Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

15.9: Проблеми

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    18376

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Проблема\(\PageIndex{1}\)

    Враховується

    \[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 2&3&-1 \\ -5&0&6\\ 0&2&3 \end{pmatrix}\; ;\mathbf{B}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\0 \end{pmatrix}\; ;\mathbf{C}=\begin{pmatrix} 0&1\\ 2&0\\-1&3 \end{pmatrix} \nonumber\]

    Помножте всі можливі пари матриць.

    Проблема\(\PageIndex{2}\)

    Матричне представлення спінової\(1/2\) системи було введено Паулі в 1926 році. Спінові матриці Паулі є матричним представленням оператора кутового моменту для однієї спінової\(1/2\) системи і визначаються як:

    \[\mathbf{\sigma_x}=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\; ;\mathbf{\sigma_y}=\begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0 \end{pmatrix}\; ;\mathbf{\sigma_z}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} \nonumber\]

    1. Покажіть, що\(\mathbf{\sigma_x}\mathbf{\sigma_y}=i\mathbf{\sigma_z}\),\(\mathbf{\sigma_y}\mathbf{\sigma_z}=i\mathbf{\sigma_x}\) і\(\mathbf{\sigma_z}\mathbf{\sigma_x}=i\mathbf{\sigma_y}\)
    2. Обчисліть комутатор\(\left[\mathbf{\sigma_x},\mathbf{\sigma_y} \right]\).
    3. Покажіть\(\mathbf{\sigma_x}^2=\mathbf{\sigma_y}^2=\mathbf{\sigma_z}^2=\mathbf{I}\), що, де\(\mathbf{I}\) знаходиться матриця ідентичності. Підказка: як і у випадку з числами, квадрат матриці - це матриця, помножена на себе.

    Проблема\(\PageIndex{3}\)

    Оператор інверсії,\(\hat i\) перетворює точку\((x,y,z)\) в\((-x,-y,-z)\). Запишіть матрицю, яка відповідає цьому оператору.

    symmetry_i.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Оператор інверсії (CC BY-NC-SA; Марсія Левітус)

    Проблема\(\PageIndex{4}\)

    Обчисліть зворотне\(\mathbf{A}\) за визначенням.

    \[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1&-2 \\ 0&1 \end{pmatrix} \nonumber\]

    Проблема\(\PageIndex{5}\)

    Обчисліть зворотне\(\mathbf{A}\) за визначенням.

    \[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} \cos \theta&-\sin \theta \\ \sin \theta&\cos \theta \end{pmatrix} \nonumber\]

    Проблема\(\PageIndex{6}\)

    Знайти власні значення та номалізовані власні вектори

    \[\mathbf{M_1}=\begin{pmatrix} 2&0 \\ 0&-3 \end{pmatrix} \nonumber\]

    \[\mathbf{M_2}=\begin{pmatrix} 1&1+i \\ 1-i&1 \end{pmatrix} \nonumber\]

    Проблема\(\PageIndex{7}\)

    Враховуючи,

    \[\mathbf{M_3}=\begin{pmatrix} 1&1-i \\ 1+i&1 \end{pmatrix} \nonumber\]

    1. Покажіть, що матриця Ермітіана.
    2. Обчисліть власні вектори і довести, що вони ортогональні.