6.5: Чорні діри (частина 2)

Сингулярності також можуть виникати без будь-якого вибуху в кривизні. Прикладом цього є конічна сингулярність, рис. 6.3.2. (Див. рис. 5.9.2) У 2+1-вимірній відносності кривизна зникає однаково у випадку вакууму, і єдиний вид сингулярності кривизни, який ми можемо мати, - це сингулярність без кривизни. Інший приклад некривизни сингулярності забезпечує сімейство тауб-горіхових просторів, в якому деякі світлоподібні геодезики спираються в бік горизонту, але приливні сили не вибухають на горизонті. Немає чітких підстав очікувати, що особливості, що не кривизни дійсно можуть існувати в нашому Всесвіті, але також немає жодних доказів того, що вони не можуть бути сформовані природними процесами.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Конічна сингулярність. Конус має нульову внутрішню кривизну скрізь, крім кінчика. Геодезична 1 може бути розширена нескінченно далеко, але геодезична 2 не може; оскільки метрика не визначена на кінчику, немає розумного способу визначити, як слід розширити геодезичну 2.

Приклад 4: Сингулярність без кривизни

Розглянемо метрику

\[ds^{2} = \frac{1}{t} dt^{2} - t \,d \theta^{2}\]

в розмірах 1+1, де кут,\(\theta\) що біжить по колу. Це спрощений варіант тауб-гайки просторучасу. Світлоподібні геодезичні мають ds = 0, тому\(\frac{dt}{t}\) = ± d\(\theta\), і\(\theta\) = (const) ± ln (± t), де два знаки можуть бути обрані самостійно. Виділіть геодезичний\(\theta\) = ln t, який визначається тільки для t > 0. Він обертається навколо кола нескінченно багато разів, коли t йде до нуля, і ми хотіли б знати, чи є він там неповним. Якщо афінний параметр переходить в нескінченність у міру наближення t до нуля, то геодезичний не є неповним.

Незникаючі символи Крістоффеля є\(\Gamma^{t}_{tt} = − \frac{1}{2t}, \Gamma^{\theta}_{\theta t} = \Gamma^{\theta}_{t \theta} = \frac{1}{2t}\), і\(\Gamma^{t}_{\theta \theta} = \frac{t}{2}\) (Проблема 3). Отримані геодезичні рівняння

\[\begin{split} \ddot{t} &= \frac{\dot{t}^{2}}{2t} - \frac{t}{2} \dot{\theta}^{2} \\ \ddot{\theta} &= - \frac{\dot{t}}{\dot{\theta}} t, \end{split}\]

де точки представляють диференціацію щодо афінного параметра\(\lambda\). Неявна диференціація рівняння\(\theta\) = ln t дає\(\dot{\theta} = \frac{\dot{t}}{t}\), і підключення цього до першого геодезичного рівняння призводить до\(\ddot{t}\) = 0. Тому ми можемо взяти t =\(\lambda\). (Ми також можемо взяти t = a\(\lambda\) + b, що призведе до іншого і однаково дійсного афінного параметра.) Якби λ пішов до\(− \infty\) як t пішов до нуля, то ми б продемонстрували, що геодезична була завершена. Натомість він наближається до кінцевої межі, яка говорить, але не доводить, що вона неповна.

Зміна координат\(\theta \rightarrow \theta\) − ln t дозволяє продовжити світлоподібні геодезичні дії проти годинникової стрілки через t = 0. (Оскільки це перетворення не є дифеоморфізмом, це не просто перейменування точок, а фактична фізична зміна структури простору-часу; це еквівалентно розрізанню половин за допомогою t < 0 and t > 0 і склеювання їх назад іншим способом.) Відповідні геодезичні роботи за годинниковою стрілкою, однак, залишаються незавершеними. Інша зміна координат розширює годинникову стрілку, але не проти годинникової стрілки. У всіх випадках є неповні геодезичні, тому все одно здається, що у нас є особливість. Оскільки особливості кривизни не існують у розмірах менше ніж 3+1, це особливість, що не є кривизною. (Розрахунок також показує, що цей конкретний простор-час є плоским.)

Сингулярність не вважається точкою або множиною точок у просторовічасі; це більше схоже на дірку в топології колектора. Наприклад, Великий вибух не стався в точці або множині точок. Сингулярність являє собою розбивку в метриці, і без метрики ми навіть не зможемо визначити різницю між однією точкою та багатьма. Докладніше про ці питання читайте в обговоренні прикордонних конструкцій у розділі 7.3. Існує сенс, в якому сингулярність чорної діри зовсім не є річчю і не має визначених характеристик; розділ 7.4.

Приклад 5: Один бал, або багато?

Припустимо, у мене є двовимірний простір з координатами (u, v), і я запитую вас, чи S = {(u, v) |v = 0} є точкою чи кривою, відмовляючись при цьому розголошувати, яку метрику я маю на увазі. Ви б напевно сказали, що S була кривою, і якщо метрика була ds ² = du ^{2+dv 2}, ви б мали рацію. З іншого боку, якщо метрика була ds ² = v ² du ² + dv ², S була б точкою.

Це був приклад, коли ми могли собі уявити дві можливі показники. При сингулярності все ще гірше. Немає можливої метрики, яку ми можемо розширити до сингулярності.

Тому що сингулярність не є точкою або точкою множини, ми не можемо визначити його timelike або spacelike характер в зовсім так, як ми б з, скажімо, кривої. Тимчасова сингулярність, яку також називають локально оголеною сингулярністю, є такою, що спостерігач із часоподібною світовою лінією може мати сингулярність іноді у своєму майбутньому світловому конусі, а іноді і в минулому світловому конусі. ¹⁸

Особливості Шварцшильда та Великого вибуху є космічними. (Зауважте, що в метриці Шварцшильда координати Шварцшильда r та t змінюють свої часові та просторові символи всередині горизонту подій.) Визначення часової сингулярності є локальним. Тимчасова сингулярність була б такою, яку ви могли б сидіти на своєму столі, де ви могли б подивитися на нього і тикати палицею.

Оголена сингулярність - це та, з якої часуподібні або світлоподібні світові лінії можуть зароджуватися, а потім втекти до нескінченності. Сингулярність метрики Шварцшильда не гола. Це поняття глобальне.

Докази, що накопичуються проти космічної цензури

Станом на 2017 рік накопичуються докази того, що космічна цензура є помилковою. Ще в 1969 році, коли Роджер Пенроуз вперше сформулював гіпотезу, на релятивістів сильно вплинув розрахунок Оппенгеймера і Снайдера 1939 року для гравітаційного колапсу рівномірного сферичної хмари «пилу», що означає матеріальні частинки, які діють як ідеальна рідина без тиску (див. приклад 1). (Cf. розділ 4.4 про межу Толмана-Оппенгеймера-Фолькова, виведеного на початку того ж року.) Незважаючи на те, що Оппенгеймер і Снайдер були занадто боязкими, щоб продовжувати розрахунок повз формування горизонту подій, їх результат роками не сприймався всерйоз, поняття втечі гравітаційного колапсу занадто віддалене від стану мистецтва з точки зору спостереження. Але пізніше працівники зробили повний розрахунок. Вони виявили, що особливість розвивалася, але горизонт сформувався досить рано, щоб закрити його, так що жоден часовий або світлоподібний геодезичний від сингулярності не міг втекти до далекого спостерігача. Це відповідало слабкій версії гіпотези космічної цензури, що (глобально) гола сингулярність не може утворитися від гравітаційного колапсу.

Але трактувати результат як доказ космічної цензури вводило в оману. Озираючись назад, є чіткі ньютонівські причини підозрювати, що ідеально однорідна хмара має занадто особливі властивості. У ньютонівському варіанті внутрішнє гравітаційне поле пропорційно r Починаючи з спокою в r, частинка повинна пройти відстань r, щоб досягти центру, але оскільки прискорення пропорційне r, час, необхідний для досягнення центру, однаковий для всіх частинок. Існує ньютонівська сингулярність нескінченної щільності, і це відбувається одночасно для всіх частинок, що після утворення поверхні, з якої швидкість втечі має будь-яке фіксоване значення, наприклад c Тому в ньютонівському терміні космічна цензура тримається, але вона тримається тільки через ідеальної однорідності хмари.

Насправді загальнорелятивістська версія неоднорідного гравітаційного колапсу вже була розроблена близько 1933 року Леметром, Толманом та Бонді, знову ж таки для випадку сферичної хмари, але тепер із профілем щільності\(\rho\) (r). Це сімейство метрик, яке називається метриками Леметра-Толмана-Бонді, є досить загальним, щоб включати моделі космологічного розширення, а також моделі локального гравітаційного колапсу. Толман застосував модель колапсу до формування «туманностей», тобто галактик, у ранньому Всесвіті, але не стежив за еволюцією колапсу до його ультрарелятивістської денуації, як це мали Оппенгеймер і Снайдер. Коли людина робить це, маючи справу з деякими технічними перешкодами і накладаючи деякі обмеження для фізичної розумності, виявляється, що в більшості випадків результатом є локально оголена сингулярність. ¹⁹ Тобто потрібна тонка настройка для того, щоб вийшло щось більше схоже на стандартну чорну діру. Залишається зрозуміти, чи правда це, коли обмеження досконалої сферичної симетрії розслаблено.

Це не обов'язково означає на перший погляд, що космічна цензура мертва, оскільки космічні часи зі сферичною симетрією самі по собі тонко налаштовані в деякому сенсі, але це скоріше драматичний розвиток, оскільки люди уявляли собі протягом 75 років, грунтуючись на розрахунках Оппенгеймер-Снайдера для однорідного пилу, що чорна діра була загальним результатом втікаючого гравітаційного колапсу. Космічну цензуру в певному сенсі неможливо спростувати, оскільки частина дослідницької програми полягає в тому, щоб знайти найбільш підходяще визначення здогадки, але ці результати говорять про те, що якщо це правда, то вона повинна бути ослаблена настільки, щоб бути мало цікавою. Загалом, осмислене визначення того, що означає порушувати слабку космічну цензуру, ймовірно, має включати щось на кшталт наступних інгредієнтів.

1. Початкові умови не роблять доступним нескінченну кількість енергії в межах скінченної області.
2. Початкові умови не містять особливостей.
3. Неповні світлоподібні геодезики можуть прибути до далекого спостерігача.
4. Таке порушення все ж виникає, якщо накласти невеликі збурень на вихідні дані.
5. Форми матерії фізично реалістичні.

Якщо ми не нав'язуємо щось на зразок умови 1, то ми можемо встановити початкові умови, які не представляють інтересу, оскільки вони нереальні. З цієї причини зазвичай вивчають просторичас, які асимптотично плоскі. ²⁰ Умова 2 висловлює думку про те, що будь-які особливості, що виникають, повинні бути новими, утвореними гравітаційним колапсом. Порушення цензури виражається умовою 3. Поняття далекого спостерігача можна додатково формалізувати, вимагаючи, щоб такий геодезичний прибув до нульової нескінченності, I +; див. стор. 265. Якщо 4 опущено, то відомі чіткі зустрічніприклади цензури. Однак невідомо, чи існує тут відповідний суворий спосіб визначення «малих збурень». ²¹ Реалістичні поля матерії, 5, як очікується, наприклад, не матимуть негативної маси. ²²

Оскільки слабка космічна цензура, здається, порушується, якщо описати ці п'ять умов, люди почали шукати додаткові умови, які могли б врятувати здогадки.

Вальд ²³ пропонує додати шосту вимогу. Він пропонує, щоб типи матерії були додатково обмежені тими, що мають властивість, що якщо метрика фіксована, а не динамічна, як у загальній теорії відносності, то ніяких особливостей не відбувається. Це мені здається занадто сильним станом, і є ознаки того, що його недостатньо.

Примітка

²⁰ Асимптотична площинність була введена неофіційно в розділі 4.5 і детально визначена в розділі 7.4. Також може знадобитися пред'явити вимогу, щоб поля матерії падали з певною швидкістю, коли ми йдемо до нескінченності.

²¹ У технічному плані ми не маємо жодної топології чи міри, визначеної на наборі всіх можливих початкових умов. У фактичній роботі на сьогоднішній день люди вибрали певний набір можливих початкових умов, описаних деякою невеликою кількістю регульованих параметрів, а потім спробували перевірити умову 4 за допомогою, здавалося б, природної топології та вимірювання, визначеної на просторі цих параметрів.

²² Більш суворо, ми очікуємо, що вони задовольнять відповідні енергетичні умови, розділ 8.1.

Інша пропозиція полягає в наступному. Коли виникає оголена сингулярність, то ми маємо область просторучасу, для якої сингулярність знаходиться всередині минулого світлового конуса. Світлоподібна поверхня, що становить межу цієї області, називається горизонтом Коші. Спостерігач, який проходить за горизонт Коші, може спостерігати довільну інформацію, тобто явища, не передбачені ніякими законами фізики, і нескінченні потоки енергії. Роджер Пенроуз, однак, зазначив, що в певних ілюстративних випадках існує тенденція до того, щоб енергія з усього простору-часу до сингулярності була зосереджена на горизонті Коші. Результатом може бути те, що такий спостерігач знищується при проходженні через горизонт Коші. Іншими словами, горизонт Коші фактично перетворюється в сингулярність. Однак механізм Пенроуза виходить з ладу для просторового часу з позитивною космологічною константою, що ми насправді маємо у нашому Всесвіті.

Радіація Хокінга

Випромінювання чорних дір

Оскільки горизонти подій, як очікується, випромінюють випромінювання чорного тіла, чорна діра не повинна бути повністю чорною; вона повинна випромінювати. Це називається випромінюванням Хокінга. Припустимо, спостерігач B безпосередньо за горизонтом подій вибухає двигуни свого ракетного корабля, виробляючи достатнє прискорення, щоб утримати від всмоктування. За принципом еквівалентності те, що вона спостерігає, не може залежати від того, чи відбувається прискорення, яке вона відчуває, насправді через гравітаційне поле. Тому вона виявляє випромінювання, яке вона інтерпретує як походить від горизонту подій під нею. У міру того, як вона стає все ближче і ближче до горизонту, прискорення наближається до нескінченності, тому інтенсивність і частота випромінювання зростає без обмежень.

Далекий спостерігач А, однак, бачить іншу картину. За словами А, час B надзвичайно розширений. A бачить прискорення B як лише 1/m, де m - маса чорної діри; A не сприймає це прискорення як вибух до нескінченності, коли B наближається до горизонту. Коли А виявляє випромінювання, воно надзвичайно червоно-зміщене, і він має спектр, який можна було б очікувати для горизонту, що характеризується прискоренням a 1/м. Результат для чорної діри з 10 сонячною масою - T ÷ 10 ⁻⁸ K, який настільки низький, що чорна діра фактично поглинає більше енергії з космічне мікрохвильове фонове випромінювання, ніж воно випромінює.

Тому пряме спостереження за випромінюванням чорної діри можливо лише для чорних дір дуже малих мас. Вони, можливо, були виготовлені незабаром після великого вибуху, або можна припустити, що їх можна було б створити штучно, за передовими технологіями. Якщо випромінювання чорної діри дійсно існує, це може допомогти вирішити інформаційний парадокс, оскільки можливо, що інформація, яка потрапляє в чорну діру, врешті-решт звільняється за допомогою тонких кореляцій у випромінюванні чорного тіла, яке вона випромінює.

Фізика частинок

Випромінювання Хокінга має деякі інтригуючі властивості з точки зору фізики частинок. У прискорювачі частинок список частинок, які можна створити в помітних кількостях, визначається константами зв'язку. Однак у випромінюванні Хокінга ми очікуємо побачити репрезентативну вибірку всіх типів частинок, упереджену лише тим, що безмасові або маломасові частинки частіше утворюються, ніж масивні. Наприклад, було припущено, що деяка частина темної матерії Всесвіту існує у вигляді «стерильних» частинок, які не з'єднуються з жодною силою, крім гравітації. Такі частинки ніколи не вироблятимуться в прискорювачах частинок, але будуть помічені в випромінюванні Хокінга. Виходячи з наявних знань фізики частинок, основними компонентами випромінювання Хокінга, для всіх, крім найбільш мікроскопічних чорних дір, як очікується, будуть фотони та гравітони, які конкурували б приблизно на рівних умовах, залежно від кутового моменту чорної діри. ²⁴

Радіація Хокінга порушила б багато заповітних законів збереження фізики частинок. Нехай атом водню впаде в чорну діру. Ми втратили лептон і баріон, але якщо ми хочемо зберегти збереження числа лептону та баріонного числа, ми покриваємо це фіговим листом, сказавши, що чорна діра просто збільшила кількість лептонів та номер бариону на +1 кожен. Але врешті-решт чорна діра випаровується, і випаровування, ймовірно, в основному в частинки нульової маси, такі як фотони. Як тільки отвір повністю випарується, наш фіговий лист також випарувався. Зараз немає фізичного об'єкта, до якого ми можемо віднести +1 одиниці числа лептона та бариона.

Чорна діра взаємодоповнюваність

Дуже складне питання про взаємозв'язок квантової механіки і загальної теорії відносності виникає наступним чином. У нашому прикладі вище спостерігач А виявляє надзвичайно зміщений червоний спектр світла від чорної діри. А інтерпретує це як доказ того, що простір біля горизонту подій насправді є інтенсивним виром випромінювання, коли температура наближається до нескінченності, коли людина стає все ближче і ближче до горизонту. Якщо B повернеться з області біля горизонту, B погодиться з цим описом. Але припустимо, що спостерігач С просто опускається прямо через горизонт. С не відчуває ніякого прискорення, тому за принципом еквівалентності С взагалі не виявляє ніякого випромінювання. Проходячи через горизонт подій, С каже: «А і Б - брехуни! Радіації взагалі немає». А і В, однак, C бачать як увійшли в область нескінченно інтенсивного випромінювання. «Ах, - каже А, - дуже погано. C повинен був повернутися назад, перш ніж він став занадто гарячим, так само, як і я.» Це приклад принципу, з яким ми стикалися раніше, коли гравітація та квантова механіка поєднуються, різні спостерігачі розходяться в думках щодо кількості квантів, присутніх у вакуумі. Нам представлений парадокс, тому що A і B вірять у зовсім іншу версію реальності, що C. A і B кажуть, що C був фрикасом, але C знає, що цього не сталося. Одна з припущень полягає в тому, що це протиріччя показує, що належна логіка опису квантової гравітації є неаристотелівської, як описано в розділі 2.3. Ця ідея, запропонована Susskind et al., йде назвою комплементарності чорної діри, за аналогією з філософським описом Нільса Бора хвильово-частинкової подвійності як «взаємодоповнюючої», а не суперечливої. У цій інтерпретації ми повинні прийняти той факт, що C переживає якісно іншу реальність, ніж A і B, і ми втішаємо себе, визнаючи, що протиріччя ніколи не може стати занадто гострим, оскільки С втрачається за горизонтом подій і ніколи не може відправити інформацію назад.

Чорні діри в d Розмірах

Було запропоновано, що наш Всесвіт насправді може мати не d = 4 виміри, а якесь більше число, причому d − 4 «зайві» ті, що схожі на космос, і згорнулися в якомусь маленькому масштабі,\(\rho\) щоб ми не бачили їх у звичайному житті. Одним з кандидатів на таку шкалу\(\rho\) є довжина Планка, і тоді ми повинні говорити про теорії квантової гравітації, такі як теорія струн. З іншого боку, це може бути електрослабка шкала 1 TeV; мотивація такої ідеї полягає в тому, що це дозволило б уніфікувати електрослабкі взаємодії з гравітацією. Ця ідея називається «великі додаткові розміри» - «великі», тому\(\rho\) що більше, ніж довжина Планка. Насправді, в таких теоріях довжина Планка є електрослабкою шкалою уніфікації, а число, яке зазвичай називають довжиною Планка, насправді не є довжиною Планка. ²⁵

У d розмірах є просторові розміри d−1, а поверхня сферичної симетрії має d − 2. У ньютонівському межі слабкого поля щільність ліній гравітаційного поля падає, як\(\frac{m}{r^{d−2}}\) і відстань від джерела m, і тому ми виявляємо, що закон гравітації Ньютона має показник − (d − 2). Якщо d ≠ 3, ми можемо інтегрувати, щоб виявити, що гравітаційний потенціал змінюється\(\Phi\) як −mr ^{− (d−3)}. Повертаючись до межі слабкого поля загальної відносності, принцип еквівалентності диктує, що термін g _tt метрики приблизно 1 + 2\(\Phi\), тому ми знаходимо, що метрика має вигляд

\[ds^{2} \approx (1 − 2mr^{−(d−3)}) dt^{2} − (\ldots) dr^{2} − r^{2} d \theta^{2} − r^{2} \sin^{2} \theta \,d \phi^{2} \ldotp\]

Це виглядає як форма Шварцшильда без жодних інших змін, крім узагальнення показника, і насправді Тангерліні показав у 1963 році, що для d > 4 можна отримати точне рішення, просто застосовуючи ту саму зміну показника до g _rr, а також. ²⁶

Якщо великі додаткові розміри існують, то це фактична форма будь-якого простору чорної діри для r <<\(\rho\), де фонова кривизна додаткових розмірів незначна. Оскільки показники всі змінені, сили гравітації стають сильнішими, ніж очікувалося інакше на невеликих відстанях, і стає легше робити чорні діри. Було запропоновано, що якщо існують великі додаткові розміри, мікроскопічні чорні діри будуть спостерігатися на Великому адронному колайдері. Вони негайно випаруються у випромінювання Хокінга, з експериментальним підписом порушення стандартних законів збереження фізики частинок. Станом на 2010 рік емпіричні результати здаються негативними. ²⁷

Міркування, наведене вище, не вдається у випадку d = 3, тобто 2+1- вимірного просторового часу, як тому, що інтеграл r ⁻¹ не є r ⁰, так і тому, що метрика Тангерліні-Шварцшильда не є вакуумним розв'язком. Як показано в задачі 12, аналога метрики Шварцшильда в розмірах 2+1 немає. Це, по суті, тому, що для d = 3 маса безмежна, тому, враховуючи джерело, що має певну масу, немає можливості встановити шкалу відстані, при якій поведінка слабкого поля Ньютона поступається місцем релятивістському сильному полю. Тоді як для d ≥ 4 гравітація Ньютона є граничним випадком відносності, для d = 3 вони є непов'язаними теоріями. Насправді релятивістська теорія гравітації для d = 3 дещо тривіальна. Простір часу не допускає кривизни у вакуумних рішеннях, ²⁸ так що єдиний нетривіальний спосіб зробити не-мінковський 2+1-мірний простір є склеювання шматочків Мінковського в різних топологіях, як склеювання шматочків паперу, щоб зробити такі речі, як конуси і Mâ Obius смужки. 2+1-мірна гравітація має конічні особливості, але не в стилі Шварцшильда, які оточені вигнутим простором-часом.

Якщо рішення чорної діри існують в d розмірах, то можна розширити таке рішення до d+1 розмірів з циліндричною симетрією, утворюючи «чорну струну». Неіснування d = 3 чорних дір означає, що чорні струнні рішення не існують у нашому власному d = 4 Всесвіті. Однак різні міркування виникають у Всесвіті з негативною космологічною постійною. Тоді існують 2+1-мірні рішення, відомі як чорні діри БТЗ. ²⁹ Оскільки наш власний Всесвіт має позитивну космологічну константу, а не негативну, ми все ще виявляємо, що чорні струни не можуть існувати.

Посилання

¹⁸ Пенроуз, Гравітаційне випромінювання та гравітаційний колапс; Праці симпозіуму, Варшава, 1973. Дордрехт, D.Reidel видавнича компанія, стор. 82-91, безкоштовно в Інтернеті за адресою Adsabs.harvard.edu/Full/1974IAus... 64... 82P

¹⁹ Джоші і Малафаріна, arxiv.org/abs/1405.1146

²³ «Гравітаційний колапс і Космічна цензура», arxiv.org/abs/gr-qc/ 9710068

²⁴ Донгів, arxiv.org/abs/1511.05642

²⁵ Канті, arxiv.org/абс/геп-ph/0402168

²⁶ Емпаран і Реал, «Чорні діри у вищих вимірах», відносність. livingreviews.org/articles/LRR-2008-6/

²⁷ http://arxiv.org/abs/1012.3375

²⁸ arxiv.org/абс/гр-qc/0503022v4

²⁹ arxiv.org/абс/гр-ак/9506079v1