12.8: Глава 12 Огляд вправ

Для вправ 1 - 4 визначте, чи є твердження істинним або хибним. Обгрунтуйте відповідь доказом або зустрічнимприкладом.

1) Для векторів$\vecs a$ і$\vecs b$ і будь-якого заданого скаляра$c, \, c(\vecs a⋅\vecs b)=(c\vecs a)⋅\vecs b.$

Відповідь

Правда; Див. Доказ у розділі 11.3

2) Для векторів$\vecs a$ і$\vecs b$ і будь-якого заданого скаляра$c, \, c(\vecs a×\vecs b)=(c\vecs a)×\vecs b$.

3) Симетричне рівняння для лінії перетину між двома площинами$x+y+z=2$ і$x+2y−4z=5$ задається$−\frac{x−1}{6}=\frac{y−1}{5}=z.$

Відповідь

False, перетворюючи симетричні рівняння вище в параметричні рівняння прямої, отримуємо:
$x = 1 - 6t$
$y = 1 + 5t$
$z = t$

Якщо ця лінія лежить на кожній площині, ми повинні отримати тотожність (як 5 = 5), коли ми підставити кожний вираз$t$ у рівняння кожної площини.

Підставляючи в першу площину рівняння, ми отримуємо:$(1-6t) + (1+5t) + t = 2\,\checkmark$

Таким чином, ми знаємо, що ця лінія дійсно лежить на першій площині.

Але коли ми підставляємо рівняння другої площини, ми отримуємо:$(1 - 6t) + 2(1 + 5t) - 4(t) = 1 - 6t + 2 + 10t - 4t = 3 \neq 5$

Оскільки ми не отримуємо ідентичність, ми знаємо, що ця лінія не знаходиться на другій площині і тому не може бути лінією перетину дві площини.

4) Якщо$\vecs a⋅\vecs b=0,$ то$\vecs a$ перпендикулярно$\vecs b$.

Відповідь

False, так як$\vecs a$ або$\vecs b$ може бути також нульовим вектором.

Для вправ 5 і 6 використовуйте задані вектори, щоб знайти величини.

5)$\vecs a=9\hat{\mathbf{i}}−2\hat{\mathbf{j}},\quad \vecs b=−3\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{k}}$

а.$3\vecs a+\vecs b$

б.$\|\vecs a\|$

c.$\vecs a×\|\vecs b×\vecs a\|$

д.$\|\vecs b×\vecs a\|$

Відповідь

a.$⟨24,−6, 1⟩$
b.$\sqrt{85}$
c. Не вдається перетнути вектор зі скаляром
d.$11$

6)$\vecs a=2\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}−9\hat{\mathbf{k}},\quad \vecs b=−\hat{\mathbf{i}}+2\hat{\mathbf{k}},\quad \vecs c=4\hat{\mathbf{i}}−2\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}$

а.$2\vecs a−\vecs b$

б.$\|\vecs b×\vecs c\|$

c.$\vecs b×\left(\vecs b×\vecs c\right)$

д.$\vecs c×\|\vecs b×\vecs a\|$

е.$\text{Proj}_\vecs{a}\vecs b$

7) Знайти значення$a$ таких, що вектори$⟨2,4,a⟩$ і$⟨0,−1,a⟩$ є ортогональними.

Відповідь

$a=±2$

Для вправ 8 і 9 знайдіть одиничні вектори.

8) Знайдіть одиничний вектор, який має той самий напрямок,$\vecs v$ що і вектор, який починається$(0,−3)$ і закінчується$(4,10).$

9) Знайдіть одиничний вектор, який має той самий напрямок,$\vecs v$ що і вектор, який починається$(1,4,10)$ і закінчується$(3,0,4).$

Відповідь

$⟨\frac{1}{\sqrt{14}},−\frac{2}{\sqrt{14}},−\frac{3}{\sqrt{14}}⟩ = ⟨\frac{\sqrt{14}}{14},−\frac{\sqrt{14}}{7},−\frac{3\sqrt{14}}{14}⟩$

Для вправ 10 і 11 знайдіть площу або обсяг заданих фігур.

10) Паралелограм, що охоплюється векторами$\vecs a=⟨1,13⟩$ і$\vecs b=⟨3,21⟩$

11) Паралелепіпед, утворений$\vecs a=⟨1,4,1⟩$ і$\vecs b=⟨3,6,2⟩,$ і$\vecs c=⟨−2,1,−5⟩$

Відповідь

$27$одиниць$^2$

Для вправ 12 і 13 знайдіть параметричні рівняння і векторне рівняння прямої з заданими властивостями.

12) Лінія, яка проходить через точку$(2,−3,7)$, паралельну вектору$⟨1,3,−2⟩$

13) Лінія, яка проходить через точки$(1,3,5)$ і$(−2,6,−3)$

Відповідь

$x=1−3t,y=3+3t,z=5−8t,\quad \vecs r(t)=(1−3t)\hat{\mathbf{i}}+3(1+t)\hat{\mathbf{j}}+(5−8t)\hat{\mathbf{k}}$

Для вправ 14 і 15 знайдіть рівняння площини з заданими властивостями.

14) Площина, яка проходить через точку$(4,7,−1)$ і має нормальний вектор$\vecs n=⟨3,4,2⟩$

15) Площина, яка проходить через точки$(0,1,5),(2,−1,6),$ і$(3,2,5).$

Відповідь

$−x+3y+8z=43$

Для вправ 16 і 17 знайдіть сліди для поверхонь в площинами$x=k,y=k$, а$z=k.$ потім, опишіть і намалюйте поверхні.

16)$9x^2+4y^2−16y+36z^2=20$

17)$x^2=y^2+z^2$

Відповідь

$x=k$trace:$k^2=y^2+z^2$ коло,$y=k$ трасування:$x^2−z^2=k^2$ є гіперболою (або парою рядків, якщо$k=0), z=k$ trace:$x^2−y^2=k^2$ є гіперболою (або парою рядків, якщо$k=0$). Поверхня являє собою конус.

Для вправ 18 і 19 запишіть задане рівняння в циліндричних координатах і сферичних координатах.

18)$x^2+y^2+z^2=144$

19)$z=x^2+y^2−1$

Відповідь

Циліндричні:$z=r^2−1,$ сферичні:$\cos φ=ρ\sin^2 φ−\frac{1}{ρ}$

Для вправ 20 і 21 перетворіть задані рівняння з циліндричних або сферичних координат в прямокутні координати. Визначте задану поверхню.

20)$ρ^2(\sin^2(φ)−\cos^2(φ))=1$

21)$r^2−2r\cos(θ)+z^2=1$

Відповідь

$x^2−2x+y^2+z^2=1$, сфера

Для вправ 22 і 23 розгляньте невеликий човен, що перетинає річку.

22) Якщо швидкість човна$5$ км/год обумовлена північністю в негазованій воді, а вода має струм$2$ км/год через захід (див. Наступний малюнок), яка швидкість човна щодо берега? Який кут,$θ$ що човен насправді подорожує?

23) Коли човен досягає берега, людям кидають дві мотузки, щоб допомогти витягнути човен на берег. Одна мотузка знаходиться під кутом,$25°$ а інша - під$35°$. Якщо човен потрібно тягнути прямо і з силою$500$ N, знайдіть величину сили для кожної мотузки (див. Наступний малюнок).

Відповідь

331 Н і 244 Н

24) Літак летить у напрямку 52° на схід від півночі зі швидкістю 450 км/год. Сильний вітер має підшипник 33° на схід від півночі зі швидкістю 50 миль/год. Яка результуюча швидкість землі та підшипник літака?

25) Обчисліть виконану роботу переміщенням частинки з положення$(1,2,0)$ в$(8,4,5)$ уздовж прямої з силою$\vecs F=2\hat{\mathbf{i}}+3\hat{\mathbf{j}}−\hat{\mathbf{k}}.$

Відповідь

$15$J

У задачах 26 і 27 розгляньте вашу невдалу спробу зняти шину з вашого автомобіля за допомогою гайкового ключа, щоб послабити болти. Припустимо, що гайковий ключ довжиною$0.3$ м, і ви в змозі застосувати силу 200-Н.

26) Оскільки ваша шина спущена, ви можете застосувати свою силу лише$60°$ під кутом. Який крутний момент в центрі болта? Припустимо, цього зусилля недостатньо, щоб послабити болт.

27) Хтось позичає вам домкрат для шин, і тепер ви можете застосувати силу 200-N$80°$ під кутом. Ваш результуючий крутний момент буде більш-менш? Який новий отриманий крутний момент в центрі болта? Припустимо, цього зусилля недостатньо, щоб послабити болт.

Відповідь

Більше,$59.09$ Дж

Дописувачі

Template:ContribOpenStaxCalc