12: Вектори в просторі

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 11.6: Глава 11 Огляд вправ
- 12.0: Прелюдія до векторів у просторі

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Величина, яка має величину і напрямок, називається вектором. Вектори мають багато реальних застосувань, включаючи ситуації, пов'язані з силою або швидкістю. Наприклад, розглянемо сили, що діють на човні, що перетинає річку. Мотор човна генерує силу в одному напрямку, а протягом річки генерує силу в іншому напрямку. Обидві сили є векторами. Ми повинні враховувати як величину, так і напрямок кожної сили, якщо хочемо знати, куди піде човен.

12.0: Прелюдія до векторів у просторі
12.1: Вектори в площині
При вимірюванні такої сили, як тяга двигунів літака, важливо описати не тільки силу цієї сили, але і напрямок, в якому вона застосовується. Деякі величини, такі як або сила, визначаються як розміром (також називається величиною), так і напрямком. Величина, яка має величину і напрямок, називається вектором.
- 12.1E: Вправи для розділу 12.1
12.2: Вектори в трьох вимірах
Щоб розширити використання векторів до більш реалістичних додатків, необхідно створити рамки для опису тривимірного простору. У цьому розділі представлено природне розширення двовимірної декартової координатної площини на три виміри.
- 12.2E: Вправи для розділу 12.2
12.3: Точковий продукт
У цьому розділі ми розробляємо операцію під назвою точковий добуток, яка дозволяє обчислити роботу в тому випадку, коли вектор сили і вектор руху мають різні напрямки. Точковий добуток по суті говорить нам, скільки вектора сили прикладено у напрямку вектора руху. Точковий добуток також може допомогти нам виміряти кут, утворений парою векторів, і положення вектора щодо осей координат.
- 12.3E: Вправи для розділу 12.3
12.4: Хрестовий продукт
У цьому розділі ми розробляємо операцію, яка називається перехресним добутком, яка дозволяє знайти вектор, ортогональний двом заданим векторам. Розрахунок крутного моменту є важливим застосуванням поперечних виробів, і ми більш детально розглянемо крутний момент пізніше в розділі.
- 12.4E: Вправи для розділу 12.4
12.5: Рівняння ліній і площин у просторі
Щоб написати рівняння для прямої, ми повинні знати дві точки на лінії, або ми повинні знати напрямок лінії і принаймні одну точку, через яку проходить лінія. У двох вимірах ми використовуємо поняття нахилу для опису орієнтації або напрямку лінії. У трьох вимірах ми опишемо напрямок прямої за допомогою вектора, паралельного прямої. У цьому розділі ми розглянемо, як використовувати рівняння для опису ліній і площин у просторі.
- 12.5E: Вправи для розділу 12.5
12.6: Квадричні поверхні
Ми вивчали вектори та векторні операції в тривимірному просторі і розробили рівняння для опису ліній, площин і сфер. У цьому розділі ми використовуємо наші знання про площини та сфери, які є прикладами тривимірних фігур, які називаються поверхнями, для дослідження безлічі інших поверхонь, які можуть бути побудовані у тривимірній системі координат.
- 12.6E: Вправи для розділу 12.6
12.7: Циліндричні та сферичні координати
У цьому розділі ми розглянемо два різних способи опису розташування точок у просторі, обидва вони засновані на розширеннях полярних координат. Як випливає з назви, циліндричні координати корисні для вирішення проблем, пов'язаних з циліндрами, наприклад, обчислення об'єму круглого резервуара для води або кількості масла, що протікає через трубу. Аналогічно сферичні координати корисні для вирішення проблем, пов'язаних із сферами, такими як знаходження обсягу купольних конструкцій.
- 12.7E: Вправи для розділу 12.7
12.8: Глава 12 Огляд вправ