6.1: Горизонти подій
- Page ID
- 77566
Один, здавалося б, тривіальний спосіб генерувати розв'язки рівнянь поля у вакуумі - це просто почати з плоского лоренціанського простору-часу і зробити зміну координат. Це може здатися безглуздим, оскільки це просто дало б новий опис (і, ймовірно, менш зручний і описовий) того ж старого, нудного, плоского просторучасу. Виявляється, однак, що деякі дуже цікаві речі можуть статися, коли ми це зробимо.
Горизонт подій прискореного спостерігача
Розглянемо рівномірно прискореного спостерігача, описаного в прикладі 4 і прикладі 19. Згадуючи ці попередні результати, ми маємо для рівняння руху судна в інерційній рамці
\[x = \frac{1}{a} (\sqrt{1 + a^{2} t^{2}} - 1),\]
і для метрики в рамі корабля
\[\begin{align} g'_{t' t'} &= (1 + ax')^{2} \\ g'_{x' x'} &= -1 \ldotp \end{align}\]
Оскільки ця метрика була виведена зміною координат з метрики плоского простору, а кривизна Річчі є власною властивістю, ми очікуємо, що ця також має нульову кривизну Річчі. Це просто перевірити. Незникаючі символи Крістоффеля є
\[\Gamma^{t'}_{x' t'} = \frac{a}{1 + ax'} \]
і
\[\Gamma^{x'}_{t' t'} = a (1 + ax') \ldotp\]
Єдині елементи тензора Рімана, які виглядають так, ніби вони можуть бути ненульовими\(R^{x'}_{t'x't'}\), є\(R^{t'}_{t'x'x'}\) і, але обидва вони насправді зникають.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Самостійна перевірка: Перевірте ці факти.
Ця, здавалося б, рутинна вправа зараз веде нас на якусь дуже цікаву територію. Ще в розділі 1.1, ми припустили, що не всі події можуть бути впорядковані за часом: тобто, що там можуть існувати події в просторові часу 1 і 2 такі, що 1 не може викликати 2, але не може 2 викликати 1. Зараз у нас є достатньо математичних інструментів, щоб побачити, що це дійсно так.
Ми спостерігаємо, що x (t) наближається до асимптоти\(x = \frac{t−1}{a}\). Ця асимптота має нахил 1, тому її можна інтерпретувати як світову лінію фотона, який переслідує корабель, але ніколи не наздоганяє його. Будь-яка подія зліва від цієї лінії ніколи не може мати причинно-наслідкового зв'язку з будь-якою подією на світовій лінії корабля. Простір часу, як бачив спостерігач на кораблі, був розділений завісою на дві причинно роз'єднані частини. Ця межа називається горизонтом подій. Його існування відносно світової лінії конкретного спостерігача. Спостерігач, який не прискорюється разом з кораблем, вважає, що горизонт подій існує. Хоча цей конкретний приклад нескінченно прискорюється космічного корабля має деякі фізично неправдоподібні особливості (наприклад, корабель повинен закінчитися з палива коли-небудь), горизонти подій є реальними речами. Зокрема, ми побачимо в розділі 6.3, що чорні діри мають горизонти подій.
Інтерпретуючи все в координатах (t', x '), прив'язаних до корабля, компонент метрики g' t't' зникає на\(x' = − \frac{1}{a}\). Спостерігач на борту корабля міркує наступним чином. Якщо я починаю з головного початку\(\frac{1}{a}\) відносно якоїсь події, то часова частина метрики в цій події зникає. Якщо подія позначає випромінювання матеріальної частинки, то немає можливості, щоб світова лінія цієї частинки мала\(ds^2 > \) 0. Якби я виявив частинку, що випромінюється на цій події, це порушило б закони фізики, оскільки матеріальні частинки повинні мати\(ds^2 > 0\), тому я приходжу до висновку, що ніколи не буду спостерігати таку частинку. Оскільки все це стосується будь-якої матеріальної частинки, незалежно від її маси m, вона також повинна застосовуватися в межі\(m → 0\), тобто до фотонів та інших безмасових частинок. Тому я ніколи не можу отримати частку, що випромінюється від цієї події, і насправді здається, що ця подія або будь-яка інша подія за горизонтом подій не може вплинути на мене. У моїй системі відліку здається, що світлові конуси біля горизонту перекидаються настільки далеко, що їх майбутні світлові конуси повністю лежать у напрямку від мене.
Ми вже бачили в прикладі 14, що наївний ньютонівський аргумент передбачає існування чорних дір; якщо тіло досить компактне, світло не може втекти з нього. У релятивістському лікуванні це слід описати як горизонт подій.
Інформація Парадокс
Існування горизонтів подій в цілому відносності має глибокі наслідки, і, зокрема, допомагає пояснити, чому так важко примирити загальну відносність з квантовою механікою, незважаючи на майже століття доблесних спроб. Квантова механіка має властивість під назвою унітарність. Математично це говорить про те, що якщо стан квантової механічної системи задано в певний час у вигляді вектора, то його стан в якийсь момент в майбутньому можна передбачити, застосувавши до цього вектора унітарну матрицю. Унітарна матриця - це узагальнення до комплексних чисел звичайного поняття ортогональної матриці, і по суті вона якраз являє собою зміну базису, в якій базисні вектори мають одиничну довжину і перпендикулярні один одному.
Щоб побачити, що це означає фізично, розглянемо наступні неприклади. Матриця
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\]
не є унітарним, оскільки його рядки та стовпці не є ортогональними векторами з одиничною довжиною. Якби ця матриця представляла часову еволюцію квантової механічної системи, то її сенс полягав би в тому, що будь-яка частинка в стані № 1 залишиться в спокої, але будь-яка частинка у стані 2 зникне. Будь-яка інформація, що переноситься частинками у стані 2, втрачається назавжди і ніколи не може бути отримана. Це також порушує симетрію квантової механіки у часі.
Ще одна неунітарна матриця:
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}\]
Тут будь-яка частка в стані 2 збільшується в амплітуді в рази, що означає\(\sqrt{2}\), що вона подвоюється за ймовірністю. Тобто частка клонується. Це протилежна проблема в порівнянні з тією, яку ставить перша матриця, і вона однаково проблематична з точки зору симетрії зміни часу і збереження інформації. Насправді, якби ми могли клонувати частинку таким чином, це порушило б принцип невизначеності Гейзенберга. Ми могли б зробити дві копії частинки, а потім виміряти положення однієї копії та імпульс іншої, кожна з необмеженою точністю. Це порушило б принцип невизначеності, тому ми вважаємо, що цього не можна зробити. Це відоме як теорема про відсутність клонування. 1
Примітка
Ahn et al. показали, що теорема про неклонування порушується за наявності замкнутих часових кривих: arxiv.org/abs/1008.0221v1
Існування горизонтів подій в загальній теорії відносності порушує унітарність, оскільки дозволяє знищувати інформацію. Якщо частинка викидається за горизонт подій, її ніколи не можна отримати.
Випромінювання з горизонтів подій
Цікавий поворот на ситуацію був введений Білл Унрух в 1976 році. Спостерігач на\(B\) борту прискорюється космічного корабля вірить в принцип еквівалентності, тому вона знає, що локальні властивості простору на горизонті подій здавалися б цілком нормальними і Лоренціанськими місцевому спостерігачеві\(A\). (Те саме стосується горизонту чорної діри.) Зокрема,\(B\) знає, що\(A\) б побачити пари віртуальних частинок спонтанно створюються і руйнуються в локальному вакуумі. Це просто прояв часово-енергетичної форми принципу невизначеності,\(\Delta E \Delta t \le h\). Тепер припустимо, що створюється пара частинок, але одна створюється перед горизонтом, а одна за нею. До того\(A\), це віртуальні частинки, які доведеться знищити протягом часу\(\Delta\) t, але відповідно до\(B\) створеної перед горизонтом зрештою наздожене космічний корабель, і його можна буде спостерігати там, хоча він буде зміщений червоним кольором. Величина червоного зсуву задається
\[\sqrt{g'_{t' t'}} = \sqrt{(1+ax')^{2}}.\]
Скажімо, пара створена прямо біля горизонту, в\(x' = − \frac{1}{a}\). За принципом невизначеності кожна з двох частинок розкидається на область простору розміру\(\Delta x'\). Оскільки це фотони, які рухаються зі швидкістю світла, невизначеність у положенні по суті така ж, як невизначеність у часі. Червоний зсув фотона вперед виходить a\(\Delta\) x '= a\(\Delta\) t', який за принципом невизначеності повинен бути принаймні\(\frac{ha}{E}\), так що коли фотон спостерігається B, його енергія
\[E(\frac{ha}{E}) = ha.\]
Тепер Б бачить рівномірний фон фотонів, з енергіями навколо га, що випромінюються випадковим чином з горизонту. Вони випромінюються з порожнього простору, тому здається правдоподібним вважати, що вони взагалі не кодують жодної інформації; вони абсолютно випадкові. Поверхня, що випромінює абсолютно випадковий (тобто максимально-ентропійний) град фотонів, є випромінювачем чорного тіла, тому ми очікуємо, що фотони матимуть спектр чорного тіла, з його піком на енергії близько га. Цей пік пов'язаний з температурою чорного тіла по E kT, де k - константа Больцмана. Робимо висновок, що горизонт діє подібно чорному корпусу радіатора з температурою\(\frac{ha}{k}\) Т Більш ретельне поводження з боку Унруха показує, що точне співвідношення є\(T = \frac{ha}{4 \pi^{2} k}\), або\(\frac{ha}{4 \pi^{2} kc}\) в одиницях СІ.
Важливим спостереженням тут є те, що різні спостерігачі не тільки розходяться в думці щодо кількості наявних квантів (що вірно у випадку звичайних доплерівських зсувів), але й про кількість квантів у вакуумі. Б бачить фотони, яких відповідно до А не існує.
Розглянемо кілька реальних прикладів великих прискорень:
| прискорення (м/с 2) | температура горизонту (К) | |
|---|---|---|
| куля, випущена з пістолета | 10 3 | 10 -17 |
| електрон в ЕПТ | 10 7 | 10 -13 |
| плазми, що виробляються інтенсивними лазерними імпульсами | 10 21 | 10 |
| протон в ядрі гелію | 10 27 | 10 8 |
Щоб виявити випромінювання Унруха експериментальним шляхом, ми хотіли б мати можливість прискорити детектор і дозволити йому виявити випромінювання. Це явно недоцільно. Третій рядок показує, що можна надавати субатомним частинкам дуже великі лінійні прискорення, але тоді можна тільки сподіватися зробити висновок про вплив випромінювання Унруха побічно його впливом на частинки. Як показано на заключному рядку, приклади надзвичайно великих нелінійних прискорень знайти неважко, але інтерпретація випромінювання Унруха для нелінійного руху неясна. Короткий зміст перспектив безпосереднього експериментального виявлення цього ефекту наведено Росу. 2 Цей тип експерименту явно надзвичайно складний, але це один з небагатьох способів, за допомогою яких можна сподіватися отримати пряме емпіричне розуміння в контрольованих умовах на інтерфейс між гравітацією та квантовою механікою.