Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

15.5: Інверсія матриці

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    18377

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Зворотна квадратна матриця\(\mathbf{A}\), яку іноді називають зворотною матрицею, являє собою матрицю\(\mathbf{A}^{-1}\) таку\(\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{I}\), що, де\(\mathbf{I}\) знаходиться матриця ідентичності.

    Його легко отримати\(\mathbf{A}^{-1}\) в разі\(2\times 2\) матриці:

    \[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix};\;\mathbf{A}^{-1}=\begin{pmatrix} e&f \\ g&h \end{pmatrix} \nonumber\]

    \[\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e&f \\ g&h \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \nonumber\]

    \[\label{eq:matrices_inverse1} ae+bg=1\]

    \[\label{eq:matrices_inverse2} af+bh=0\]

    \[\label{eq:matrices_inverse3} ce+dg=0\]

    \[\label{eq:matrices_inverse4} cf+dh=1\]

    З рівнянь\ ref {eq:matrices_inverse1} і\ ref {eq:matrices_inverse3}:\(g=(1-ae)/b=-ce/d\rightarrow ae=cbe/d+1\rightarrow e\left(a-cb/d\right)=1\rightarrow e\left(ad-cb\right)=d\rightarrow e=d/(ad-cb)\). Ви можете отримати вирази для\(f,g\) і\(h\) аналогічним чином отримати:

    \[\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d&-b \\ -c&a \end{pmatrix} \nonumber\]

    Зверніть увагу, що термін\((ad-bc)\) є детермінантою\(\mathbf{A}\), і тому\(\mathbf{A}^{-1}\) існує лише в тому випадку, якщо\(|\mathbf{A}|\neq 0\). Іншими словами, зворотна матриця однини не визначена.

    Якщо ви думаєте про квадратну матрицю як про оператор, зворотний «скасовує» те, що робить вихідна матриця. Наприклад\(\begin{pmatrix} -2&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\), матриця при застосуванні до\((x,y)\) вектора дає\((-2x,y)\):

    \[\begin{pmatrix} -2&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2x\\ y \end{pmatrix} \nonumber\]

    Обернене\(\mathbf{A}\), коли застосовується до\((-2x,y)\), повертає початковий вектор,\((x,y)\):

    \[\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d&-b \\ -c&a \end{pmatrix}\rightarrow \mathbf{A}^{-1}= -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-2 \end{pmatrix} \nonumber\]

    \[-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \nonumber\]

    Звичайно, можна обчислити зворотні матриці більш високих розмірів, але в цьому курсі від вас не буде потрібно робити це вручну.