15.7: Власні значення та власні вектори

Оскільки квадратні матриці є операторами, не повинно вас дивувати, що ми можемо визначити його власні значення та власні вектори. Власні вектори аналогічні власним функціям, про які ми говорили в главі 11.

Якщо\(\mathbf{A}\) є\(n\times n\) матрицею, то ненульовий вектор\(\mathbf{x}\) називається власним вектором\(\mathbf{A}\) if\(\mathbf{Ax}\) є скалярним кратним\(\mathbf{x}\):

\[\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}\]

Скаляр\(\lambda\) називається власним значенням\(\mathbf{A}\), і, як кажуть,\(\mathbf{x}\) є власним вектором. Наприклад, вектор\((2,0)\) є власним вектором

\[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} -2&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \nonumber\]

з власним значенням\(\lambda=-2\):

\[\begin{pmatrix} -2&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 0 \end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix} 2\\ 0 \end{pmatrix} \nonumber\]

Зверніть увагу, що матриця\(\mathbf{A}\), як і будь-яка інша\(2\times 2\) матриця, перетворює 2-вимірний вектор в інший, який взагалі буде лежати в іншому напрямку. Наприклад, якщо взяти\((2,2)\), ця матриця перетворить її в\(\mathbf{A}(2,2)=(-4,2)\), яка має іншу орієнтацію. Однак вектор\((2,0)\) особливий, тому що ця матриця перетворює його в вектор, кратний собі:\(\mathbf{A}(2,0)=(-4,0)\). Для цього конкретного вектора матриця поводиться як число! (В даному випадку число -2). По суті, у нас є ціле сімейство векторів\(\mathbf{A}(x,0)=(-4x,0)\), які роблять те ж саме: або іншими словами, будь-який вектор, паралельний\(x-\) осі. Існує ще одне сімейство векторів, яке змушує\(\mathbf{A}\) вести себе як число:\(\mathbf{A}(0,y)=(0,y)\) або іншими словами, будь-який вектор, паралельний\(y-\) осі, змушує\(\mathbf{A}\) вести себе як число 1.

Наведений вище аргумент дає геометричну інтерпретацію власних векторів та власних значень. Для\(2\times 2\) матриці є дві «спеціальні» лінії в площині. Якщо взяти вектор уздовж однієї з цих рядків, матриця поводиться як число, яке ми називаємо власним значенням, і просто стискає або розширює вектор, не змінюючи його напрямку.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вектори\(\mathbf{x}_1=(-i,1)\) і\(\mathbf{x}_2=(i,1)\) є двома власними векторами

\[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&1 \end{pmatrix} \nonumber\]

Які існують відповідні власні значення?

Рішення

За визначенням:

\[\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -i\\ 1 \end{pmatrix}=\lambda_1\begin{pmatrix} -i\\ 1 \end{pmatrix}\nonumber\]

де\(\lambda_1\) - власний вектор, відповідний\(\mathbf{x}_1\)

У нас є:

\[\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -i\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -i+1\\ i+1 \end{pmatrix}=(1+i)\begin{pmatrix} -i\\ 1 \end{pmatrix}\nonumber\]

і тому\(\lambda_1=(1+i)\).

Для другого власного вектора:

\[\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i\\ 1 \end{pmatrix}=\lambda_2\begin{pmatrix} i\\ 1 \end{pmatrix}\nonumber\]

де\(\lambda_2\) - власний вектор, відповідний\(\mathbf{x}_2\)

У нас є:

\[\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} i+1\\ -i+1 \end{pmatrix}=(1-i)\begin{pmatrix} i\\ 1 \end{pmatrix}\nonumber\]

і тому\(\lambda_2=(1-i)\).

Очевидне питання тепер полягає в тому, як знайти власні значення матриці. Ми зосередимося на\(2\times 2\) матрицях, хоча, звичайно, існують методи, щоб зробити те ж саме у вищих вимірах.

Припустимо, що ми хочемо знайти власні вектори

\[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix}\nonumber\]

Власні вектори задовольняють наступному рівнянню:

\[\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\nonumber\]

Нашим першим кроком буде помноження правого боку на матрицю ідентичності. Це аналогічно множенню на число 1, тому нічого не робить:

\[\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \nonumber\]

Тепер ми згрупуємо всі терміни з лівого боку:

\[\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=0 \nonumber\]

поширювати\(\lambda\):

\[\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \lambda&0 \\ 0&\lambda \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=0 \nonumber\]

і згрупуйте дві матриці в одну:

\[\begin{pmatrix} 3-\lambda&2 \\ -1&0-\lambda \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=0 \nonumber\]

множення матриці на вектор:

\[(3-\lambda)x+2y=0 \nonumber\]

\[-x-\lambda y=0 \nonumber\]

що дає:

\[ \begin{align*} (3-\lambda)(-\lambda y)+2y &=0 \\[4pt] y[(3-\lambda)(-\lambda )+2] &=0 \end{align*} \nonumber\]

Ми не хочемо\(y\) змушувати бути нулем, тому що ми намагаємося визначити власний вектор, який може мати\(y\neq 0\). Потім ми робимо висновок, що

\[[(3-\lambda)(-\lambda )+2]=0 \label{characteristic equation}\]

який є квадратним рівнянням в\(\lambda\). Тепер зауважте, що\([(3-\lambda)(-\lambda )+2]\) це детермінант

\[\begin{vmatrix} 3-\lambda&2 \\ -1&-\lambda \end{vmatrix} \nonumber\]

Ми щойно дійшли висновку, що для того, щоб вирішити

\[\begin{pmatrix} 3-\lambda&2 \\ -1&0-\lambda \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=0 \nonumber\]

нам просто потрібно подивитися на значення\(\lambda\), які роблять детермінант матриці рівним нулю:

\[\begin{vmatrix} 3-\lambda&2 \\ -1&-\lambda \end{vmatrix}=0 \nonumber\]

Рівняння\ ref {характеристичне рівняння} називається характеристичним рівнянням матриці, і в подальшому ми можемо пропустити кілька кроків і записати його безпосередньо.

Почнемо проблему з нуля. Припустимо, що ми хочемо знайти власні вектори

\[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix} \nonumber\]

Нам просто потрібно відняти\(\lambda\) від основної діагоналі, а визначник отриманої матриці встановити на нуль:

\[\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 3-\lambda&2 \\ -1&0-\lambda \end{pmatrix}\rightarrow \begin{vmatrix} 3-\lambda&2 \\ -1&-\lambda \end{vmatrix}=0 \nonumber\]

Отримуємо квадратне рівняння в\(\lambda\):

\[\begin{vmatrix} 3-\lambda&2 \\ -1&-\lambda \end{vmatrix}=(3-\lambda)(-\lambda)+2=0 \nonumber\]

які можуть бути вирішені для отримання двох власних значень:\(\lambda_1=1\) і\(\lambda_2=2\).

Наступним кроком є отримання відповідних власних векторів, які задовольняють:

\[\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}=1\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \nonumber\]

для\(\lambda_1\)

\[\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \nonumber\]

для\(\lambda_2\)

Давайте вирішимо обидва пліч-о-пліч:

\[\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}=1\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \nonumber\] \[\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}=1\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \nonumber\] \[\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}-1\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}=0 \nonumber\] \[\begin{pmatrix} 3-1&2 \\ -1&0-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}=0 \nonumber\] \[\begin{pmatrix} 2&2 \\ -1&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}=0 \nonumber\] \[2x_1+2y_1=0 \nonumber\] \[-x_1-y_1=0 \nonumber\] Зверніть увагу, що ці два рівняння не є незалежними, оскільки верх кратний нижньому. Обидва дають однаковий результат:\(y=-x\). Це означає, що будь-який вектор, який лежить на прямій,\(y=-x\) є власним вектором цієї матриці з власним значенням\(\lambda=1\).

\[\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \nonumber\] \[\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \nonumber\] \[\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}=0 \nonumber\] \[\begin{pmatrix} 3-2&2 \\ -1&0-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}=0 \nonumber\] \[\begin{pmatrix} 1&2 \\ -1&-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}=0 \nonumber\] \[x_2+2y_2=0 \nonumber\] \[-x_2-2y_2=0 \nonumber\] Зверніть увагу, що ці два рівняння не є незалежними, оскільки верх кратний нижньому. Обидва дають однаковий результат:\(y=-x/2\). Це означає, що будь-який вектор, який лежить на прямій,\(y=-x/2\) є власним вектором цієї матриці з власним значенням\(\lambda=2\).

На малюнку\(\PageIndex{1}\) показані лінії\(y=-x\) і\(y=-x/2\). Будь-який вектор, який лежить уздовж лінії,\(y=-x/2\) є власним вектором з власним значенням\(\lambda=2\), а будь-який вектор, який лежить уздовж лінії,\(y=-x\) є власним вектором з власним значенням\(\lambda=1\). Власні вектори, що відрізняються лише постійним фактором, не розглядаються як різні. Зручно і умовно нормалізувати власнівектори. Зверніть увагу, що ми можемо обчислити два нормованих власних вектора для кожного власного значення (вказуючи в ту чи іншу сторону), і різниця між тим чи іншим не важлива.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Власні вектори\(\mathbf{A}\) (CC BY-NC-SA; Марсія Левітус)

У першому випадку ми маємо\(y=-x\). Це означає, що будь-який вектор форми\(\begin{pmatrix} a \\ -a \end{pmatrix}\) є власним вектором, але ми шукаємо значення,\(a\) яке робить цей власний вектор нормалізованим. Іншими словами, ми хочемо\((a)^2+(-a)^2=1\), що дає\(a=\pm 1/\sqrt{2}\). На закінчення обидва

\[\begin{array}{c c c} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} & \text{and} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{array} \nonumber\]

нормовані власні вектори

\[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix} \nonumber\]

з власним значенням\(\lambda=1\).

Бо\(\lambda=2\), ми маємо це\(y=-x/2\). Це означає, що будь-який вектор форми\(\begin{pmatrix} a \\ -a/2 \end{pmatrix}\) є власним вектором, але ми шукаємо значення,\(a\) яке робить цей власний вектор нормалізованим. Іншими словами, ми хочемо\((a)^2+(-a/2)^2=1\), що дає\(a=\pm 2/\sqrt{5}\). На закінчення обидва

\[\begin{array}{c c c} \dfrac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} & \text{and} & \dfrac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{array} \nonumber\]

нормовані власні вектори

\[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 3&2 \\ -1&0 \end{pmatrix} \nonumber\]

з власним значенням\(\lambda=2.\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайти власні значення та номалізовані власні вектори

\[\mathbf{M}=\begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix} \nonumber\]

Власні значення задовольняють характеристичному рівнянню:

\[\begin{vmatrix} -\lambda&1 \\ -1&-\lambda \end{vmatrix}=0\rightarrow (-\lambda)(-\lambda)-(1)(-1)=\lambda^2+1=0\rightarrow \lambda_{1,2}=\pm i \nonumber\]

Для\(\lambda =i\):

\[\begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}=i\begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} \nonumber\]

\[y_1=ix_1 \nonumber\]

\[-x_1=i y_1 \nonumber\]

Знову ж таки, два рівняння, які ми отримуємо, мають однакову інформацію (або більш формально, лінійно залежні). З будь-якого з них ми отримуємо\(y_1=i x_1\).

Будь-який вектор форми

\[\mathbf{u}=\begin{pmatrix} a\\ ia \end{pmatrix} \nonumber\]

є власним вектором\(\mathbf{M}\) з власним значенням\(\lambda=i\).

Для нормалізації вектора (Розділ 14.4) обчислюємо модуль вектора за допомогою точкового добутку:

\[|\mathbf{u}|^2=\mathbf{u}^*\cdot\mathbf{u} \nonumber\]

(див. Розділ 14.2 для обговорення точкового добутку складних векторів)

\[|\mathbf{u}|^2=\mathbf{u}^*\cdot\mathbf{u}=a^2+(ia)(-ia)=a^2+a^2=2a^2\rightarrow |\mathbf{u}|=\pm\sqrt{2}a \nonumber\]

і розділимо вектор на його модуль.

Отже,\(\lambda =i\) нормовані власні вектори для

\[\hat{\mathbf{u}}=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ i \end{pmatrix} \nonumber\]

Для\(\lambda =-i\):

\[\begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}=-i\begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} \nonumber\]

\[y_1=-ix_1 \nonumber\]

\[-x_1=-i y_1 \nonumber\]

З будь-якого з них ми отримуємо

\[y_1=-i x_1. \nonumber\]

Будь-який вектор форми

\[\mathbf{v}=\begin{pmatrix} a\\ -ia \end{pmatrix} \nonumber\]

є власним вектором\(\mathbf{M}\) з власним значенням\(\lambda=-i\).

Для нормалізації вектора обчислюємо точковий добуток:

\[|\mathbf{v}|^2=\mathbf{v}^*\cdot\mathbf{v}=a^2+(-ia)(ia)=a^2+a^2=2a^2\rightarrow |\mathbf{v}| =\pm\sqrt{2}a \nonumber\]

Отже,\(\lambda =-i\) нормовані власні вектори для

\[\hat{\mathbf{v}}=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ -i \end{pmatrix} \nonumber\]

Власні значення матриці: деякі важливі властивості

1) Власними значеннями трикутної матриці є діагональні елементи.

\[\begin{pmatrix} a&b&c\\ 0&d&e\\ 0&0&f \end{pmatrix}\rightarrow \lambda_1=a;\;\lambda_2=d;\;\lambda_3=f \nonumber\]

2) Якщо\(\lambda_1\),\(\lambda_2\)... ,\(\lambda_n\), є власними значеннями матриці\(\mathbf{A}\), тоді\(|\mathbf{A}|= \lambda_1\lambda_2...\lambda_n\)

3) Слід матриці\(\mathbf{A}\) дорівнює сумі всіх власних значень матриці\(\mathbf{A}\).

Наприклад, для матриці

\[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1&1\\ -2&4 \end{pmatrix}\rightarrow |\mathbf{A}|=6=\lambda_1\lambda_2;\;Tr(\mathbf{A})=5=\lambda_1+\lambda_2 \nonumber\]

Для\(2\times 2\) матриці слід і визначник є достатньою інформацією для отримання власних значень:\(\lambda_1=2\) і\(\lambda_2=3\).

4) Симетричні матриці - ті, які мають «дзеркальну площину» по діагоналі північний схід - південний захід (тобто\(\mathbf{A}=\mathbf{A}^T\)), повинні мати всі реальні власні значення. Їх власні вектори взаємно ортогональні.

Наприклад, для матриці

\[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} -2&4&0\\ 4&1&-1\\ 0&-1&-3 \end{pmatrix} \nonumber\]

три власні значення є\(\lambda_1=1+\sqrt{21}\),\(\lambda_2=1-\sqrt{21}\),\(\lambda_3=-2\), і три власні вектори:

\[ \begin{array}{c} \mathbf{u}_1=\begin{pmatrix} -5-\sqrt{21}\\ -4-\sqrt{21}\\ 1 \end{pmatrix}, & \mathbf{u}_2=\begin{pmatrix} -5+\sqrt{21}\\ -4+\sqrt{21}\\ 1 \end{pmatrix}, & \text{and} & \mathbf{u}_3=\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \end{array} \nonumber\]

Ви можете довести, що власні вектори взаємно ортогональні, взявши їх точкові добутки.