5.5: Заміна
- Page ID
- 61792
- Використовуйте підстановку для оцінки невизначеного інтегралу.
- Використовуйте підстановку для оцінки певних інтегралів.
Фундаментальна теорема числення дала нам метод оцінки інтегралів без використання сум Рімана. Недолік цього методу, однак, полягає в тому, що ми повинні вміти знайти антидериватив, і це не завжди легко. У цьому розділі ми розглядаємо метод, який називається інтеграцією шляхом заміщення, щоб допомогти нам знайти антипохідні. Зокрема, цей метод допомагає нам знайти антипохідні, коли integrand є результатом похідної ланцюгового правила.
Спочатку підхід до процедури заміщення може виявитися не дуже очевидним. Однак це перш за все візуальне завдання - тобто integrand показує вам, що робити; це питання розпізнавання форми функції. Отже, що ми повинні побачити? Шукаємо цілісність форми\(f\big[g(x)\big]g′(x)\,dx\). Наприклад, в інтегралі
\[ ∫(x^2−3)^3 \, 2x \, dx. \label{eq1} \]
у нас є
\[ f(x)=x^3 \nonumber \]
і
\[g(x)=x^2−3.\nonumber \]
Тоді
\[ g'(x)=2x.\nonumber \]
і
\[ f[g(x)]g′(x)=(x^2−3)^3(2x),\nonumber \]
і ми бачимо, що наша цілісність знаходиться в правильній формі. Метод називається заміщенням, тому що ми підставляємо частину integrand змінною\(u\) і частина integrand з\(du\). Це також називається зміною змінних, оскільки ми змінюємо змінні, щоб отримати вираз, з яким легше працювати для застосування правил інтеграції.
Дозволяти\(u=g(x)\), де\(g′(x)\) безперервно протягом інтервалу, нехай\(f(x)\) бути безперервним у відповідному діапазоні\(g\), і нехай\(F(x)\) бути антипохідним від\(f(x).\) Тоді,
\[ \begin{align*} ∫f[g(x)]g′(x)\,dx &=∫f(u)\,du \\[4pt] &=F(u)+C \\[4pt] &= F(g(x))+C \end{align*}\]
Дозволяти\(f\)\(g\),\(u\),, і\(F\) бути, як зазначено в теоремі. Тоді
\[ \dfrac{d}{dx}\big[F(g(x))\big]=F′(g(x))g′(x)=f[g(x)]g′(x). \nonumber \]
Інтегруючи обидві сторони стосовно\(x\), ми бачимо, що
\[ ∫f[g(x)]g′(x)\,dx=F(g(x))+C. \nonumber \]
Якщо ми зараз підставимо\(u=g(x)\), і\(du=g'(x)\,dx\), ми отримаємо
\[ ∫f[g(x)]g′(x)\,dx=∫f(u)\,du=F(u)+C=F(g(x))+C. \nonumber \]
□
Повертаючись до проблеми, яку ми розглянули спочатку, давайте\(u=x^2−3\) і тоді\(du=2x\,dx\).
Перепишіть інтеграл (Рівняння\ ref {eq1}) через\(u\):
\[ ∫(x^2−3)^3(2x\,dx)=∫u^3\,du. \nonumber \]
Використовуючи правило потужності для інтегралів, ми маємо
\[ ∫u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C. \nonumber \]
Замініть оригінальний вираз для\(x\) повернення в рішення:
\[ \dfrac{u^4}{4}+C=\dfrac{(x^2−3)^4}{4}+C.\nonumber \]
Ми можемо узагальнити процедуру в наступній Стратегії вирішення проблем.
- Подивіться уважно на integrand і оберіть вираз\(g(x)\) в межах integrand, щоб встановити рівне u. Давайте виділимо\(g(x)\). такий, що також\(g′(x)\) є частиною цілого числа.
- \(du=g′(x)dx.\)Підставляємо\(u=g(x)\) і в інтеграл.
- Тепер ми повинні бути в змозі оцінити інтеграл по відношенню до\(u\). Якщо інтеграл не може бути оцінений, нам потрібно повернутися назад і вибрати інший вираз для використання як\(u\).
- Оцініть інтеграл з точки зору\(u\).
- Запишіть результат в терміні of\(x\) і вираз\(g(x).\)
Використовуйте заміщення, щоб знайти антипохідне\(\displaystyle ∫6x(3x^2+4)^4\,dx.\)
Рішення
Насамперед необхідно вибрати вираз для\(u\). Ми вибираємо\(u=3x^2+4\) тому, що тоді\(du=6x\,dx\) і у нас вже є\(du\) в integrand. Напишіть інтеграл з точки зору\(u\):
\[ ∫6x(3x^2+4)^4\,dx=∫u^4\,du. \nonumber \]
Пам'ятайте, що\(du\) це похідна виразу, обраного для\(u\), незалежно від того, що знаходиться всередині цілісного. Тепер ми можемо оцінити інтеграл щодо\(u\):
\[ ∫u^4\,du=\dfrac{u^5}{5}+C=\dfrac{(3x^2+4)^5}{5}+C.\nonumber \]
Аналіз
Ми можемо перевірити нашу відповідь, взявши похідну від результату інтеграції. Ми повинні отримати цілісність. Підібравши\(C\) значення для з\(1\), ми\(y=\dfrac{1}{5}(3x^2+4)^5+1.\) дозволяємо нам
\[ y=\dfrac{1}{5}(3x^2+4)^5+1,\nonumber \]
тому
\[ \begin{align*} y′ &=\left(\dfrac{1}{5}\right)5(3x^2+4)^46x \\[4pt] &=6x(3x^2+4)^4.\end{align*}\]
Це саме той вираз, з якого ми почали всередині integrand.
Використовуйте заміщення, щоб знайти антипохідне\(\displaystyle ∫3x^2(x^3−3)^2\,dx.\)
- Підказка
-
Нехай\(u=x^3−3.\)
- Відповідь
-
\(\displaystyle ∫3x^2(x^3−3)^2\,dx=\dfrac{1}{3}(x^3−3)^3+C \)
Іноді нам потрібно налаштувати константи в нашому інтегралі, якщо вони не збігаються точно з виразами, які ми підставляємо.
Використовуйте заміщення, щоб знайти антипохідне\[ ∫z\sqrt{z^2−5}\,dz. \nonumber \]
Рішення
Перепишіть інтеграл як\(\displaystyle ∫z(z^2−5)^{1/2}\,dz.\) Нехай\(u=z^2−5\) і\(du=2z\,dz.\) Тепер у нас є проблема, тому що\(du=2z\,dz\) і оригінальний вираз має тільки\(z\,dz.\) Ми повинні змінити наш вираз для\(du\) або інтеграл в\(u\) буде вдвічі більше, ніж повинно бути. Якщо помножити обидві сторони\(du\) рівняння на\(\dfrac{1}{2}\)., ми зможемо вирішити цю задачу. Таким чином,
\[ u=z^2−5\nonumber \]
\[ du=2z\,dz \nonumber \]
\[ \dfrac{1}{2}du=\dfrac{1}{2}(2z)\,dz=z\,dz. \nonumber \]
Напишіть інтеграл з точки зору\(u\), але витягніть\(\dfrac{1}{2}\) назовні символ інтеграції:
\[ ∫z(z^2−5)^{1/2}\,dz=\dfrac{1}{2}∫u^{1/2}\,du.\nonumber \]
Інтегруйте вираз у\(u\):
\[ \begin{align*} \dfrac{1}{2}∫u^{1/2}\,du &= \left(\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{u^{3/2}}{\dfrac{3}{2}}+C \\[4pt] &= \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)u^{3/2}+C \\[4pt] &=\dfrac{1}{3}u^{3/2}+C \\[4pt] &=\dfrac{1}{3}(z^2−5)^{3/2}+C \end{align*}\]
Використовуйте заміщення, щоб знайти антипохідне\(\displaystyle ∫x^2(x^3+5)^9\,dx.\)
- Підказка
-
Помножте рівняння du на\(\dfrac{1}{3}\).
- Відповідь
-
\(\displaystyle ∫x^2(x^3+5)^9\,dx = \dfrac{(x^3+5)^{10}}{30}+C \)
Використовуйте підстановку для оцінки інтеграла\(\displaystyle ∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt.\)
Рішення
Ми знаємо похідне від\(\cos t\) є\(−\sin t\), тому ми встановлюємо\(u=\cos t\). Тоді\(du=−\sin t\,dt.\)
Підставляючи в інтеграл, ми маємо
\[ ∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt=−∫\dfrac{du}{u^3}.\nonumber \]
Оцінюючи інтеграл, отримуємо
\[ −∫\dfrac{du}{u^3}=−∫u^{−3}\,du=−\left(−\dfrac{1}{2}\right)u^{−2}+C.\nonumber \]
Поставивши відповідь назад в терміні t, отримуємо
\[ ∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt=\dfrac{1}{2u^2}+C=\dfrac{1}{2\cos^2t}+C.\nonumber \]
Використовуйте підстановку для оцінки інтеграла\( \displaystyle ∫\dfrac{\cos t}{\sin^2t}\,dt.\)
- Підказка
-
Скористайтеся процесом з\(\PageIndex{3}\) Example для вирішення проблеми.
- Відповідь
-
\(\displaystyle ∫\dfrac{\cos t}{\sin^2t}\,dt = −\dfrac{1}{\sin t}+C\)
Використовуйте підстановку для оцінки невизначеного інтеграла\(\displaystyle ∫\cos^3t\sin t\,dt. \)
- Підказка
-
Скористайтеся процесом з\(\PageIndex{3}\) Example для вирішення проблеми.
- Відповідь
-
\(\displaystyle ∫\cos^3t\sin t\,dt = −\dfrac{\cos^4t}{4}+C \)
Іноді нам потрібно маніпулювати інтегралом способами, які є більш складними, ніж просто множення або ділення на константу. Нам потрібно усунути всі вирази всередині integrand, які знаходяться в терміні вихідної змінної. Коли ми закінчимо,\(u\) повинна бути єдиною змінною в integrand. У деяких випадках це означає рішення для вихідної змінної з точки зору\(u\). Ця методика повинна стати зрозумілою в наступному прикладі.
Використовуйте заміщення, щоб знайти антипохідне\[ ∫\dfrac{x}{\sqrt{x−1}}\,dx. \nonumber \]
Рішення
Якщо ми дозволимо\(u=x−1,\) тоді\(du=dx\). Але це не враховує\(x\) в чисельнику ціле. Нам потрібно висловити з\(x\) точки зору\(u.\) If\(u=x−1\), то\(x=u+1.\) тепер ми можемо переписати інтеграл з точки зору\(u:\)
\[ ∫\dfrac{x}{\sqrt{x−1}}\,dx=∫\dfrac{u+1}{\sqrt{u}}\,du=∫\left(\sqrt{u}+\dfrac{1}{\sqrt{u}}\right)\,du=∫\left(u^{1/2}+u^{−1/2}\right)\,du.\nonumber \]
Потім інтегруємо звичайним способом, замінюємо\(u\) оригінальним виразом, а фактор і спрощуємо результат. Таким чином,
\[ \begin{align*} ∫(u^{1/2}+u^{−1/2})\,du &=\dfrac{2}{3}u^{3/2}+2u^{1/2}+C \\[4pt] &= \dfrac{2}{3}(x−1)^{3/2}+2(x−1)^{1/2}+C \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left[\dfrac{2}{3}(x−1)+2\right]+C \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left(\dfrac{2}{3}x−\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{3}\right) \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}\right) \\[4pt] &= \dfrac{2}{3}(x−1)^{1/2}(x+2)+C. \end{align*}\]
Заміна визначених інтегралів
Заміна може бути використана і з певними інтегралами. Однак використання заміщення для оцінки певного інтеграла вимагає зміни меж інтеграції. Якщо ми змінюємо змінні в integrand, межі інтеграції також змінюються.
Нехай\(u=g(x)\) і нехай\(g'\) буде безперервним протягом інтервалу\([a,b]\), і нехай\(f\) бути безперервним в діапазоні\(u=g(x).\) Тоді,
\[∫^b_af(g(x))g′(x)\,dx=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du. \nonumber \]
Хоча формально ми не будемо доводити цю теорему, обгрунтуємо її деякими розрахунками тут. З правила заміщення невизначеного інтегралу, якщо\(F(x)\) є антипохідним від\(f(x),\) ми маємо
\[ ∫f(g(x))g′(x)\,dx=F(g(x))+C. \nonumber \]
Тоді
\[\begin{align*} ∫^b_af[g(x)]g′(x)\,dx &= F(g(x))\bigg|^{x=b}_{x=a} \\[4pt] &=F(g(b))−F(g(a)) \\[4pt] &= F(u) \bigg|^{u=g(b)}_{u=g(a)} \\[4pt] &=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du \end{align*}\]
і ми маємо бажаний результат.
Використовуйте заміну для оцінки\[ ∫^1_0x^2(1+2x^3)^5\,dx. \nonumber \]
Рішення
Нехай\(u=1+2x^3\), так\(du=6x^2\,dx\). Оскільки вихідна функція включає один множник\(x^2\) і\(du=6x^2\,dx\), помножте обидві сторони\(du\) рівняння на\(1/6.\) Тоді,
\[ \begin{align*} du &=6x^2\,dx \\[4pt] \text{becomes}\quad \dfrac{1}{6}du &=x^2\,dx. \end{align*}\]
Щоб налаштувати межі інтеграції, зверніть увагу, що коли\(x=0,u=1+2(0)=1,\) і коли\(x=1,\;u=1+2(1)=3.\)
Тоді
\[ ∫^1_0x^2(1+2x^3)^5dx=\dfrac{1}{6}∫^3_1u^5\,du. \nonumber \]
Оцінюючи цей вислів, отримуємо
\[ \begin{align*} \dfrac{1}{6}∫^3_1u^5\,du &=\left(\dfrac{1}{6}\right)\left(\dfrac{u^6}{6}\right)\Big|^3_1 \\[4pt] &=\dfrac{1}{36}\big[(3)^6−(1)^6\big] \\[4pt] &=\dfrac{182}{9}. \end{align*}\]
Використовуйте підстановку для оцінки певного інтеграла\(\displaystyle ∫^0_{−1}y(2y^2−3)^5\,dy. \)
- Підказка
-
Скористайтеся кроками з Прикладу,\(\PageIndex{5}\) щоб вирішити проблему.
- Відповідь
-
\(\displaystyle ∫^0_{−1}y(2y^2−3)^5\,dy = \dfrac{91}{3}\)
Використовуйте заміну для оцінки\(\displaystyle ∫^1_0x^2 \cos \left(\dfrac{π}{2}x^3\right)\,dx. \)
- Підказка
-
Скористайтеся процесом з\(\PageIndex{5}\) Example для вирішення проблеми.
- Відповідь
-
\(\displaystyle ∫^1_0x^2 \cos \left(\dfrac{π}{2}x^3\right)\,dx = \dfrac{2}{3π}≈0.2122\)
Використовуйте заміну для оцінки\[ ∫^1_0xe^{4x^2+3}\,dx. \nonumber \]
Рішення
Нехай\(u=4x^3+3.\) тоді,\(du=8x\,dx.\) Щоб налаштувати межі інтеграції, ми відзначимо, що коли\(x=0,\,u=3\), і коли\(x=1,\,u=7\). Так наша заміна дає
\[\begin{align*} ∫^1_0xe^{4x^2+3}\,dx &= \dfrac{1}{8}∫^7_3e^u\,du \\[4pt] &=\dfrac{1}{8}e^u\Big|^7_3 \\[4pt] &=\dfrac{e^7−e^3}{8} \\[4pt] &≈134.568 \end{align*}\]
Заміна може бути лише однією з методик, необхідних для оцінки певного інтеграла. Всі властивості та правила інтеграції застосовуються незалежно, і тригонометричні функції, можливо, доведеться переписати за допомогою тригонометричної ідентичності, перш ніж ми зможемо застосувати підстановку. Крім того, у нас є можливість замінити оригінальний вираз для\(u\) після того, як ми знайдемо антидериватив, а це означає, що нам не доведеться змінювати межі інтеграції. Ці два підходи показані на прикладі\(\PageIndex{7}\).
Використовуйте заміну для оцінки\[∫^{π/2}_0\cos^2θ\,dθ. \nonumber \]
Рішення
Давайте спочатку використаємо тригонометричну ідентичність, щоб переписати інтеграл. Ідентичність трига\(\cos^2θ=\dfrac{1+\cos 2θ}{2}\) дозволяє нам переписати інтеграл як
\[∫^{π/2}_0\cos^2θ\,dθ=∫^{π/2}_0\dfrac{1+\cos2θ}{2}\,dθ. \nonumber \]
Потім,
\[ \begin{align*} ∫^{π/2}_0\left(\dfrac{1+\cos2θ}{2}\right)\,dθ &=∫^{π/2}_0\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos 2θ\right)\,dθ \\[4pt] &=\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+∫^{π/2}_0\cos2θ\,dθ. \end{align*}\]
Ми можемо оцінити перший інтеграл таким, яким він є, але нам потрібно зробити підстановку, щоб оцінити другий інтеграл. Нехай\(u=2θ.\) тоді,\(du=2\,dθ,\) або\(\dfrac{1}{2}\,du=dθ\). Крім того, коли\(θ=0,\,u=0,\) і коли\(θ=π/2,\,u=π.\) виражаючи другий інтеграл з точки зору\(u\), ми маємо
\[ \begin{align*}\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0 \cos 2θ\,dθ &=\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)∫^π_0 \cos u \,du \\[4pt] &=\dfrac{θ}{2}\,\bigg|^{θ=π/2}_{θ=0}+\dfrac{1}{4}\sin u\,\bigg|^{u=θ}_{u=0} \\[4pt] &=\left(\dfrac{π}{4}−0\right)+(0−0)=\dfrac{π}{4} \end{align*}\]
Ключові концепції
- Заміна - це методика, яка спрощує інтеграцію функцій, які є результатом похідної ланцюжка-правила. Термін «заміна» відноситься до зміни змінних або підстановки\(du\) змінної\(u\) та відповідних виразів у цілісному.
- При використанні підміни на певний інтеграл ми також повинні змінити межі інтеграції.
Ключові рівняння
- Підстановка невизначені інтеграли\[∫f[g(x)]g′(x)\,dx=∫f(u)\,du=F(u)+C=F(g(x))+C \nonumber \]
- Заміна певними інтегралами\[∫^b_af(g(x))g'(x)\,dx=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du \nonumber \]
Глосарій
- зміна змінних
- заміна змінної, наприклад\(u\), для виразу в integrand
- інтеграція шляхом підміни
- метод інтеграції, що дозволяє інтегрувати функції, які є результатом похідної ланцюга правила