15.3: Множення матриць

Якщо\(\mathbf{A}\) має розміри\(m\times n\) і\(\mathbf{B}\) має розміри\(n\times p\), то виріб\(\mathbf{AB}\) визначається, і має розміри\(m\times p\).

Запис\((ab)_{ij}\) отримується\(i\) множенням рядка\(\mathbf{A}\) на стовпець\(j\)\(\mathbf{B}\), що робиться шляхом множення відповідних записів разом з подальшим додаванням результатів:

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Множення матриці (CC BY-NC-SA; Марсія Левітус)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розрахувати товар

\[\begin{pmatrix} 1 &-2 &4 \\ 5 &0 &3 \\ 0 & 1/2 &9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 5 &3 \\ -1 &0 \end{pmatrix} \nonumber\]

Рішення

Нам потрібно помножити\(3\times 3\) матрицю на\(3\times 2\) матрицю, тому ми очікуємо\(3\times 2\) матрицю в результаті.

\[\begin{pmatrix} 1 &-2 &4 \\ 5 &0 &3 \\ 0 & 1/2 &9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 5 &3 \\ -1 &0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\ e &f \end{pmatrix} \nonumber\]

Для обчислення\(a\), який є запис (1,1), використовуємо рядок 1 матриці зліва і стовпець 1 матриці праворуч:

\[\begin{pmatrix} {\color{red}1} &{\color{red}-2} &{\color{red}4} \\ 5 &0 &3 \\ 0 & 1/2 &9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {\color{red}1} &0 \\ {\color{red}5} &3 \\ {\color{red}-1} &0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {\color{red}a}&b \\ c&d \\ e &f \end{pmatrix}\rightarrow a=1\times 1+(-2)\times 5+4\times (-1)=-13 \nonumber\]

Для обчислення\(b\), який є запис (1,2), використовуємо рядок 1 матриці зліва і стовпець 2 матриці праворуч:

\[\begin{pmatrix} {\color{red}1} &{\color{red}-2} &{\color{red}4} \\ 5 &0 &3 \\ 0 & 1/2 &9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&{\color{red}0} \\ 5&{\color{red}3} \\ -1&{\color{red}0} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a&{\color{red}b} \\ c&d \\ e &f \end{pmatrix}\rightarrow b=1\times 0+(-2)\times 3+4\times 0=-6 \nonumber\]

Для обчислення\(c\), який є запис (2,1), використовуємо рядок 2 матриці зліва і стовпець 1 матриці праворуч:

\[\begin{pmatrix} 1&-2&4\\ {\color{red}5} &{\color{red}0} &{\color{red}3} \\ 0 & 1/2 &9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {\color{red}1} &0 \\ {\color{red}5} &3 \\ {\color{red}-1} &0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a&b \\ {\color{red}c}&d \\ e &f \end{pmatrix}\rightarrow c=5\times 1+0\times 5+3\times (-1)=2 \nonumber\]

Для обчислення\(d\), який є запис (2,2), використовуємо рядок 2 матриці зліва і стовпець 2 матриці праворуч:

\[\begin{pmatrix} 1&-2&4\\ {\color{red}5} &{\color{red}0} &{\color{red}3} \\ 0 & 1/2 &9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&{\color{red}0} \\ 5&{\color{red}3} \\ -1&{\color{red}0} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a&b \\ c&{\color{red}d} \\ e &f \end{pmatrix}\rightarrow d=5\times 0+0\times 3+3\times 0=0 \nonumber\]

Для обчислення\(e\), який є запис (3,1), використовуємо рядок 3 матриці зліва і стовпець 1 матриці праворуч:

\[\begin{pmatrix} 1&-2&4\\ 5&0&3 \\ {\color{red}0} &{\color{red}1/2} &{\color{red}9} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {\color{red}1} &0 \\ {\color{red}5} &3 \\ {\color{red}-1} &0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\ {\color{red}e} &f \end{pmatrix}\rightarrow e=0\times 1+1/2\times 5+9\times (-1)=-13/2 \nonumber\]

Для обчислення\(f\), яка є запис (3,2), використовуємо рядок 3 матриці зліва і стовпець 2 матриці праворуч:

\[\begin{pmatrix} 1&-2&4\\ 5&0&3 \\ {\color{red}0} &{\color{red}1/2} &{\color{red}9} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&{\color{red}0} \\ 5&{\color{red}3} \\ -1&{\color{red}0} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\ e&{\color{red}f} \end{pmatrix}\rightarrow f=0\times 0+1/2\times 3+9\times 0=3/2 \nonumber\]

В результаті виходить:

\[\displaystyle{\color{Maroon}\begin{pmatrix} 1 &-2 &4 \\ 5 &0 &3 \\ 0 & 1/2 &9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 5 &3 \\ -1 &0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -13&-6 \\ 2&0 \\ -13/2 &3/2 \end{pmatrix}} \nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Розрахувати

\[\begin{pmatrix} 1 &-2 &4 \\ 5 &0 &3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\nonumber\]

Рішення

Нас просять помножити\(2\times 3\) матрицю на\(3\times 1\) матрицю (вектор стовпця). Результатом буде\(2\times 1\) матриця (вектор).

\[\begin{pmatrix} 1 &-2 &4 \\ 5 &0 &3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\nonumber\]

\[a=1\times1+(-2)\times 5+ 4\times (-1)=-13\nonumber\]

\[b=5\times1+0\times 5+ 3\times (-1)=2\nonumber\]

Рішення полягає в:

\[\displaystyle{\color{Maroon}\begin{pmatrix} 1 &-2 &4 \\ 5 &0 &3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -13 \\ 2 \end{pmatrix}}\nonumber\]

Потрібна допомога? Посилання нижче містить розв'язані приклади: Множення матриць різної форми (три приклади): http://tinyurl.com/kn8ysqq

Зовнішні посилання:

• Множення матриць, приклад 1: http://patrickjmt.com/matrices-multiplying-a-matrix-by-another-matrix/
• Множення матриць, приклад 2: http://patrickjmt.com/multiplying-matrices-example-2/
• Множення матриць, приклад 3: http://patrickjmt.com/multiplying-matrices-example-3/

Комутатор

Матричне множення не є, в загальному, комутативним. Наприклад, ми можемо виконати

\[\begin{pmatrix} 1 &-2 &4 \\ 5 &0 &3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -13 \\ 2 \end{pmatrix} \nonumber\]

але не може виконувати

\[\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &-2 &4 \\ 5 &0 &3 \\ \end{pmatrix} \nonumber\]

Навіть з квадратними матрицями, які можна множити обома способами, множення не є комутативним. У цьому випадку корисно визначити комутатор, який визначається як:

\[[\mathbf{A},\mathbf{B}]=\mathbf{A}\mathbf{B}-\mathbf{B}\mathbf{A} \nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Дано\(\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 3&1 \\ 2&0 \end{pmatrix}\) і\(\mathbf{B}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ -1&2 \end{pmatrix}\)

Обчисліть комутатор\([\mathbf{A},\mathbf{B}]\)

Рішення

\[[\mathbf{A},\mathbf{B}]=\mathbf{A}\mathbf{B}-\mathbf{B}\mathbf{A}\nonumber\]

\[\mathbf{A}\mathbf{B}=\begin{pmatrix} 3&1 \\ 2&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0 \\ -1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\times 1+1\times (-1)&3\times 0 +1\times 2 \\ 2\times 1+0\times (-1)&2\times 0+ 0\times 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&2 \\ 2&0 \end{pmatrix}\nonumber\]

\[\mathbf{B}\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ -1&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3&1 \\ 2&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\times 3+0\times 2&1\times 1 +0\times 0 \\ -1\times 3+2\times 2&-1\times 1+2\times 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3&1 \\ 1&-1 \end{pmatrix}\nonumber\]

\[[\mathbf{A},\mathbf{B}]=\mathbf{A}\mathbf{B}-\mathbf{B}\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 2&2 \\ 2&0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3&1 \\ 1&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}\nonumber\]

\[\displaystyle{\color{Maroon}[\mathbf{A},\mathbf{B}]=\begin{pmatrix} -1&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}}\nonumber\]

Множення вектора на скаляр

Множення вектора\(\vec{v_1}\) на скаляр\(n\) дає інший вектор тих же розмірів, який лежить в тому ж напрямку, що і\(\vec{v_1}\);

\[n\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} nx \\ ny \end{pmatrix} \nonumber\]

Скаляр може розтягувати або стискати довжину вектора, але не може обертати його (рис. [рис:vector_by_scalar]).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Множення вектора на скаляр (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)

Множення квадратної матриці на вектор

Множення вектора\(\vec{v_1}\) на квадратну матрицю дає інший вектор таких же розмірів\(\vec{v_1}\). Наприклад, ми можемо помножити\(2\times 2\) матрицю і двовимірний вектор:

\[\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax+by \\ cx+dy \end{pmatrix} \nonumber\]

Для прикладу розглянемо матрицю

\[\mathbf{A}=\begin{pmatrix} -2 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix} \nonumber\]

Виріб

\[\begin{pmatrix} -2&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \nonumber\]

є

\[\begin{pmatrix} -2x \\ y \end{pmatrix} \nonumber\]

Ми бачимо, що\(2\times 2\) матриці діють як оператори, які перетворюють один двовимірний вектор в інший двовимірний вектор. Саме ця матриця зберігає значення\(y\) постійної і множить значення\(x\) на -2 (рис.\(\PageIndex{3}\)).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Множення вектора на квадратну матрицю (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)

Зверніть увагу, що матриці є корисними способами представлення операторів, які змінюють орієнтацію та розмір вектора. Важливим класом операторів, що представляють особливий інтерес для хіміків, є так звані оператори симетрії.