15.6: Ортогональні матриці
- Page ID
- 18395
Несингулярна матриця називається ортогональною, коли її зворотна дорівнює її транспонуванню:
\[\mathbf{A}^T =\mathbf{A}^{-1}\rightarrow \mathbf{A}^T\mathbf{A} = \mathbf{I}. \nonumber\]
Наприклад, для матриці
\[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} \cos \theta&-\sin \theta \\ \sin \theta&\cos \theta \end{pmatrix}, \nonumber\]
обернене є
\[ \mathbf{A}^{-1} =\begin{pmatrix} \cos \theta&\sin \theta \\ -\sin \theta&\cos \theta \end{pmatrix} =\mathbf{A}^T \nonumber\]
Нам не потрібно обчислювати зворотне, щоб побачити, чи матриця ортогональна. Ми можемо транспонувати матрицю, помножити результат на матрицю і подивитися, чи отримаємо в результаті матрицю ідентичності:
\[\mathbf{A}^T=\begin{pmatrix} \cos \theta&\sin \theta \\ -\sin \theta&\cos \theta \end{pmatrix} \nonumber\]
\[ \mathbf{A}^T \mathbf{A} =\begin{pmatrix} \cos \theta&\sin \theta \\ -\sin \theta&\cos \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \theta&-\sin \theta \\ \sin \theta&\cos \theta \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} (\cos^2 \theta+ \sin^2\theta)&0 \\ 0&(\sin^2 \theta+ \cos^2\theta) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \nonumber\]
Колони ортогональних матриць утворюють систему ортонормальних векторів (Розділ 14.2):
\[\mathbf{M}=\begin{pmatrix} a_1&b_1&c_1 \\ a_2&b_2&c_2 \\ a_3&b_3&c_3 \end{pmatrix}\rightarrow \mathbf{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}; \;\mathbf{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}; \;\mathbf{c}=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix} \nonumber\]
\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=\mathbf{c}\cdot\mathbf{b}=0 \nonumber\]
\[|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=1 \nonumber\]
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Доведіть, що матриця\(\mathbf{M}\) є ортогональною матрицею і показати, що її стовпці утворюють набір ортонормальних векторів.
\[\mathbf{M}=\begin{pmatrix} 2/3&1/3&-2/3 \\ 2/3&-2/3&1/3 \\ 1/3&2/3&2/3 \end{pmatrix} \nonumber\]
Примітка: Ця проблема також доступна у форматі відео: http://tinyurl.com/k2tkny5
Рішення
Для початку потрібно довести, що\(\mathbf{M}^T\mathbf{M}=1\)
\[\mathbf{M}=\begin{pmatrix} {\color{red}2/3}&{\color{blue}1/3}&-2/3 \\ {\color{red}2/3}&{\color{blue}-2/3}&1/3 \\ {\color{red}1/3}&{\color{blue}2/3}&2/3 \end{pmatrix}\rightarrow \mathbf{M}^T=\begin{pmatrix} {\color{red}2/3}&{\color{red}2/3}&{\color{red}1/3}& \\ {\color{blue}1/3}&{\color{blue}-2/3}&{\color{blue}2/3} \\ -2/3&1/3&2/3 \end{pmatrix} \nonumber\]
\[\mathbf{M}^T\mathbf{M}=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}=\mathbf{I} \nonumber\]
\(\mathbf{M}^T\mathbf{M}=\mathbf{I}\)Тому що матриця ортогональна.
Ми тепер, як довести, що стовпці для набору ортонормальних векторів. Вектори такі:
\[\mathbf{a}=2/3\mathbf{i}+2/3\mathbf{j}+1/3\mathbf{i}= \begin{pmatrix}2/3\\2/3\\1/3\end{pmatrix}\nonumber\]
\[\mathbf{b}=1/3\mathbf{i}-2/3\mathbf{j}+2/3\mathbf{i}= \begin{pmatrix}1/3\\-2/3\\2/3\end{pmatrix}\nonumber\]
\[\mathbf{c}=-2/3\mathbf{i}+1/3\mathbf{j}+2/3\mathbf{i}= \begin{pmatrix}-2/3\\1/3\\2/3\end{pmatrix}\nonumber\]
Модулями цих векторів є:
\[|\mathbf{a}|^2=(2/3)^2+(2/3)^2+(1/3)^2=1 \nonumber\]
\[|\mathbf{b}|^2=(1/3)^2+(-2/3)^2+(2/3)^2=1 \nonumber\]
\[|\mathbf{c}|^2=(-2/3)^2+(1/3)^2+(2/3)^2=1 \nonumber\]
що доводить, що вектори нормалізовані.
Точковими добутками трьох пар векторів є:
\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=(2/3)(1/3)+(2/3)(-2/3)+(1/3)(2/3)=0 \nonumber\]
\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=(2/3)(-2/3)+(2/3)(1/3)+(1/3)(2/3)=0 \nonumber\]
\[\mathbf{c}\cdot\mathbf{b}=(-2/3)(1/3)+(1/3)(-2/3)+(2/3)(2/3)=0 \nonumber\]
що доводить, що вони взаємно ортогональні.
Оскільки вектори нормалізовані і взаємно ортогональні, вони утворюють ортонормальну множину.
Ортогональні матриці, якщо розглядати як оператори, що діють на вектори, важливі, оскільки вони виробляють перетворення, які зберігають довжини векторів та відносні кути між ними. Наприклад, в двох вимірах матриця
\[\mathbf{M}_1=1/\sqrt{2}\begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{pmatrix} \nonumber\]
оператор, який обертає вектор\(\pi/4\) в напрямку проти годинникової стрілки (рис.\(\PageIndex{1}\)), зберігаючи довжини векторів і їх відносну орієнтацію. Іншими словами, ортогональна матриця обертає фігуру, не спотворюючи її. Якщо стовпці є ортогональними векторами, які не нормалізуються, як в
\[\mathbf{M}_2=\begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{pmatrix}, \nonumber\]
об'єкт змінюється в розмірах, але форма не спотворюється. Якщо, однак, два стовпці є неортогональними векторами, перетворення спотворить форму. \(\PageIndex{1}\)На малюнку показаний приклад з матрицею
\[\mathbf{M}_3=\begin{pmatrix} 1&2 \\ -1&1 \end{pmatrix} \nonumber\]
З цього обговорення не повинно вас дивувати, що всі матриці, що представляють оператори симетрії (Розділ 15.4), є ортогональними матрицями. Ці оператори використовуються для обертання та відображення об'єкта навколо різних осей і площин, не спотворюючи його розмір і форму.