5.3: Фундаментальна теорема числення

Цілі навчання

• Опишіть значення теореми про середнє значення для інтегралів.
• Викладіть значення фундаментальної теореми числення, частина 1.
• Використовуйте фундаментальну теорему числення, частина 1, для оцінки похідних інтегралів.
• Викладіть значення фундаментальної теореми числення, частина 2.
• Використовуйте фундаментальну теорему числення, частина 2, для оцінки певних інтегралів.
• Поясніть взаємозв'язок між диференціацією та інтеграцією.

У попередніх двох розділах ми розглянули певний інтеграл та його зв'язок з площею під кривою функції. На жаль, поки що єдиними інструментами, які ми маємо для обчислення значення певного інтеграла, є формули геометричної площі та межі сум Рімана, і обидва підходи надзвичайно громіздкі. У цьому розділі ми розглянемо деякі більш потужні та корисні методи оцінки певних інтегралів.

Ці нові методи покладаються на взаємозв'язок між диференціацією та інтеграцією. Цей зв'язок був виявлений та досліджений як сером Ісааком Ньютоном, так і Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем (серед інших) протягом кінця 1600-х і початку 1700-х років, і він кодифікований у тому, що ми зараз називаємо фундаментальною теоремою обчислення, яка має дві частини, які ми розглядаємо в цьому розділі. Сама його назва вказує на те, наскільки центральною є ця теорема у всьому розвитку числення.

Внесок Ісаака Ньютона в математику та фізику змінив наш погляд на світ. Відносини, які він відкрив, кодифіковані як закони Ньютона та закон всесвітнього тяжіння, досі викладаються як основний матеріал у фізиці сьогодні, і його обчислення породило цілі галузі математики.

Перш ніж ми перейдемо до цієї важливої теореми, однак, давайте розглянемо ще одну важливу теорему - теорему середнього значення для інтегралів, яка необхідна для доведення фундаментальної теореми числення.

Теорема про середнє значення для інтегралів

Теорема про середнє значення для інтегралів стверджує, що неперервна функція на замкнутому інтервалі приймає своє середнє значення в тій же точці цього інтервалу. Теорема гарантує,\(f(x)\) що якщо неперервна, точка\(c\) існує в\([a,b]\) такому інтервалі, що значення функції в\(c\) дорівнює середньому значенню\(f(x)\) над\([a,b]\). Викладемо цю теорему математично за допомогою формули для середнього значення функції, яку ми представили в кінці попереднього розділу.

Теорема\(\PageIndex{1}\): The Mean Value Theorem for Integrals

Якщо\(f(x)\) безперервний протягом інтервалу\([a,b]\), то є хоча б одна точка\(c∈[a,b]\) така, що

\[f(c)=\dfrac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx. \nonumber \]

Цю формулу також можна заявити як

\[∫^b_af(x)\,dx=f(c)(b−a). \label{meanvaluetheorem} \]

Оскільки\(f(x)\) є неперервним\([a,b]\), за теоремою екстремальних значень (див. Розділ про Максими та Мініми), він приймає мінімальне та максимальне значення -\(m\) і\(M\), відповідно, - на\([a,b]\). Тоді, для всіх\([a,b]\),\(x\) у нас є\(m≤f(x)≤M.\) Тому, за теоремою порівняння (див. Розділ про певний інтеграл), ми маємо

\[ m(b−a)≤∫^b_af(x)\,dx≤M(b−a). \nonumber \]

Доказ

Оскільки\(f(x)\) є неперервним\([a,b]\), за теоремою екстремальних значень (див. Розділ про Максими та Мініми), він приймає мінімальне та максимальне значення -\(m\) і\(M\), відповідно, - на\([a,b]\). Тоді, для всіх\([a,b]\),\(x\) у нас є\(m≤f(x)≤M.\) Тому, за теоремою порівняння (див. Розділ про певний інтеграл), ми маємо

\[ m(b−a)≤∫^b_af(x)\,dx≤M(b−a). \nonumber \]

Розділення на\(b−a\) дає нам

\[ m≤\frac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx≤M. \nonumber \]

Оскільки\(\displaystyle \frac{1}{b−a}∫^b_a f(x)\,dx\) є числом між\(m\) і\(M\), а оскільки\(f(x)\) є безперервним і приймає значення\(m\) і\(M\) більше\([a,b]\), за теоремою проміжних значень, існує число\(c\) над\([a,b]\) таким, що

\[ f(c)=\frac{1}{b−a}∫^b_a f(x)\,dx, \nonumber \]

і доказ повний.

□

Приклад\(\PageIndex{1}\): Finding the Average Value of a Function

Знайдіть середнє значення функції\(f(x)=8−2x\) за інтервал\([0,4]\) і знайдіть\(c\) таке, що\(f(c)\) дорівнює середньому значенню функції за\([0,4].\)

Рішення

Формула стверджує середнє значення\(f(x)\) is given by

\[\displaystyle \frac{1}{4−0}∫^4_0(8−2x)\,dx. \nonumber \]

Ми бачимо на малюнку\(\PageIndex{1}\), що функція являє собою пряму лінію і утворює прямокутний трикутник, обмежений\(x\)- and \(y\)-axes. The area of the triangle is \(A=\frac{1}{2}(base)(height).\) We have

\[A=\dfrac{1}{2}(4)(8)=16. \nonumber \]

Середнє значення знаходять шляхом множення площі на\(1/(4−0).\) Thus, the average value of the function is

\[\dfrac{1}{4}(16)=4 \nonumber \]

Встановіть середнє значення, рівне\(f(c)\) and solve for \(c\).

\[ \begin{align*} 8−2c =4 \nonumber \\[4pt] c =2 \end{align*}\]

В\(c=2,f(2)=4\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): За теоремою про середнє значення неперервна функція\(f(x)\) приймає своє середнє значення\(c\) принаймні один раз протягом замкнутого інтервалу.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Знайдіть середнє значення функції\(f(x)=\dfrac{x}{2}\) за інтервал\([0,6]\) і знайдіть c таке, що\(f(c)\) дорівнює середньому значенню функції за\([0,6].\)

Підказка

Використовуйте процедури з\(\PageIndex{1}\) Example для вирішення проблеми

Відповідь

Середнє значення -\(1.5\) і\(c=3\).

Приклад\(\PageIndex{2}\): Finding the Point Where a Function Takes on Its Average Value

Дано\(\displaystyle ∫^3_0x^2\,dx=9\), знайти\(c\) таке, що\(f(c)\) дорівнює середньому значенню\(f(x)=x^2\) понад\([0,3]\).

Рішення

Шукаємо цінність\(c\) такого, що

\[f(c)=\frac{1}{3−0}∫^3_0x^2\,\,dx=\frac{1}{3}(9)=3. \nonumber \]

\(f(c)\)Замінюючи на\(c^2\), ми маємо

\[ \begin{align*} c^2 &=3 \\[4pt] c &= ±\sqrt{3}. \end{align*}\]

Так як\(−\sqrt{3}\) знаходиться поза інтервалом, візьміть тільки позитивне значення. Таким чином,\(c=\sqrt{3}\) (рис.\(\PageIndex{2}\)).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): За інтервал\([0,3]\) функція\(f(x)=x^2\) приймає своє середнє значення в\(c=\sqrt{3}\).

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Дано\(\displaystyle ∫^3_0(2x^2−1)\,dx=15\), знайти\(c\) таке, що\(f(c)\) дорівнює середньому значенню\(f(x)=2x^2−1\) понад\([0,3]\).

Підказка

Скористайтеся процедурами з\(\PageIndex{2}\) Example для вирішення проблеми.

Відповідь

\(c=\sqrt{3}\)

Фундаментальна теорема числення Частина 1: Інтеграли та антипохідні

Як згадувалося раніше, Фундаментальна теорема обчислення є надзвичайно потужною теоремою, яка встановлює зв'язок між диференціацією та інтеграцією, і дає нам спосіб оцінити певні інтеграли без використання сум Рімана або обчислювальних площ. Теорема складається з двох частин, перша з яких, Фундаментальна теорема обчислення, частина 1, викладена тут. Частина 1 встановлює взаємозв'язок між диференціацією та інтеграцією.

Теорема\(\PageIndex{2}\): The Fundamental Theorem of Calculus, Part 1

Якщо\(f(x)\) є безперервним протягом інтервалу\([a,b]\),\(F(x)\) а функція визначається

\[F(x)=∫^x_af(t)\,dt, \nonumber \]

потім\(F′(x)=f(x)\) закінчився\([a,b]\).

Перш ніж заглибитися в доказ, тут варто згадати пару тонкощів. По-перше, коментар до позначення. Зауважте, що ми визначили функцію\(F(x)\), як певний інтеграл іншої функції\(f(t)\), від точки а до точки\(x\). На перший погляд, це збиває з пантелику, тому що ми говорили кілька разів, що певний інтеграл є числом, і тут він виглядає, як це функція. Ключ тут полягає в тому, щоб помітити, що для будь-якого конкретного значення\(x\), певним інтегралом є число. Таким чином, функція\(F(x)\) повертає число (значення певного інтеграла) для кожного значення\(x\).

По-друге, варто прокоментувати деякі ключові наслідки цієї теореми. Є причина, що її називають фундаментальною теоремою обчислення. Він не тільки встановлює зв'язок між інтеграцією та диференціацією, але й гарантує, що будь-яка інтегровна функція має антипохідну. Зокрема, це гарантує, що будь-яка безперервна функція має антипохідну.

Доказ: Фундаментальна теорема обчислення, частина 1

Застосовуючи визначення похідної, ми маємо

\[ \begin{align*} F′(x) &=\lim_{h→0}\frac{F(x+h)−F(x)}{h} \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h} \left[∫^{x+h}_af(t)dt−∫^x_af(t)\,dt \right] \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h}\left[∫^{x+h}_af(t)\,dt+∫^a_xf(t)\,dt \right] \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h}∫^{x+h}_xf(t)\,dt. \end{align*}\]

Дивлячись уважно на цей останній вираз, ми бачимо\(\displaystyle \frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt\) тільки середнє значення функції\(f(x)\) за інтервал\([x,x+h]\). Тому за рівнянням\ ref {meanvaluetheorem} існує\(c\) деяке число в\([x,x+h]\) такому, що

\[ \frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt=f(c). \nonumber \]

Крім того, оскільки\(c\) знаходиться між\(x\) і\(h\),\(c\) наближається\(x\) як\(h\) до нуля. Крім того, оскільки\(f(x)\) є безперервним, у нас є

\[ \lim_{h→0}f(c)=\lim_{c→x}f(c)=f(x) \nonumber \]

Збираючи всі ці шматочки разом, ми маємо

\[ F′(x)=\lim_{h→0}\frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt=\lim_{h→0}f(c)=f(x), \nonumber \]

і доказ повний.

□

Приклад\(\PageIndex{3}\): Finding a Derivative with the Fundamental Theorem of Calculus

Використовуйте фундаментальну теорему числення, частина 1, щоб знайти похідну

\[g(x)=∫^x_1\frac{1}{t^3+1}\,dt. \nonumber \]

Рішення

Відповідно до фундаментальної теореми числення, похідна дається

\[g′(x)=\frac{1}{x^3+1}. \nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Використовуйте фундаментальну теорему числення, частина 1, щоб знайти похідну\(\displaystyle g(r)=∫^r_0\sqrt{x^2+4}\,dx\).

Підказка

Дотримуйтесь процедур з Прикладу\(\PageIndex{3}\), щоб вирішити проблему.

Відповідь

\(g′(r)=\sqrt{r^2+4}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\): Using the Fundamental Theorem and the Chain Rule to Calculate Derivatives

Дозвольте\(\displaystyle F(x)=∫^{\sqrt{x}}_1 \sin t \,dt.\) знайти\(F′(x)\).

Рішення

Відпускаючи\(u(x)=\sqrt{x}\), у нас є\(\displaystyle F(x)=∫^{u(x)}_1 \sin t \,dt\).

Таким чином, за фундаментальною теоремою обчислення та правилом ланцюга,

\[ F′(x)=\sin(u(x))\frac{du}{\,dx}=\sin(u(x))⋅\left(\dfrac{1}{2}x^{−1/2}\right)=\dfrac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}. \nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Нехай\(\displaystyle F(x)=∫^{x^3}_1 \cos t\,dt\). Знайти\(F′(x)\).

Підказка

Використовуйте правило ланцюга для вирішення проблеми.

Відповідь

\(F′(x)=3x^2\cos x^3\)

Приклад\(\PageIndex{5}\): Using the Fundamental Theorem of Calculus with Two Variable Limits of Integration

Нехай\(\displaystyle F(x)=∫^{2x}_x t^3\,dt\). Знайти\(F′(x)\).

Рішення

У нас є\(\displaystyle F(x)=∫^{2x}_x t^3\,dt\). Обидві межі інтеграції є змінними, тому нам потрібно розділити це на два інтеграли. Ми отримуємо

\[\begin{align*} F(x) &=∫^{2x}_xt^3\,dt =∫^0_xt^3\,dt+∫^{2x}_0t^3\,dt \\[4pt] &=−∫^x_0t^3\,dt+∫^{2x}_0t^3\,dt. \end{align*}\]

Диференціюючи перший термін, отримуємо

\[ \frac{d}{\,dx} \left[−∫^x_0t^3\, dt\right]=−x^3 . \nonumber \]

Диференціюючи другий термін, ми спочатку дозволимо\((x)=2x.\) Тоді,

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \left[∫^{2x}_0t^3\,dt\right] &=\frac{d}{dx} \left[∫^{u(x)}_0t^3\,dt \right] \\[4pt] &=(u(x))^3\,du\,\,dx \\[4pt] &=(2x)^3⋅2=16x^3.\end{align*}\]

Таким чином,

\[\begin{align*} F′(x) &=\frac{d}{dx} \left[−∫^x_0t^3\,dt \right]+\frac{d}{dx} \left[∫^{2x}_0t^3\,dt\right] \\[4pt] &=−x^3+16x^3=15x^3 \end{align*}\]

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Дозвольте\(\displaystyle F(x)=∫^{x^2}_x \cos t \, dt.\) знайти\(F′(x)\).

Підказка

Використовуйте процедури з\(\PageIndex{5}\) Example для вирішення проблеми

Відповідь

\(F′(x)=2x\cos x^2−\cos x\)

Фундаментальна теорема числення, частина 2: Теорема оцінки

Фундаментальна теорема обчислення, частина 2, є, мабуть, найважливішою теоремою в обчисленні. Після невтомних зусиль математиків протягом приблизно 500 років з'явилися нові методики, які надали вченим необхідні інструменти для пояснення багатьох явищ. Використовуючи обчислення, астрономи могли остаточно визначити відстані в космосі і карту планетарних орбіт. Щоденні фінансові проблеми, такі як розрахунок граничних витрат або прогнозування загального прибутку, тепер можуть бути вирішені з простотою та точністю. Інженери могли обчислити міцність на вигин матеріалів або тривимірний рух об'єктів. Наш погляд на світ назавжди змінився за допомогою обчислення.

Після знаходження приблизних площ шляхом додавання площ n прямокутників застосування цієї теореми є простим шляхом порівняння. Це майже здається занадто простим, що площа цілої криволінійної області може бути обчислена, просто оцінюючи антидериватив в першій і останній кінцевих точках інтервалу.

Теорема\(\PageIndex{3}\): The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2

Якщо\(f(x)\) є безперервним протягом інтервалу\([a,b]\) і\(F(x)\) є будь-яким антипохідним від\(f(x),\) тоді

\[ ∫^b_af(x)\,dx=F(b)−F(a). \label{FTC2} \]

Ми часто бачимо позначення\(\displaystyle F(x)|^b_a\) для позначення виразу\(F(b)−F(a)\). Ми використовуємо цю вертикальну смугу\(a\) і пов'язані межі і\(b\) вказуємо, що ми повинні оцінити функцію\(F(x)\) на верхній межі (в даному випадку,\(b\)), і відняти значення функції,\(F(x)\) оціненої на нижній межі (в даному випадку,\(a\)).

Фундаментальна теорема обчислення, частина 2 (також відома як теорема оцінки) стверджує, що якщо ми зможемо знайти антипохідну для інтеграла, то ми можемо оцінити певний інтеграл, оцінюючи антипохідну в кінцевих точках інтервалу та віднімаючи.

Доказ

\(P={x_i},i=0,1,…,n\)Дозволяти бути регулярний розділ\([a,b].\) Тоді, ми можемо написати

\[ \begin{align*} F(b)−F(a) &=F(x_n)−F(x_0) \\[4pt] &=[F(x_n)−F(x_{n−1})]+[F(x_{n−1})−F(x_{n−2})] + … + [F(x_1)−F(x_0)] \\[4pt] &=\sum^n_{i=1}[F(x_i)−F(x_{i−1})]. \end{align*} \nonumber \]

Тепер, ми знаємо, що\(F\) це антипохідне\(f\) понад\([a,b],\) так за теоремою середнього значення (див. Теорема про середнє значення), бо\(i=0,1,…,n\) ми можемо знайти\(c_i\) в\([x_{i−1},x_i]\) такому, що

\[F(x_i)−F(x_{i−1})=F′(c_i)(x_i−x_{i−1})=f(c_i)\,Δx. \nonumber \]

Потім, підставляючи в попереднє рівняння, ми маємо

\[ F(b)−F(a)=\sum_{i=1}^nf(c_i)\,Δx. \nonumber \]

Беручи межу обох сторін, як\(n→∞,\) ми отримуємо

\[ F(b)−F(a)=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^nf(c_i)Δx=∫^b_af(x)\,dx. \nonumber \]

□

Приклад\(\PageIndex{6}\): Evaluating an Integral with the Fundamental Theorem of Calculus

Використовуйте рівняння\ ref {FTC2} для оцінки

\[ ∫^2_{−2}(t^2−4)\,dt. \nonumber \]

Рішення

Нагадаємо правило харчування для антипохідних:

Якщо\(y=x^n\),

\[∫x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. \nonumber \]

Скористайтеся цим правилом, щоб знайти антипохідну функції, а потім застосувати теорему. У нас є

\[ \begin{align*} ∫^2_{−2}(t^2−4)dt &=\left( \frac{t^3}{3}−4t \right)∣^2_{−2} \\[4pt] &=\left[\frac{(2)^3}{3}−4(2)\right]−\left[\frac{(−2)^3}{3}−4(−2)\right] \\[4pt] &=\left[\frac{8}{3}−8\right] − \left[−\frac{8}{3}+8 \right] \\[4pt] &=\frac{8}{3}−8+\frac{8}{3}−8 \\[4pt] &=\frac{16}{3}−16=−\frac{32}{3}.\end{align*} \nonumber \]

Аналіз

Зверніть увагу, що ми не включили термін «\(+ C\)», коли ми писали антидериватив. Причина полягає в тому, що згідно з фундаментальною теоремою обчислення, частина 2 (Equation\ ref {FTC2}), будь-яка антидеривативна працює. Отже, для зручності ми вибрали антидериватив с\(C=0\). Якби ми обрали іншу антидериватив, постійний термін скасував би. Це завжди відбувається при оцінці певного інтеграла.

Область площі, яку ми тільки що обчислили, зображена на малюнку\(\PageIndex{3}\). Зверніть увагу, що область між кривою і\(x\) -віссю знаходиться нижче\(x\) -осі. Площа завжди позитивна, але певний інтеграл все одно може давати від'ємне число (чиста підписана область). Наприклад, якщо це була функція прибутку, негативне число вказує на те, що компанія працює зі збитком протягом заданого інтервалу.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Оцінка певного інтеграла може дати негативне значення, навіть якщо площа завжди позитивна.

Приклад\(\PageIndex{7}\): Evaluating a Definite Integral Using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2

Оцініть наступний інтеграл за допомогою фундаментальної теореми числення, частина 2 (Рівняння\ ref {FTC2}):

\[ ∫^9_1\frac{x−1}{\sqrt{x}}dx. \nonumber \]

Рішення

По-перше, усуньте радикал, переписуючи інтеграл з використанням раціональних показників. Потім відокремте члени чисельника, написавши кожне з них над знаменником:

\[ ∫^9_1\frac{x−1}{x^{1/2}}\,dx=∫^9_1 \left(\frac{x}{x^{1/2}}−\frac{1}{x^{1/2}} \right)\,dx. \nonumber \]

Скористайтеся властивостями експонентів для спрощення:

\[ ∫^9_1 \left(\frac{x}{x^{1/2}}−\frac{1}{x^{1/2}}\right)\,dx=∫^9_1(x^{1/2}−x^{−1/2})\,dx. \nonumber \]

Тепер інтегруйте за допомогою правила живлення:

\[ \begin{align*} ∫^9_1(x^{1/2}−x^{−1/2})\,dx &= \left(\frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{x^{1/2}}{\frac{1}{2}}\right)∣^9_1 \\[4pt] &= \left[\frac{(9)^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{(9)^{1/2}}{\frac{1}{2}}\right]− \left[\frac{(1)^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{(1)^{1/2}}{\frac{1}{2}} \right] \\[4pt] &= \left[\frac{2}{3}(27)−2(3)\right]−\left[\frac{2}{3}(1)−2(1)\right] \\[4pt] &=18−6−\frac{2}{3}+2=\frac{40}{3}. \end{align*} \nonumber \]

Див\(\PageIndex{4}\). Малюнок.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Площа під кривою від\(x=1\) до\(x=9\) можна обчислити, оцінивши певний інтеграл.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Використовуйте Примітку для оцінки\(\displaystyle ∫^2_1x^{−4}\,dx.\)

Підказка

Скористайтеся правилом харчування.

Відповідь

\(\frac{7}{24}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\): A Roller-Skating Race

Джеймс і Кеті мчить на роликових ковзанах. Вони мчать по довгій, прямій трасі, і той, хто пішов найдалі після 5 сек виграє приз. Якщо Джеймс може кататися на ковзанах зі швидкістю\(f(t)=5+2t\) ft/sec, а Кеті може кататися на ковзанах зі швидкістю\(g(t)=10+\cos\left(\frac{π}{2}t\right)\) ft/sec, хто збирається виграти гонку?

Рішення

Нам потрібно інтегрувати обидві функції протягом інтервалу\([0,5]\) і подивитися, яке значення більше. Для Джеймса ми хочемо розрахувати

\[ ∫^5_0(5+2t)\,dt. \nonumber \]

Використовуючи правило харчування, ми маємо

\[ \begin {align*} ∫^5_0(5+2t)\,dt &= \left(5t+t^2\right)∣^5_0 \\[4pt] &=(25+25) \\[4pt] &=50. \end{align*}\]

Таким чином, Джеймс ковзав 50 футів після 5 сек. Звертаючись зараз до Кеті, ми хочемо розрахувати

\[∫^5_010 + \cos \left(\frac{π}{2}t\right)\, dt. \nonumber \]

Ми знаємо, що\(\sin t\) це антипохідне\(\cos t\), тому розумно очікувати, що антипохідне\(\cos\left(\frac{π}{2}t\right)\) буде включати\(\sin\left(\frac{π}{2}t\right)\). Однак, коли ми диференціюємо\(\sin \left(π^2t\right)\), ми отримуємо в\(π^2 \cos\left(π^2t\right)\) результаті правила ланцюга, тому ми повинні враховувати цей додатковий коефіцієнт при інтеграції. Отримуємо

\[ \begin{align*} ∫^5_010+\cos \left(\frac{π}{2}t\right)\,dt &= \left(10t+\frac{2}{π} \sin \left(\frac{π}{2}t\right)\right)∣^5_0 \\[4pt] &=\left(50+\frac{2}{π}\right)−\left(0−\frac{2}{π} \sin 0\right )≈50.6. \end{align*}\]

Кеті каталася приблизно 50.6 футів після 5 сек. Кеті виграє, але не сильно!

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Припустимо, Джеймс і Кеті мають матч-реванш, але цього разу чиновник зупиняє змагання лише через 3 сек. Чи змінює це результат?

Підказка

Змініть межі інтеграції від тих, які наведені в Прикладі\(\PageIndex{7}\).

Відповідь

Кеті все ще виграє, але з набагато більшим відривом: Джеймс ковзани 24 футів в 3 сек, але Кеті ковзани 29.3634 футів в 3 сек.

Парашутист у вільному падінні

Джулі - завзята парашутистка з більш ніж 300 стрибками під поясом і освоїла мистецтво вносити корективи в положення тіла в повітрі, щоб контролювати, наскільки швидко вона падає. Якщо вона вигинає спину і вказує живіт на землю, вона досягає кінцевої швидкості приблизно 120 миль/год (176 футів/сек). Якщо замість цього вона орієнтує своє тіло головою прямо вниз, вона падає швидше, досягаючи кінцевої швидкості 150 миль/год (220 футів/сек).

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Парашутисти можуть регулювати швидкість свого занурення, змінюючи положення свого тіла під час вільного падіння. (кредит: Джеремі Т. Лок)

Оскільки Джулі буде рухатися (падати) у напрямку вниз, ми припускаємо, що напрямок вниз є позитивним для спрощення наших розрахунків. Джулі виконує свої стрибки з висоти 12 500 футів. Після того, як вона виходить з літака, вона відразу ж починає падати зі швидкістю, заданою\(v(t)=32t.\)

Вона продовжує прискорюватися відповідно до цієї функції швидкості, поки не досягне кінцевої швидкості. Після того, як вона досягає кінцевої швидкості, її швидкість залишається постійною, поки вона не витягне свій рипкорд і не сповільниться на землю.

Під час першого стрибка дня Джулі орієнтується в більш повільному положенні «животом вниз» (кінцева швидкість 176 футів/сек). Використовуючи цю інформацію, дайте відповідь на наступні питання.

1. Як довго після того, як вона виходить з літака, Джулі досягає термінальної швидкості?
2. Виходячи з вашої відповіді на питання 1, створіть вираз, що включає один або кілька інтегралів, що представляє відстань Джулі падає через 30 сек.
3. Якщо Джулі тягне свій рипкорд на висоті 3000 футів, скільки часу вона проводить у вільному падінні?
4. Джулі тягне свій рипкорд на 3000 футів. Потрібно 5 секунд, щоб її парашут повністю відкрився і для неї сповільнився, за цей час вона падає ще на 400 футів. Після того як її навіс повністю відкритий, її швидкість знижується до 16 футів/сек. Знайдіть загальний час, який Джулі проводить в повітрі, від часу, коли вона залишає літак до часу, коли її ноги торкнуться землі. На другому стрибку Джулі за день вона вирішує, що хоче впасти трохи швидше і орієнтується в положенні «головою вниз». Її кінцева швидкість в цьому положенні становить 220 фут/сек. Відповідайте на ці питання виходячи з цієї швидкості:
5. Скільки часу потрібно Джулі, щоб досягти кінцевої швидкості в цьому випадку?
6. Перш ніж витягнути ріпкорд, Джулі переорієнтує своє тіло в положенні «живіт вниз», щоб вона не рухалася так швидко, коли її парашут відкривається. Якщо вона починає цей маневр на висоті 4000 футів, скільки часу вона проводить у вільному падінні перед початком переорієнтації?

Деякі джемпери носять «вінгсьюти» (рис.\(\PageIndex{6}\)). Ці костюми мають тканинні панелі між руками та ногами і дозволяють власнику ковзати у вільному падінні, подібно до летяга. (Дійсно, костюми іноді називають «костюмами летяга».) При носінні цих костюмів швидкість терміналу може бути зменшена приблизно до 30 миль/год (44 футів/сек), що дозволяє носіям набагато довше перебувати в повітрі. Вінгсьют листівки все ще використовують парашути, щоб приземлитися; хоча вертикальні швидкості знаходяться в межах запасу міцності, горизонтальні швидкості можуть перевищувати 70 миль/год, занадто швидко, щоб безпечно приземлитися.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Тканинні панелі на руках і ногах вінгсьюта працюють на зменшення вертикальної швидкості падіння парашутиста. (кредит: Річард Шнайдер)

Дайте відповідь на наступне питання, виходячи зі швидкості в вінгсьюті.

7. Якщо Джулі одягає вінгсьют перед своїм третім стрибком дня, і вона тягне свій рипкорд на висоті 3000 футів, скільки часу вона отримує, щоб провести ковзання в повітрі

Ключові концепції

• Теорема про середнє значення для інтегралів стверджує, що для неперервної функції через замкнутий інтервал існує значення c таке, що\(f(c)\) дорівнює середньому значенню функції.
• Фундаментальна теорема числення, частина 1 показує зв'язок між похідною та інтегралом.
• Фундаментальна теорема обчислення, частина 2 - це формула для оцінки певного інтеграла через антипохідну його цілісного. Загальну площу під кривою можна знайти за цією формулою.

Ключові рівняння

• Теорема про середнє значення для інтегралів

Якщо\(f(x)\) безперервний протягом інтервалу\([a,b]\), то є хоча б одна точка\(c∈[a,b]\) така, що\[f(c)=\frac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx.\nonumber \]

• Фундаментальна теорема обчислення, частина 1

Якщо\(f(x)\) є безперервним протягом інтервалу\([a,b]\),\(F(x)\) а функція визначається\[ F(x)=∫^x_af(t)\,dt,\nonumber \]

потім\[F′(x)=f(x).\nonumber \]

• Фундаментальна теорема обчислення, частина 2

Якщо\(f\) є безперервним протягом інтервалу\([a,b]\) і\(F(x)\) є будь-яким антипохідним від\(f(x)\), то\[∫^b_af(x)\,dx=F(b)−F(a).\nonumber \]

Глосарій

фундаментальна теорема числення

теорема, центральна для всього розвитку обчислення, яка встановлює зв'язок між диференціацією та інтеграцією

фундаментальна теорема числення, частина 1

використовує певний інтеграл для визначення антипохідної функції

фундаментальна теорема числення, частина 2

(також, теорема оцінки) ми можемо оцінити певний інтеграл, оцінюючи антипохідну цілісності в кінцевих точках інтервалу і віднімаючи

Теорема про середнє значення для інтегралів

гарантує, що точка\(c\) існує\(f(c)\) така, яка дорівнює середньому значенню функції