Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

15.1: Визначення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    18411

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \(m\times n\)Матриця\(\mathbf{A}\) являє собою прямокутний масив чисел з\(m\) рядками і\(n\) стовпцями. Цифри\(m\) і\(n\) є розмірами\(\mathbf{A}\). Числа в матриці називаються її записами. \(j\)Викликається запис у рядку\(i\) та стовпці\(a_{ij}\).

    definition.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Матриці різних розмірів (CC BY-NC-SA; Марсія Левітус)

    Деякі типи матриць мають особливі назви:

    • Квадратна матриця:\[\begin{pmatrix} 3 &-2 &4 \\ 5 &3i &3 \\ -i & 1/2 &9 \end{pmatrix} \nonumber\] з\(m=n\)
    • Прямокутна матриця:\[\begin{pmatrix} 3 &-2 &4 \\ 5 &3i &3 \end{pmatrix}\nonumber\] з\(m\neq n\)
    • Вектор стовпця:\[\begin{pmatrix} 3 \\ 5\\ -i \end{pmatrix}\nonumber\] з\(n=1\)
    • Вектор рядка:\[\begin{pmatrix} 3 &-2 &4 \\ \end{pmatrix}\nonumber\] з\(m=1\)
    • Матриця ідентичності:\[\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}\nonumber\] with\(a_{ij}=\delta_{i,j}\), де\(\delta_{i,j}\) - функція, визначена як\(\delta_{i,j}=1\) if\(i=j\) і\(\delta_{i,j}=0\) if\(i\neq j\).
    • Діагональна матриця:\[\begin{pmatrix} a &0 &0 \\ 0 &b &0 \\ 0&0 &c \end{pmatrix}\nonumber\] с\(a_{ij}=c_i \delta_{i,j}\).
    • Верхня трикутна матриця:\[\begin{pmatrix} a &b &c \\ 0 &d &e \\ 0&0 &f \end{pmatrix}\nonumber\] Усі записи під основною діагоналлю дорівнюють нулю.
    • Нижня трикутна матриця:\[\begin{pmatrix} a &0 &0 \\ b &c &0 \\ d&e &f \end{pmatrix}\nonumber\] Усі записи над основною діагоналлю дорівнюють нулю.
    • Трикутна матриця - це та, яка є або нижньою трикутною, або верхньою трикутною.

    Слід матриці

    Слід\(n\times n\) квадратної матриці\(\mathbf{A}\) - це сума діагональних елементів, і формально визначена як\(Tr( \mathbf{A})=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}\).

    Наприклад,

    \[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 3 &-2 &4 \\ 5 &3i &3 \\ -i & 1/2 &9 \end{pmatrix}\; ; Tr(\mathbf{A})=12+3i \nonumber\]

    Сингулярні та несингулярні матриці

    Квадратна матриця з ненульовим детермінантом називається несингулярною. Матриця, детермінант якої дорівнює нулю, називається одниною. (Зауважте, що ви не можете обчислити детермінант неквадратної матриці).

    Транспонування матриці

    Транспонування матриці, найчастіше записане\(\mathbf{A}^T\), - це матриця, отримана шляхом обміну\(\mathbf{A}\) рядками та стовпцями. Його отримують шляхом заміни всіх елементів\(a_{ij}\) на\(a_{ji}\). Наприклад:

    \[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 3 &-2 &4 \\ 5 &3i &3 \end{pmatrix}\rightarrow \mathbf{A}^T=\begin{pmatrix} 3 &5\\ -2 &3i\\ 4&3 \end{pmatrix} \nonumber\]