15: Матриці

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі глави

Вивчіть номенклатуру, яка використовується в лінійній алгебрі для опису матриць (рядки, стовпці, трикутні матриці, діагональні матриці, трасування, транспонування, сингулярність тощо).
Дізнайтеся, як додавати, віднімати та множити матриці.
Вивчіть поняття зворотне.
Зрозумійте використання матриць як операторів симетрії.
Зрозумійте поняття ортогональності.
Зрозумійте, як обчислити власні значення та нормалізовані власні вектори матриці 2 × 2.
Зрозумійте поняття ермітієвої матриці

15.1: Визначення
Деякі типи матриць мають особливі назви.
15.2: Додавання матриці
Сума двох матриць A і B (однакових розмірів) являє собою нову матрицю однакових розмірів, C = A+ B. Сума визначається шляхом додавання записів з однаковими індексами.
15.3: Множення матриць
Якщо А має розміри m×n, а B має розміри n×p, то виріб AB визначено, і має розміри m×p.
15.4: Оператори симетрії
Операція симетрії, така як обертання навколо осі симетрії або відображення через площину, - це операція, яка при виконанні над об'єктом призводить до нової орієнтації об'єкта, яка не відрізняється від оригіналу.
15.5: Інверсія матриці
Обернена квадратна матриця A, яку іноді називають відповідною матрицею, є матрицею A−1 такою, що AA−1=I, де I - матриця ідентичності.
15.6: Ортогональні матриці
Несингулярна матриця називається ортогональною, коли її зворотна дорівнює її транспонуванню.
15.7: Власні значення та власні вектори
Оскільки квадратні матриці є операторами, не повинно вас дивувати, що ми можемо визначити його власні значення та власні вектори. Власні вектори аналогічні власним функціям, які ми обговорювали для квантової механіки.
15.8: Матриці Ермітів
Ермітієва матриця (або самоспряженная матриця) являє собою квадратну матрицю зі складними записами, що дорівнює власному сполученому транспонування. Ермітові матриці - це узагальнення симетричних дійсних матриць, про які ми щойно говорили, і вони також мають реальні власні значення та власні вектори, які утворюють взаємно ортогональну множини.
15.9: Проблеми