5.5: Заміна

Цілі навчання

• Використовуйте підстановку для оцінки невизначеного інтегралу.
• Використовуйте підстановку для оцінки певних інтегралів.

Фундаментальна теорема числення дала нам метод оцінки інтегралів без використання сум Рімана. Недолік цього методу, однак, полягає в тому, що ми повинні вміти знайти антидериватив, і це не завжди легко. У цьому розділі ми розглядаємо метод, який називається інтеграцією шляхом заміщення, щоб допомогти нам знайти антипохідні. Зокрема, цей метод допомагає нам знайти антипохідні, коли integrand є результатом похідної ланцюгового правила.

Спочатку підхід до процедури заміщення може виявитися не дуже очевидним. Однак це перш за все візуальне завдання - тобто integrand показує вам, що робити; це питання розпізнавання форми функції. Отже, що ми повинні побачити? Шукаємо цілісність форми$f\big[g(x)\big]g′(x)\,dx$. Наприклад, в інтегралі

$$∫(x^2−3)^3 \, 2x \, dx. \label{eq1}$$

у нас є

$$f(x)=x^3 \nonumber$$

і

$$g(x)=x^2−3.\nonumber$$

Тоді

$$g'(x)=2x.\nonumber$$

і

$$f[g(x)]g′(x)=(x^2−3)^3(2x),\nonumber$$

і ми бачимо, що наша цілісність знаходиться в правильній формі. Метод називається заміщенням, тому що ми підставляємо частину integrand змінною$u$ і частина integrand з$du$. Це також називається зміною змінних, оскільки ми змінюємо змінні, щоб отримати вираз, з яким легше працювати для застосування правил інтеграції.

Підстановка невизначені інтеграли

Дозволяти$u=g(x)$, де$g′(x)$ безперервно протягом інтервалу, нехай$f(x)$ бути безперервним у відповідному діапазоні$g$, і нехай$F(x)$ бути антипохідним від$f(x).$ Тоді,

$$\begin{align*} ∫f[g(x)]g′(x)\,dx &=∫f(u)\,du \\[4pt] &=F(u)+C \\[4pt] &= F(g(x))+C \end{align*}$$

Доказ

Дозволяти$f$$g$,$u$,, і$F$ бути, як зазначено в теоремі. Тоді

$$\dfrac{d}{dx}\big[F(g(x))\big]=F′(g(x))g′(x)=f[g(x)]g′(x). \nonumber$$

Інтегруючи обидві сторони стосовно$x$, ми бачимо, що

$$∫f[g(x)]g′(x)\,dx=F(g(x))+C. \nonumber$$

Якщо ми зараз підставимо$u=g(x)$, і$du=g'(x)\,dx$, ми отримаємо

$$∫f[g(x)]g′(x)\,dx=∫f(u)\,du=F(u)+C=F(g(x))+C. \nonumber$$

□

Повертаючись до проблеми, яку ми розглянули спочатку, давайте$u=x^2−3$ і тоді$du=2x\,dx$.

Перепишіть інтеграл (Рівняння\ ref {eq1}) через$u$:

$$∫(x^2−3)^3(2x\,dx)=∫u^3\,du. \nonumber$$

Використовуючи правило потужності для інтегралів, ми маємо

$$∫u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C. \nonumber$$

Замініть оригінальний вираз для$x$ повернення в рішення:

$$\dfrac{u^4}{4}+C=\dfrac{(x^2−3)^4}{4}+C.\nonumber$$

Ми можемо узагальнити процедуру в наступній Стратегії вирішення проблем.

Стратегія вирішення проблем: інтеграція шляхом заміщення

1. Подивіться уважно на integrand і оберіть вираз$g(x)$ в межах integrand, щоб встановити рівне u. Давайте виділимо$g(x)$. такий, що також$g′(x)$ є частиною цілого числа.
2. $du=g′(x)dx.$Підставляємо$u=g(x)$ і в інтеграл.
3. Тепер ми повинні бути в змозі оцінити інтеграл по відношенню до$u$. Якщо інтеграл не може бути оцінений, нам потрібно повернутися назад і вибрати інший вираз для використання як$u$.
4. Оцініть інтеграл з точки зору$u$.
5. Запишіть результат в терміні of$x$ і вираз$g(x).$

Приклад$\PageIndex{1}$: Using Substitution to Find an Antiderivative

Використовуйте заміщення, щоб знайти антипохідне$\displaystyle ∫6x(3x^2+4)^4\,dx.$

Рішення

Насамперед необхідно вибрати вираз для$u$. Ми вибираємо$u=3x^2+4$ тому, що тоді$du=6x\,dx$ і у нас вже є$du$ в integrand. Напишіть інтеграл з точки зору$u$:

$$∫6x(3x^2+4)^4\,dx=∫u^4\,du. \nonumber$$

Пам'ятайте, що$du$ це похідна виразу, обраного для$u$, незалежно від того, що знаходиться всередині цілісного. Тепер ми можемо оцінити інтеграл щодо$u$:

$$∫u^4\,du=\dfrac{u^5}{5}+C=\dfrac{(3x^2+4)^5}{5}+C.\nonumber$$

Аналіз

Ми можемо перевірити нашу відповідь, взявши похідну від результату інтеграції. Ми повинні отримати цілісність. Підібравши$C$ значення для з$1$, ми$y=\dfrac{1}{5}(3x^2+4)^5+1.$ дозволяємо нам

$$y=\dfrac{1}{5}(3x^2+4)^5+1,\nonumber$$

тому

$$\begin{align*} y′ &=\left(\dfrac{1}{5}\right)5(3x^2+4)^46x \\[4pt] &=6x(3x^2+4)^4.\end{align*}$$

Це саме той вираз, з якого ми почали всередині integrand.

Вправа$\PageIndex{1}$

Використовуйте заміщення, щоб знайти антипохідне$\displaystyle ∫3x^2(x^3−3)^2\,dx.$

Підказка

Нехай$u=x^3−3.$

Відповідь

$\displaystyle ∫3x^2(x^3−3)^2\,dx=\dfrac{1}{3}(x^3−3)^3+C$

Іноді нам потрібно налаштувати константи в нашому інтегралі, якщо вони не збігаються точно з виразами, які ми підставляємо.

Приклад$\PageIndex{2}$: Using Substitution with Alteration

Використовуйте заміщення, щоб знайти антипохідне $$∫z\sqrt{z^2−5}\,dz. \nonumber$$

Рішення

Перепишіть інтеграл як$\displaystyle ∫z(z^2−5)^{1/2}\,dz.$ Нехай$u=z^2−5$ і$du=2z\,dz.$ Тепер у нас є проблема, тому що$du=2z\,dz$ і оригінальний вираз має тільки$z\,dz.$ Ми повинні змінити наш вираз для$du$ або інтеграл в$u$ буде вдвічі більше, ніж повинно бути. Якщо помножити обидві сторони$du$ рівняння на$\dfrac{1}{2}$., ми зможемо вирішити цю задачу. Таким чином,

$$u=z^2−5\nonumber$$

$$du=2z\,dz \nonumber$$

$$\dfrac{1}{2}du=\dfrac{1}{2}(2z)\,dz=z\,dz. \nonumber$$

Напишіть інтеграл з точки зору$u$, але витягніть$\dfrac{1}{2}$ назовні символ інтеграції:

$$∫z(z^2−5)^{1/2}\,dz=\dfrac{1}{2}∫u^{1/2}\,du.\nonumber$$

Інтегруйте вираз у$u$:

$$\begin{align*} \dfrac{1}{2}∫u^{1/2}\,du &= \left(\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{u^{3/2}}{\dfrac{3}{2}}+C \\[4pt] &= \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)u^{3/2}+C \\[4pt] &=\dfrac{1}{3}u^{3/2}+C \\[4pt] &=\dfrac{1}{3}(z^2−5)^{3/2}+C \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{2}$

Використовуйте заміщення, щоб знайти антипохідне$\displaystyle ∫x^2(x^3+5)^9\,dx.$

Підказка

Помножте рівняння du на$\dfrac{1}{3}$.

Відповідь

$\displaystyle ∫x^2(x^3+5)^9\,dx = \dfrac{(x^3+5)^{10}}{30}+C$

Приклад$\PageIndex{3}$: Using Substitution with Integrals of Trigonometric Functions

Використовуйте підстановку для оцінки інтеграла$\displaystyle ∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt.$

Рішення

Ми знаємо похідне від$\cos t$ є$−\sin t$, тому ми встановлюємо$u=\cos t$. Тоді$du=−\sin t\,dt.$

Підставляючи в інтеграл, ми маємо

$$∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt=−∫\dfrac{du}{u^3}.\nonumber$$

Оцінюючи інтеграл, отримуємо

$$−∫\dfrac{du}{u^3}=−∫u^{−3}\,du=−\left(−\dfrac{1}{2}\right)u^{−2}+C.\nonumber$$

Поставивши відповідь назад в терміні t, отримуємо

$$∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt=\dfrac{1}{2u^2}+C=\dfrac{1}{2\cos^2t}+C.\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{3}$

Використовуйте підстановку для оцінки інтеграла$\displaystyle ∫\dfrac{\cos t}{\sin^2t}\,dt.$

Підказка

Скористайтеся процесом з$\PageIndex{3}$ Example для вирішення проблеми.

Відповідь

$\displaystyle ∫\dfrac{\cos t}{\sin^2t}\,dt = −\dfrac{1}{\sin t}+C$

Вправа$\PageIndex{4}$

Використовуйте підстановку для оцінки невизначеного інтеграла$\displaystyle ∫\cos^3t\sin t\,dt.$

Підказка

Скористайтеся процесом з$\PageIndex{3}$ Example для вирішення проблеми.

Відповідь

$\displaystyle ∫\cos^3t\sin t\,dt = −\dfrac{\cos^4t}{4}+C$

Іноді нам потрібно маніпулювати інтегралом способами, які є більш складними, ніж просто множення або ділення на константу. Нам потрібно усунути всі вирази всередині integrand, які знаходяться в терміні вихідної змінної. Коли ми закінчимо,$u$ повинна бути єдиною змінною в integrand. У деяких випадках це означає рішення для вихідної змінної з точки зору$u$. Ця методика повинна стати зрозумілою в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{4}$: Finding an Antiderivative Using $u$-Substitution

Використовуйте заміщення, щоб знайти антипохідне $$∫\dfrac{x}{\sqrt{x−1}}\,dx. \nonumber$$

Рішення

Якщо ми дозволимо$u=x−1,$ тоді$du=dx$. Але це не враховує$x$ в чисельнику ціле. Нам потрібно висловити з$x$ точки зору$u.$ If$u=x−1$, то$x=u+1.$ тепер ми можемо переписати інтеграл з точки зору$u:$

$$∫\dfrac{x}{\sqrt{x−1}}\,dx=∫\dfrac{u+1}{\sqrt{u}}\,du=∫\left(\sqrt{u}+\dfrac{1}{\sqrt{u}}\right)\,du=∫\left(u^{1/2}+u^{−1/2}\right)\,du.\nonumber$$

Потім інтегруємо звичайним способом, замінюємо$u$ оригінальним виразом, а фактор і спрощуємо результат. Таким чином,

$$\begin{align*} ∫(u^{1/2}+u^{−1/2})\,du &=\dfrac{2}{3}u^{3/2}+2u^{1/2}+C \\[4pt] &= \dfrac{2}{3}(x−1)^{3/2}+2(x−1)^{1/2}+C \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left[\dfrac{2}{3}(x−1)+2\right]+C \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left(\dfrac{2}{3}x−\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{3}\right) \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}\right) \\[4pt] &= \dfrac{2}{3}(x−1)^{1/2}(x+2)+C. \end{align*}$$

Заміна визначених інтегралів

Заміна може бути використана і з певними інтегралами. Однак використання заміщення для оцінки певного інтеграла вимагає зміни меж інтеграції. Якщо ми змінюємо змінні в integrand, межі інтеграції також змінюються.

Заміна певними інтегралами

Нехай$u=g(x)$ і нехай$g'$ буде безперервним протягом інтервалу$[a,b]$, і нехай$f$ бути безперервним в діапазоні$u=g(x).$ Тоді,

$$∫^b_af(g(x))g′(x)\,dx=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du. \nonumber$$

Хоча формально ми не будемо доводити цю теорему, обгрунтуємо її деякими розрахунками тут. З правила заміщення невизначеного інтегралу, якщо$F(x)$ є антипохідним від$f(x),$ ми маємо

$$∫f(g(x))g′(x)\,dx=F(g(x))+C. \nonumber$$

Тоді

$$\begin{align*} ∫^b_af[g(x)]g′(x)\,dx &= F(g(x))\bigg|^{x=b}_{x=a} \\[4pt] &=F(g(b))−F(g(a)) \\[4pt] &= F(u) \bigg|^{u=g(b)}_{u=g(a)} \\[4pt] &=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du \end{align*}$$

і ми маємо бажаний результат.

Приклад$\PageIndex{5}$: Using Substitution to Evaluate a Definite Integral

Використовуйте заміну для оцінки $$∫^1_0x^2(1+2x^3)^5\,dx. \nonumber$$

Рішення

Нехай$u=1+2x^3$, так$du=6x^2\,dx$. Оскільки вихідна функція включає один множник$x^2$ і$du=6x^2\,dx$, помножте обидві сторони$du$ рівняння на$1/6.$ Тоді,

$$\begin{align*} du &=6x^2\,dx \\[4pt] \text{becomes}\quad \dfrac{1}{6}du &=x^2\,dx. \end{align*}$$

Щоб налаштувати межі інтеграції, зверніть увагу, що коли$x=0,u=1+2(0)=1,$ і коли$x=1,\;u=1+2(1)=3.$

Тоді

$$∫^1_0x^2(1+2x^3)^5dx=\dfrac{1}{6}∫^3_1u^5\,du. \nonumber$$

Оцінюючи цей вислів, отримуємо

$$\begin{align*} \dfrac{1}{6}∫^3_1u^5\,du &=\left(\dfrac{1}{6}\right)\left(\dfrac{u^6}{6}\right)\Big|^3_1 \\[4pt] &=\dfrac{1}{36}\big[(3)^6−(1)^6\big] \\[4pt] &=\dfrac{182}{9}. \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{5}$

Використовуйте підстановку для оцінки певного інтеграла$\displaystyle ∫^0_{−1}y(2y^2−3)^5\,dy.$

Підказка

Скористайтеся кроками з Прикладу,$\PageIndex{5}$ щоб вирішити проблему.

Відповідь

$\displaystyle ∫^0_{−1}y(2y^2−3)^5\,dy = \dfrac{91}{3}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Використовуйте заміну для оцінки$\displaystyle ∫^1_0x^2 \cos \left(\dfrac{π}{2}x^3\right)\,dx.$

Підказка

Скористайтеся процесом з$\PageIndex{5}$ Example для вирішення проблеми.

Відповідь

$\displaystyle ∫^1_0x^2 \cos \left(\dfrac{π}{2}x^3\right)\,dx = \dfrac{2}{3π}≈0.2122$

Приклад$\PageIndex{6}$: Using Substitution with an Exponential Function

Використовуйте заміну для оцінки $$∫^1_0xe^{4x^2+3}\,dx. \nonumber$$

Рішення

Нехай$u=4x^3+3.$ тоді,$du=8x\,dx.$ Щоб налаштувати межі інтеграції, ми відзначимо, що коли$x=0,\,u=3$, і коли$x=1,\,u=7$. Так наша заміна дає

$$\begin{align*} ∫^1_0xe^{4x^2+3}\,dx &= \dfrac{1}{8}∫^7_3e^u\,du \\[4pt] &=\dfrac{1}{8}e^u\Big|^7_3 \\[4pt] &=\dfrac{e^7−e^3}{8} \\[4pt] &≈134.568 \end{align*}$$

Заміна може бути лише однією з методик, необхідних для оцінки певного інтеграла. Всі властивості та правила інтеграції застосовуються незалежно, і тригонометричні функції, можливо, доведеться переписати за допомогою тригонометричної ідентичності, перш ніж ми зможемо застосувати підстановку. Крім того, у нас є можливість замінити оригінальний вираз для$u$ після того, як ми знайдемо антидериватив, а це означає, що нам не доведеться змінювати межі інтеграції. Ці два підходи показані на прикладі$\PageIndex{7}$.

Приклад$\PageIndex{7}$: Using Substitution to Evaluate a Trigonometric Integral

Використовуйте заміну для оцінки $$∫^{π/2}_0\cos^2θ\,dθ. \nonumber$$

Рішення

Давайте спочатку використаємо тригонометричну ідентичність, щоб переписати інтеграл. Ідентичність трига$\cos^2θ=\dfrac{1+\cos 2θ}{2}$ дозволяє нам переписати інтеграл як

$$∫^{π/2}_0\cos^2θ\,dθ=∫^{π/2}_0\dfrac{1+\cos2θ}{2}\,dθ. \nonumber$$

Потім,

$$\begin{align*} ∫^{π/2}_0\left(\dfrac{1+\cos2θ}{2}\right)\,dθ &=∫^{π/2}_0\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos 2θ\right)\,dθ \\[4pt] &=\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+∫^{π/2}_0\cos2θ\,dθ. \end{align*}$$

Ми можемо оцінити перший інтеграл таким, яким він є, але нам потрібно зробити підстановку, щоб оцінити другий інтеграл. Нехай$u=2θ.$ тоді,$du=2\,dθ,$ або$\dfrac{1}{2}\,du=dθ$. Крім того, коли$θ=0,\,u=0,$ і коли$θ=π/2,\,u=π.$ виражаючи другий інтеграл з точки зору$u$, ми маємо

$$\begin{align*}\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0 \cos 2θ\,dθ &=\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)∫^π_0 \cos u \,du \\[4pt] &=\dfrac{θ}{2}\,\bigg|^{θ=π/2}_{θ=0}+\dfrac{1}{4}\sin u\,\bigg|^{u=θ}_{u=0} \\[4pt] &=\left(\dfrac{π}{4}−0\right)+(0−0)=\dfrac{π}{4} \end{align*}$$

Ключові концепції

• Заміна - це методика, яка спрощує інтеграцію функцій, які є результатом похідної ланцюжка-правила. Термін «заміна» відноситься до зміни змінних або підстановки$du$ змінної$u$ та відповідних виразів у цілісному.
• При використанні підміни на певний інтеграл ми також повинні змінити межі інтеграції.

Ключові рівняння

• Підстановка невизначені інтеграли $$∫f[g(x)]g′(x)\,dx=∫f(u)\,du=F(u)+C=F(g(x))+C \nonumber$$
• Заміна певними інтегралами $$∫^b_af(g(x))g'(x)\,dx=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du \nonumber$$

Глосарій

зміна змінних

заміна змінної, наприклад$u$, для виразу в integrand

інтеграція шляхом підміни

метод інтеграції, що дозволяє інтегрувати функції, які є результатом похідної ланцюга правила