути накладені для створення реальних простороподібних розв'язків, які відповідають початковим умовам, і вони затримують обертання базисних векторів на\(\Delta \Omega\) =\(\frac{3}{2}\) mr. Це більше, ніж чисто просторовий результат в рази\(\frac{3}{2}\). Отриманий кут прецесії, над n орбітами гравітаційного зонда B, становить\(\frac{3 \pi nGm}{c^{2} r}\) = 3 × 10 ⁻⁵ радіанів, що чудово узгоджується з експериментом.

У літературі можна побачити, мабуть, суперечливі твердження про те, чи відбувається прецесія Томаса для супутника: «Прецесія Томаса вступає в гру для гіроскопа на поверхні Землі..., але не для гіроскопа у вільно рухається супутнику». ⁶ Але: «Загальний ефект, геометричний і Томас, дає відому прецесію Фоккер-де Ситтера в тому ж сенсі\(\frac{3 \pi m}{r}\), що і орбіта». ⁷ Друге твердження виникає з віднімання чисто просторового результату з 2+1-вимірного результату і зауваження, що абсолютне значення цієї різниці таке ж, як прецесія Томаса, яка була б отримана, якби гіроскоп був закручений в кінці мотузки. На мою думку, це неприродний спосіб погляду на фізику з двох причин. (1) Знаки не збігаються, тому змушений сказати, що прецесія Томаса має різний знак залежно від того, чи є обертання результатом гравітаційних чи негравітаційних сил. (2) Посилаючись на спостереження, це явно штучно обробляти просторову кривизну та ефекти Томаса окремо, оскільки жоден з них не може бути від'єднаний від іншого, змінюючи величини n, m та r Для більш детальної дискусії див. tinyurl.com/me3qf8o.

Орбіти

Головною подією Ньютона Principia Mathematica є його доказ законів Кеплера. Аналогічно, перше важливе застосування Ейнштейна в загальній теорії відносності, яке він розпочав ще до того, як він навіть мав точну форму метрики Шварцшильда в руці, полягало в тому, щоб знайти неньютонівську поведінку планети Меркурій. Планети відхиляються від кеплерівської поведінки з різних ньютонівських причин, і, зокрема, існує довгий список причин, чому велика вісь еліптичної орбіти планети, як очікується, поступово обертається. Однак, коли все це було враховано, залишилося невідповідність приблизно 40 секунд дуги на століття, або 6,6 × 10 ⁻⁷ радіанів на орбіту. Напрямок ефекту був у прямому напрямку, в тому сенсі, що якщо ми розглядаємо орбіту Меркурія зверху екліптики, щоб вона оберталася проти годинникової стрілки, то поступове обертання великої осі також відбувається проти годинникової стрілки.

В якості дуже грубого ручного хвилястого пояснення цього ефекту розгляньте просторову частину кривизни простору-часу, що оточує сонце. Ця просторова кривизна є позитивною, тому окружність кола менше, ніж у 2\(\pi\) рази більше радіуса. Ми могли б уявити, що це призведе до того, що Меркурій повернеться до раніше відвідуваного кутового положення, перш ніж він встигне завершити свій ньютонівський цикл радіального руху. Однак такі аргументи, як цей, не слід сприймати занадто серйозно. Необхідний математичний аналіз.

Виходячи з прикладів у розділі 5.5, ми очікуємо, що ефект буде\(\frac{m}{r}\) порядковим, де m - маса Сонця, а r - радіус орбіти Меркурія. Це працює, щоб бути 2,5 × 10 ⁻⁸, що менше спостережуваної прецесії в рази близько 26.

Консервовані кількості

Якби Ейнштейн мав комп'ютер на своєму столі, він, ймовірно, просто інтегрував би рух чисельно, використовуючи геодезичне рівняння. Але можна спростити проблему досить, щоб атакувати її олівцем і папером, якщо ми зможемо знайти відповідні збережені величини руху. Нерелятивістично це енергія і кутовий імпульс.

Розглянемо скелю, що падає прямо до сонця. Метрика Шварцшильда має особливу форму

\[ds^{2} = h(r) dt^{2} - k(r) dr^{2} - \ldots\]

Траєкторія скелі є геодезичною, тому вона екстремізує належний час s між будь-якими двома подіями, зафіксованими в просторовому часі, так само, як шматок струни, розтягнутий по вигнутій поверхні, екстремує її довжину. Нехай скеля проходить через відстань r ₁ в координатний час t ₁, а потім через r ₂ в t ₂. (Вони дійсно повинні бути позначені як\(\Delta\) r ₁,.. або dr ₁,.., але ми уникаємо\(\Delta\) 's або d' s для зручності.) Наближаючи геодезичні за допомогою двох відрізків лінії, належний час

\[\begin{split} s &= s_{1} + s_{2} \\ &= \sqrt{h_{1} t_{1}^{2} - k_{1} r^{2}_{1}} + \sqrt{h_{2} t_{2}^{2} - k_{2} r^{2}_{2}} \\ &= \sqrt{h_{1} t_{1}^{2} - k_{1} r^{2}_{1}} + \sqrt{h_{2} (T - t_{1})^{2} - k_{2} r^{2}_{2}}, \end{split}\]

де T = t ₁ + t ₂ закріплюється. Якщо це потрібно екстремізувати щодо t ₁, то\(\frac{ds}{dt_{1}}\) = 0, що призводить до

\[0 = \frac{h_{1} t_{1}}{s_{1}} - \frac{h_{2} t_{2}}{s_{2}},\]

що означає, що

\[h \frac{dt}{ds} = g_{tt} \frac{dx^{t}}{ds} = \frac{dx_{t}}{ds}\]

є константою руху. За винятком нерелевантного множника m, це те саме, що p _t, часова складова вектора коваріантного імпульсу. Ми вже бачили, що в спеціальній відносності часова складова імпульсу чотири-вектора трактується як масова енергія Е, а величина p _t має тут подібну інтерпретацію. Відзначимо, що особливого припущення про форму функцій h і k. крім того, виявляється, що припущення про чисто радіальному русі було зайвим. Все, що дійсно мало значення, це те, що h і k були незалежні від t, тому ми матимемо подібну збережену величину p ^\(\mu\)кожного разу, коли компоненти метрики, виражені в певній системі координат, не залежать від x ^\(\mu\). (Це узагальнено в розділі 7.1.) Зокрема, компоненти метрики Шварцшильда не залежать від а\(\phi\) також t, тому ми маємо другу збережену величину p _\(\phi\), яка інтерпретується як кутовий момент.

Малюнок\(\PageIndex{2}\) - Доказ того, що якщо компоненти метрики не залежать від t, геодезична частина тесту зберігає p _t.

Записуючи ці дві величини явно з точки зору контраваріантних координат, у випадку простору-часу Шварцшильда, ми маємо

\[E = \left(1 - \dfrac{2m}{r}\right) \frac{dt}{ds}\]

і

\[L = r^{2} \frac{d \phi}{ds}\]

для збереженої енергії на одиницю маси і моменту моменту на одиницю маси.

При інтерпретації енергії на одиницю маси Е важливо розуміти, що в загально-релятивістському контексті не існує корисного способу поділу маси спокою, кінетичної енергії та потенційної енергії на окремі терміни, як ми могли б у ньютонівській механіці. E включає внески від усіх цих, і виявляється меншим, ніж внесок через масу решти (тобто менше 1) для планети, що обертається навколо Сонця. Виявляється, Е можна трактувати як міру додаткової гравітаційної маси, якою володіє Сонячна система, як вимірюється далеким спостерігачем, через присутність планети. Тоді має сенс, що Е зберігається; за аналогією з ньютонівською механікою, ми очікуємо, що будь-які гравітаційні ефекти, які залежали від детального розташування мас всередині Сонячної системи, зменшаться\(\frac{1}{r^{4}}\), як, стаючи незначними на великих відстанях і залишаючи постійне поле, що змінюється як \(\frac{1}{r^{2}}\).

Один із способів побачити, що не має сенсу розділяти E на частини, полягає в тому, що хоча рівняння, наведене вище для E, включає певний набір координат, E насправді може бути виражений як скаляр, інваріантний Лоренц (див. Розділ 7.1). Ця властивість робить Е особливо цікавим і корисним (і відрізняється від енергії в ньютонівській механіці, яка консервована, але не незалежна від кадру). З іншого боку, кінетична і потенційна енергії залежать від швидкості і положення. Вони повністю залежать від системи координат, і немає нічого особливого фізично в системі координат, яку ми тут використовували. Припустимо, частка падає прямо на землю, а космонавт в космічному костюмі вільно падає разом з нею і стежить за її прогресом. Астронавт вважає, що кінетична енергія частинки дорівнює нулю, але інші спостерігачі кажуть, що вона ненульова, тому це явно не скаляр Лоренца. І припустимо, космонавт наполягає на визначенні потенційної енергії, щоб йти разом з цією кінетичною енергією. Потенційна енергія повинна зменшуватися, оскільки частка наближається до землі, але тоді немає ніякого способу, щоб сума кінетичної та потенційної енергій була постійною.

Перигелій Аванс

Для зручності нехай маса орбітальної породи дорівнює 1, тоді як m позначає масу гравітаційного тіла.

Одиниця маси породи - це третя збережена величина, і оскільки величина вектора імпульсу дорівнює квадрату маси, ми маємо для орбіти в площині\(\theta = \frac{\pi}{2}\),

\[\begin{split} 1 &= g^{tt} p_{t}^{2} - g^{rr} p^{2}_{r} - g^{\phi \phi} p_{\phi}^{2} \\ &= g^{tt} p_{t}^{2} g_{rr} (p^{r})^{2} - g^{\phi \phi} p_{\phi}^{2} \\ &= \frac{1}{1 - \frac{2m}{r}} E^{2} - \frac{1}{1 - \frac{2m}{r}} \left(\dfrac{dr}{ds}\right)^{2} - \frac{1}{r^{2}} L^{2} \ldotp \end{split}\]

Переставляючи терміни і\(\dot{r}\) пишучи для\(\frac{dr}{ds}\), це стає

\[\dot{r}^{2} = E^{2} - \left(1 - \dfrac{2m}{r}\right) \left(d\frac{1 + L^{2}}{r^{2}}\right)\]

або

\[\dot{r}^{2} = E^{2} - U^{2}\]

де

\[U^{2} = \left(1 - \frac{2m}{r}\right) \left(1 + \dfrac{L^{2}}{r^{2}}\right) \ldotp\]

У полі Шварцшильда існує різноманітне і дивне сімейство орбіт, включаючи химерні траєкторії ножового краю, які приймають кілька майже кругових поворотів, перш ніж раптово злетіти. Ми звертаємо нашу увагу натомість на випадок орбіти, такої як Меркурій, яка майже ньютонівська і майже кругова.

Нерелятивістично кругова орбіта має радіус\(r = \frac{L^{2}}{m}\) і період\(T = \frac{2 \pi L^{3}}{m^{2}}\).

Релятивістично кругова орбіта виникає, коли є лише один поворотний момент, при якому\(\dot{r}\) = 0. Для цього потрібно, щоб Е ² дорівнювало мінімальному значенню U ², яке відбувається при

\[\begin{split} r &= \frac{L^{2}}{2m} \left(1 + \sqrt{1 - \dfrac{12m^{2}}{L^{2}}}\right) \\ &\approx \frac{L^{2}}{m} (1 - \epsilon), \end{split}\]

де\(\epsilon = 3(\frac{m}{L})^{2}\). Планета на майже круговій орбіті коливається між перигелієм і афелієм з періодом, який залежить від кривизни U ² при її мінімумі. У нас є

\[\begin{split} k &= \frac{d^{2} (U^{2})}{dr^{2}} \\ &= \frac{d^{2}}{dr^{2}} \left(1 - \dfrac{2m}{r} + \dfrac{L^{2}}{r^{2}} - \dfrac{2mL^{2}}{r^{3}}\right) \\ &= - \frac{4m}{r^{3}} + \frac{6L^{2}}{r^{4}} - \frac{24 mL^{2}}{r^{5}} \\ &= 2L^{-6} m^{4} (1 + 2 \epsilon) \end{split}\]

Період коливань дорівнює

\[\begin{split} \Delta s_{osc} &= 2 \pi \sqrt{\frac{2}{k}} \\ &= 2 \pi L^{3} m^{-2} (1 - 2 \epsilon) \ldotp \end{split}\]

Період азимутального руху дорівнює

\[\begin{split} \Delta s_{az} &= \frac{2 \pi r^{2}}{L} \\ &= 2 \pi L^{3} m^{-2} (1 - 2 \epsilon) \ldotp \end{split}\]

Періоди трохи неузгоджені через релятивістських термінів корекції. Період радіальних коливань довший, так що, як очікувалося, зсув перигелія знаходиться в прямому напрямку. Невідповідність дорівнює\(\epsilon \Delta\) s, і через нього кожна орбіта обертає велику вісь на кут\(2 \pi \epsilon = 6 \pi (\frac{m}{L})^{2} = \frac{6 \pi m}{r}\). Підключивши дані для Меркурія, отримаємо 5,8 × 10 ⁻⁷ радіанів на орбіту, що узгоджується зі спостережуваним значенням приблизно в межах 10%. Усунення деяких наближень, які ми зробили, приносить результати, узгоджені з експериментальними смугами помилок, і Ейнштейн нагадав, що коли розрахунок вийшов правильним, «протягом декількох днів я був поруч із собою з радісним хвилюванням».

Були зроблені подальші спроби покращити точність цього історично важливого тесту загальної теорії відносності. Радар тепер дає найбільш точні орбітальні дані для Меркурія. На рівні приблизно однієї частини на тисячу, однак, ефект повзає через залитість сонця, яке важко точно виміряти.

У 1974 році астрономи Дж.Х. Тейлор і Р.А. Халс з Прінстона, працюючи на радіотелескопі Аресібо, виявили двійкову зоряну систему, членами якої є обидві нейтронні зірки. Виявлення системи стало можливим тому, що одна з нейтронних зірок - це пульсар: нейтронна зірка, яка випромінює сильний радіоімпульс у напрямку землі один раз за період обертання. Орбіта дуже еліптична, а мінімальний поділ між двома зірками дуже малий, приблизно такий же, як і радіус нашого Сонця. Як тому, що r невеликий, так і тому, що період короткий (близько 8 годин), швидкість авансу перигелію за одиницю часу дуже велика, близько 4,2 градуса на рік. Систему дуже детально порівнювали з прогнозами загальної відносності8, даючи надзвичайно гарну згоду, і в результаті астрономи були досить впевнені, щоб міркувати у зворотному напрямку та зробити висновок про властивості системи, такі як її загальна маса, із загальнорелятивістського аналізу. Орбіта системи загниває через випромінювання енергії у вигляді гравітаційних хвиль, які передбачають існування теорії відносності.

Відхилення світла

Як обговорювалося в розділі 5.5, одним з перших випробувань загальної теорії відносності було вимірювання Еддінгтона відхилення променів світла гравітаційним полем сонця. Прогин, виміряний Еддінгтоном, становив 1,6 секунди дуги. Для світлового променя, який пасе поверхню сонця, єдиними фізично важливими параметрами є маса Сонця m і радіус r. так як прогин безроздільний, він може залежати тільки від того\(\frac{m}{r}\), безодиничне відношення маси Сонця до його радіусу. Виражається в одиницях СІ\(\frac{Gm}{c^{2} r}\), це є, яке виходить приблизно 10 ⁻⁶. Грубо кажучи, тоді ми очікуємо, що порядок ефекту буде приблизно таким великим, і дійсно 10 ⁻⁶ радіанів виявляються в тому ж кульковому парку, що і секунда дуги. Аналогічну оцінку ми отримуємо в ньютонівській фізиці, розглядаючи фотон як (масивну) частинку, що рухається зі швидкістю c.

Розрахувати точне значення прогину можна за допомогою методів, дуже схожих на ті, які використовувалися для визначення перигелію випередження від раніше. Однак деякі деталі довелося б змінити. Наприклад, більше неможливо параметризувати траєкторію за допомогою належного часу s, оскільки світловий промінь має ds = 0; ми повинні використовувати афінний параметр. Давайте замість цього використаємо приклад числового методу розв'язання геодезичного рівняння, вперше продемонстрованого в розділі 5.9. Змінюючи нашу попередню програму, ми маємо наступне:

У рядку 14 приймаємо масу в 1000 разів більше маси сонця. Це допомагає зробити прогин простіше точно розрахувати, не стикаючись з проблемами з похибками округлення. Лінії 17-25 встановлюють початкові умови, щоб бути в точці найближчого наближення, так як фотон пасе сонце. Це простіше налаштувати, ніж початкові умови, в яких фотон наближається здалеку. Через це обчислений програмою кут відхилення скорочується навпіл. Поєднуючи коефіцієнти 1000 з половиною, кінцевий результат від програми слід інтерпретувати як 500 разів більше фактичного кута відхилення.

Результатом є те, що кут відхилення прогнозується рівним 870 секунд дуги. Як перевірку, ми можемо знову запустити програму з m = 0; результатом є відхилення −8 секунд, що є мірою накопиченої помилки через округлення та кінцевого приросту, що використовується для\(\lambda\).

Діливши на 500, ми виявимо, що передбачуваний кут відхилення дорівнює 1,74 секунди, що, виражене в радіанах, рівно\(\frac{4Gm}{c^{2} r}\). Безодиничний коефіцієнт 4 насправді є правильним результатом у випадку малих прогинів, тобто для\(\frac{m}{r}\) << 1.

Хоча числова техніка має недолік, що вона не дозволяє нам безпосередньо довести хорошу формулу, вона також має деякі переваги. По-перше, ми можемо використовувати його для дослідження випадків, для яких наближення\(\frac{m}{r}\) << 1 не вдається. Для\(\frac{m}{r}\) = 0,3 числовий прийом дає відхилення 222 градуси, тоді як слабкопольове наближення\(\frac{4Gm}{c^{2} r}\) дає лише 69 градусів. Тут відбувається те, що ми все ближче і ближче до горизонту подій чорної діри. Чорні діри - це тема розділу 6.3, але це повинно бути інтуїтивно розумним, що щось дико нелінійне має статися, коли ми наближаємось до точки, де світло навіть не зможе втекти.

Точність оригінального тесту Еддінгтона становила лише близько ± 30%, і ніколи не була значно покращена за допомогою астрономії видимого світла. Кращою методикою є радіоастрономія, яка дозволяє проводити вимірювання, не чекаючи затемнення. Потрібно просто чекати, поки сонце пройде перед сильним, компактним джерелом радіо, таким як квазар. Ці методи тепер перевірили відхилення світла, передбачене загальною відносністю, до відносної точності близько 10 ⁻⁵. ⁹

Посилання

⁶ Міснер, Торн і Уілер, Гравітація, стор. 1118

⁷ Ріндлер, Суттєва відносність, 1969, стор. 141

⁹ Оглядову статтю на цю тему див. Кліффорд Уілл, «Протистояння між загальною відносністю та експериментом», relativity.livingreviews.org/... es/lrr-2006-3/.