5.5E: Вправи для розділу 5.5

1) Чому$u$ -заміна називається зміною змінної?

2) Якщо$f=g∘h$ при зміні правила$\dfrac{d}{dx}(g∘h)(x)=g′(h(x))h′(x)$ ланцюга слід брати$u=g(x)$ або$u=h(x)?$

Відповідь

$u=h(x)$

У вправах 3 - 7 перевірте кожну особу за допомогою диференціації. Потім, використовуючи зазначену$u$ -підстановку,$f$ ідентифікуйте таку, щоб інтеграл набув вигляду$\displaystyle∫f(u)\,du.$

3)$\displaystyle ∫x\sqrt{x+1}\,dx=\frac{2}{15}(x+1)^{3/2}(3x−2)+C;\quad u=x+1$

4)$\displaystyle∫\frac{x^2}{\sqrt{x−1}}\,dx=\frac{2}{15}\sqrt{x−1}(3x^2+4x+8)+C,\quad (x>1);\quad u=x−1$

Відповідь

$f(u)=\dfrac{(u+1)^2}{\sqrt{u}}$

5)$\displaystyle∫x\sqrt{4x^2+9}\,dx=\frac{1}{12}(4x^2+9)^{3/2}+C;\quad u=4x^2+9$

6)$\displaystyle∫\frac{x}{\sqrt{4x^2+9}}\,dx=\frac{1}{4}\sqrt{4x^2+9}+C;\quad u=4x^2+9$

Відповідь

$du=8x\,dx;\quad f(u)=\frac{1}{8\sqrt{u}}$

7)$\displaystyle∫\frac{x}{(4x^2+9)^2}\,dx=−\frac{1}{8(4x^2+9)} + C;\quad u=4x^2+9$

У вправах 8 - 17 знайдіть антидериватив за допомогою зазначеної заміни.

8)$\displaystyle∫(x+1)^4\,dx;\quad u=x+1$

Відповідь

$\displaystyle∫(x+1)^4\,dx = \frac{1}{5}(x+1)^5+C$

9)$\displaystyle∫(x−1)^5\,dx;\quad u=x−1$

10)$\displaystyle∫(2x−3)^{−7}\,dx;\quad u=2x−3$

Відповідь

$\displaystyle∫(2x−3)^{−7}\,dx = −\frac{1}{12(2x−3)^6}+C$

11)$\displaystyle∫(3x−2)^{−11}\,dx;\quad u=3x−2$

12)$\displaystyle∫\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx;\quad u=x^2+1$

Відповідь

$\displaystyle∫\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = \sqrt{x^2+1}+C$

13)$\displaystyle∫\frac{x}{\sqrt{1−x^2}}\,dx;\quad u=1−x^2$

14)$\displaystyle∫(x−1)(x^2−2x)^3\,dx;\quad u=x^2−2x$

Відповідь

$\displaystyle∫(x−1)(x^2−2x)^3\,dx = \frac{1}{8}(x^2−2x)^4+C$

15)$\displaystyle∫(x^2−2x)(x^3−3x^2)^2\,dx;\quad u=x^3=3x^2$

16)$\displaystyle∫\cos^3 θ\,dθ;\quad u=\sin θ$ (Підказка:$\cos^2 θ=1−\sin^2 θ$)

Відповідь

$\displaystyle∫\cos^3 θ\,dθ = \sin θ−\dfrac{\sin^3 θ}{3}+C$

17)$\displaystyle ∫\sin^3 θ\,dθ;\quad u=\cos θ$ (Підказка:$\sin^2 θ=1−\cos^2θ$)

У вправах 18 - 34 використовуйте відповідну зміну змінних для визначення невизначеного інтеграла.

18)$\displaystyle∫x(1−x)^{99}\,dx$

Відповідь

\ (\ почати {вирівнювати*}\ стиль відображенняx (1−x) ^ {99}\, dx &=\ розриву {(1−x) ^ {101}} {101}} {1−x) ^ {100}} {100}} +C\\ [4pt] &=-\ гідророзриву {(1-х) ^ {100}} {10100}\ [4pt]
&=-\ розриву {(1-х) ^ {100}} {10100}\ великий [100} x + 1\ великий] +C\ end {вирівнювати*}\)

19)$\displaystyle∫t(1−t^2)^{10}dt$

20)$\displaystyle∫(11x−7)^{−3}\,dx$

Відповідь

$\displaystyle∫(11x−7)^{−3}\,dx = −\frac{1}{22(11x−7)^2}+C$

21)$\displaystyle∫(7x−11)^4\,dx$

22)$\displaystyle∫\cos^3 θ\sin θ\,dθ$

Відповідь

$\displaystyle∫\cos^3 θ\sin θ\,dθ = −\frac{\cos^4 θ}{4}+C$

23)$\displaystyle∫\sin^7 θ\cos θ\,dθ$

24)$\displaystyle∫\cos^2(πt)\sin(πt)\,dt$

Відповідь

$\displaystyle∫\cos^2(πt)\sin(πt)\,dt = −\frac{cos^3(πt)}{3π}+C$

25)$\displaystyle∫\sin^2 x\cos^3 x\,dx$ (Підказка:$\sin^2 x+\cos^2 x=1$)

26)$\displaystyle∫t\sin(t^2)\cos(t^2)\,dt$

Відповідь

$\displaystyle∫t\sin(t^2)\cos(t^2)\,dt = −\frac{1}{4}\cos^2(t^2)+C$

27)$\displaystyle∫t^2\cos^2(t^3)\sin(t^3)\,dt$

28)$\displaystyle∫\frac{x^2}{(x^3−3)^2}\,dx$

Відповідь

$\displaystyle∫\frac{x^2}{(x^3−3)^2}\,dx = −\frac{1}{3(x^3−3)}+C$

29)$\displaystyle∫\frac{x^3}{\sqrt{1−x^2}}\,dx$

30)$\displaystyle∫\frac{y^5}{(1−y^3)^{3/2}}\,dy$

Відповідь

$\displaystyle∫\frac{y^5}{(1−y^3)^{3/2}}\,dy = −\frac{2(y^3−2)}{3\sqrt{1−y^3}}+C$

31)$\displaystyle∫\cos θ(1−\cos θ)^{99}\sin θ\,dθ$

32)$\displaystyle∫(1−\cos^3 θ)^{10}\cos^2 θ\sin θ\,dθ$

Відповідь

$\displaystyle∫(1−\cos^3 θ)^{10}\cos^2 θ\sin θ\,dθ = \frac{1}{33}(1−\cos^3 θ)^{11}+C$

33)$\displaystyle∫(\cos θ−1)(\cos^2 θ−2\cos θ)^3\sin θ\,dθ$

34)$\displaystyle∫(\sin^2 θ−2\sin θ)(\sin^3 θ−3\sin^2 θ)^3\cos θ\,dθ$

Відповідь

$\displaystyle∫(\sin^2 θ−2\sin θ)(\sin^3 θ−3\sin^2 θ)^3\cos θ\,dθ = \frac{1}{12}(\sin^3 θ−3\sin^2 θ)^4+C$

У вправах 35 - 38 використовуйте калькулятор для оцінки площі під кривою, використовуючи ліві суми Рімана з 50 термінами, потім використовуйте підстановку для вирішення точної відповіді.

35) [Т]$y=3(1−x)^2$ над$[0,2]$

36) [Т]$y=x(1−x^2)^3$ над$[−1,2]$

Відповідь

$L_{50}=−8.5779.$Точна площа -$\frac{−81}{8}$ одиниці$^2$.

37) [Т]$y=\sin x(1−\cos x)^2$ над$[0,π]$

38) [Т]$y=\dfrac{x}{(x^2+1)^2}$ над$[−1,1]$

Відповідь

$L_{50}=−0.006399$. Точна площа дорівнює 0.

У вправах 39 - 44 використовуйте зміну змінних для оцінки певного інтеграла.

39)$\displaystyle∫^1_0x\sqrt{1−x^2}\,dx$

40)$\displaystyle∫^1_0\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$

Відповідь

$\displaystyle u=1+x^2,\quad du=2x\,dx,\quad ∫^1_0\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx = \frac{1}{2}∫^2_1u^{−1/2}du=\sqrt{2}−1$

41)$\displaystyle∫^2_0\frac{t}{\sqrt{5+t^2}}\,dt$

42)$\displaystyle∫^1_0\frac{t^2}{\sqrt{1+t^3}}\,dt$

Відповідь

$\displaystyle u=1+t^3,\quad du=3t^2,\quad ∫^1_0\frac{t^2}{\sqrt{1+t^3}}\,dt = \frac{1}{3}∫^2_1u^{−1/2}du=\frac{2}{3}(\sqrt{2}−1)$

43)$\displaystyle∫^{π/4}_0\sec^2 θ\tan θ\,dθ$

44)$\displaystyle∫^{π/4}_0\frac{\sin θ}{\cos^4 θ}\,dθ$

Відповідь

$\displaystyle u=\cos θ,\quad du=−\sin θ\,dθ,\quad \int^{π/4}_0\frac{\sin θ}{\cos^4 θ}\,dθ = -∫_1^{\sqrt{2}/2}u^{−4}\,du = ∫^1_{\sqrt{2}/2}u^{−4}\,du=\frac{1}{3}(2\sqrt{2}−1)$

У вправах 45 - 50 оцінюйте невизначений інтеграл$\displaystyle ∫f(x)\,dx$ з постійним$C=0$ використанням$u$ -підстановки. Потім графік функції і антидериватив протягом зазначеного інтервалу. Якщо можливо, оцініть значення,$C$ яке потрібно було б додати до антидериватива, щоб зробити його рівним певному інтегралу$\displaystyle F(x)=∫^x_af(t)\,dt$, з лівою кінцевою точкою заданого інтервалу.

45) [Т]$\displaystyle∫(2x+1)e^{x^2+x−6}\,dx$ над$[−3,2]$

46) [Т]$\displaystyle∫\frac{\cos(\ln(2x))}{x}\,dx$ на$[0,2]$

Відповідь

Антидериватив є$y=\sin(\ln(2x))$. Оскільки антидериватив не є безперервним при$x=0$, не можна знайти значення С, яке б змусило$y=\sin(\ln(2x))−C$ працювати як певний інтеграл.

47) [Т]$\displaystyle ∫\frac{3x^2+2x+1}{\sqrt{x^3+x^2+x+4}}\,dx$ над$[−1,2]$

48) [Т]$\displaystyle ∫\frac{\sin x}{\cos^3x}\,dx$ над$\left[−\frac{π}{3},\frac{π}{3}\right]$

Відповідь

Антидериватив є$y=\frac{1}{2}\sec^2 x$. Ви повинні взяти$C=−2$ так, щоб$F(−\frac{π}{3})=0.$

49) [Т]$\displaystyle ∫(x+2)e^{−x^2−4x+3}\,dx$ над$[−5,1]$

50) [Т]$\displaystyle ∫3x^2\sqrt{2x^3+1}\,dx$ понад$[0,1]$

Відповідь

Антидериватив є$y=\frac{1}{3}(2x^3+1)^{3/2}$. Слід взяти$C=−\frac{1}{3}$.

51) Якщо$h(a)=h(b)$ в$\displaystyle ∫^b_ag'(h(x))h(x)\,dx,$ чому можна сказати про значення інтеграла?

52) Чи$\displaystyle ∫^2_0\frac{x}{1−x^2}\,dx$ нормально підміна$u=1−x^2$ в певному інтегралі? Якщо ні, то чому б і ні?

Відповідь

Ні, тому що цілісний переривчастий при$x=1$.

У вправах 53 - 59 використовуйте зміну змінних, щоб показати, що кожен певний інтеграл дорівнює нулю.

53)$\displaystyle ∫^π_0\cos^2(2θ)\sin(2θ)\,dθ$

54)$\displaystyle ∫^\sqrt{π}_0t\cos(t^2)\sin(t^2)\,dt$

Відповідь

$u=\sin(t^2);$інтеграл стає$\displaystyle \frac{1}{2}∫^0_0u\,du.$

55)$\displaystyle ∫^1_0(1−2t)\,dt$

56)$\displaystyle ∫^1_0\frac{1−2t}{1+(t−\frac{1}{2})^2}\,dt$

Відповідь

$u=1+(t−\frac{1}{2})^2;$інтеграл стає$\displaystyle −∫^{5/4}_{5/4}\frac{1}{u}\,du$.

57)$\displaystyle ∫^π_0\sin\left(\left(t−\tfrac{π}{2}\right)^3\right)\cos\left(t−\tfrac{π}{2}\right)\,dt$

58)$\displaystyle ∫^2_0(1−t)\cos(πt)\,dt$

Відповідь

$u=1−t;$Оскільки ціле непарне, інтеграл стає
$$∫^{−1}_1u\cos\big(π(1−u)\big)\,du=∫^{−1}_1u[\cos π\cos u−\sin π\sin u]\,du=−∫^{−1}_1u\cos u\,du=∫_{-1}^1u\cos u\,du=0\nonumber$$

59)$\displaystyle ∫^{3π/4}_{π/4}\sin^2 t\cos t\,dt$

60) Показати, що середнє значення$f(x)$ за інтервал$[a,b]$ таке ж, як і середнє значення$f(cx)$ за інтервал$\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right]$ для$c>0.$

Відповідь

Налаштування$u=cx$ і$du=c\,dx$ отримує вас$\displaystyle \frac{1}{\frac{b}{c}−\frac{a}{c}}∫^{b/c}_{a/c}f(cx)\,dx=\frac{c}{b−a}∫^{u=b}_{u=a}f(u)\frac{du}{c}=\frac{1}{b−a}∫^b_af(u)\,du.$

61) Знайдіть площу під графіком$f(t)=\dfrac{t}{(1+t^2)^a}$ між$t=0$ і$t=x$ де$a>0$ і$a≠1$ закріплено, і оцініть межу як$x→∞$.

62) Знайдіть область під графіком$g(t)=\dfrac{t}{(1−t^2)^a}$ між$t=0$ і$t=x$, де$0<x<1$ і$a>0$ закріплена. Оцініть ліміт як$x→1$.

Відповідь

$\displaystyle ∫^x_0g(t)\,dt=\frac{1}{2}∫^1_{u=1−x^2} \frac{du}{u^a}=\frac{1}{2(1−a)}u^{1−a}∣1u=\frac{1}{2(1−a)}(1−(1−x^2)^{1−a})$Як$x→1$ межа є$\dfrac{1}{2(1−a)}$ якщо$a<1$, а межа розходиться на$+∞$ if$a>1$.

63) Площа півкола радіуса$1$ може бути виражена як$\displaystyle ∫^1_{−1}\sqrt{1−x^2}\,dx$. Використовуйте$x=\cos t$ підстановку для вираження площі півкола як інтеграла тригонометричної функції. Вам не потрібно обчислювати інтеграл.

64) Площа верхньої половини еліпса з великою віссю, яка є$x$ -віссю від$x=−1$ до а і з другорядною віссю, яка є$y$ -віссю від$y=−b$ до,$y=b$ може бути записана як$\displaystyle ∫^a_{−a}b\sqrt{1−\frac{x^2}{a^2}}\,dx$. Використовуйте$x=a\cos t$ підстановку для вираження цієї області через інтеграл тригонометричної функції. Вам не потрібно обчислювати інтеграл.

Відповідь

$\displaystyle ∫^{t=0}_{t=π}b\sqrt{1−\cos^2 t}×(−a\sin t)\,dt=∫^{t=π}_{t=0}ab\sin^2 t\,dt$

65) [T] Наступний графік має функцію виду$f(t)=a\sin(nt)+b\sin(mt)$. Оцініть коефіцієнти$a$$b$ і частотні параметри$n$ і$m$. Використовуйте ці оцінки для наближення$\displaystyle ∫^π_0f(t)\,dt$.

66) [T] Наступний графік має функцію виду$f(x)=a\cos(nt)+b\cos(mt)$. Оцініть коефіцієнти$a$$b$ і частотні параметри$n$ і$m$. Використовуйте ці оцінки для наближення$\displaystyle ∫^π_0f(t)\,dt.$

Відповідь

$f(t)=2\cos(3t)−\cos(2t);\quad \displaystyle ∫^{π/2}_0(2\cos(3t)−\cos(2t))\,dt=−\frac{2}{3}$