15.8: Матриці Ермітів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 18394

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ермітієва матриця (або самоспряженная матриця) являє собою квадратну матрицю зі складними записами, що дорівнює власному сполученому транспонування. Іншими словами,\(a_{ij}=a_{ji}^*\) для всіх записів. Елементи в діагоналі повинні бути реальними, тому що ці записи повинні зрівнятися зі своїми складними сполученнями\(a_{ii}=a_{ii}^*\):

\[\begin{pmatrix} a&{\color{red}b+ci}&{\color{blue}d+ei}\\ {\color{red}b-ci}&f&{\color{OliveGreen}g+hi}\\ {\color{blue}d-ei}&{\color{OliveGreen}g-hi}&j \end{pmatrix} \nonumber\]

де всі символи в цій матриці крім\(i\) представляють дійсні числа.

Ермітові матриці - це узагальнення симетричних дійсних матриць, про які ми щойно говорили, і вони також мають реальні власні значення та власні вектори, які утворюють взаємно ортогональну множини.

Потрібна допомога? Посилання нижче містить розв'язані приклади:

Приклад з середньострокового періоду: Власні вектори, Власні значення, Зворотні, Ортогональність, Ермітіан Ермітіан http://tinyurl.com/n38938e