5: Інтеграція
- Page ID
- 61765
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- 5.0: Прелюдія до інтеграції
- Визначення відстані від швидкості - лише одне з багатьох застосувань інтеграції. Насправді інтеграли використовуються в широкому спектрі механічних і фізичних застосувань. У цьому розділі ми вперше представимо теорію інтеграції та використовуємо інтеграли для обчислення площ. Звідти ми розробляємо фундаментальну теорему числення, яка стосується диференціювання та інтеграції. Потім ми вивчаємо деякі основні методи інтеграції та коротко розглянемо деякі програми.
- 5.1: Апроксимаційні області
- У цьому розділі ми розробляємо методи наближення площі між кривою, визначеною функцією f (x), і віссю x на замкнутому інтервалі [a, b]. Як і Архімед, ми спочатку наближаємо площу під кривою, використовуючи форми відомої області (а саме прямокутники). Використовуючи менші та менші прямокутники, ми отримуємо все ближче і ближче наближення до площі. Прийняття ліміту дозволяє обчислити точну площу під кривою.
- 5.2: Певний інтеграл
- Якщо f (x) є функцією, визначеною на інтервалі [a, b], то певний інтеграл f від a до b задається за\[∫^b_af(x)dx=\lim_{n→∞} \sum_{i=1}^nf(x^∗_i)Δx,\] умови, що межа існує. Якщо ця межа існує, функція f (x), як кажуть, інтегрується на [a, b], або є інтегровною функцією. Числа a і b називаються межами інтеграції; конкретно, a - нижня межа, а b - верхня межа. Функція f (x) - це ціле число, а x - змінна інтеграції.
- 5.3: Фундаментальна теорема числення
- Фундаментальна теорема числення дала нам метод оцінки інтегралів без використання сум Рімана. Недолік цього методу, однак, полягає в тому, що ми повинні вміти знайти антидериватив, і це не завжди легко.
- 5.4: Інтеграційні формули та теорема про чисті зміни
- Теорема чистих змін стверджує, що при зміні величини кінцеве значення дорівнює початковому значенню плюс інтеграл швидкості зміни. Чиста зміна може бути додатним числом, від'ємним числом або нулем. Площа під парною функцією протягом симетричного інтервалу можна обчислити шляхом подвоєння площі над додатною віссю x. Для непарної функції інтеграл через симетричний інтервал дорівнює нулю, оскільки половина площі від'ємна.
- 5.5: Заміна
- У цьому розділі ми розглядаємо метод, який називається інтеграцією шляхом заміщення, щоб допомогти нам знайти антипохідні. Зокрема, цей метод допомагає нам знайти антипохідні, коли integrand є результатом похідної ланцюгового правила.
- 5.6: Інтеграли, що включають експоненціальні та логарифмічні функції
- Експоненціальні та логарифмічні функції виникають у багатьох реальних програмах, особливо тих, що стосуються зростання та занепаду. Заміна часто використовується для оцінки інтегралів за участю експоненціальних функцій або логарифмів.
- 5.7: Інтеграли, що призводять до зворотних тригонометричних функцій
- Нагадаємо, що тригонометричні функції не є один-на-один, якщо домени не обмежені. При роботі з інверсами тригонометричних функцій нам завжди потрібно бути обережними, щоб врахувати ці обмеження. Також у похідних розроблено формули для похідних обернених тригонометричних функцій. Розроблені там формули породжують безпосередньо інтеграційні формули, що включають обернені тригонометричні функції.