9.3: Обчислення та параметричні рівняння

У попередньому розділі визначені криві на основі параметричних рівнянь. У цьому розділі ми будемо використовувати методи обчислення для вивчення цих кривих. Нас все ще цікавлять лінії, дотичні до точок на кривій. Вони описують, як змінюються$y$ -значення щодо$x$ -значень, вони корисні для наближення та вказують миттєвий напрямок руху.

Нахил дотичної лінії залишається$\frac{dy}{dx}$, і Правило Ланцюга дозволяє обчислити це в контексті параметричних рівнянь. Якщо$x=f(t)$ і$y=g(t)$, Правило ланцюга стверджує, що

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.$$

Вирішуючи за$\frac{dy}{dx}$, отримуємо

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}\Bigg/\frac{dx}{dt} = \frac{g^\prime (t)}{f^\prime (t)},$$

за умови, що$f^\prime (t)\neq 0$. Це важливо, тому ми позначаємо це ключовою ідеєю.

ключова ідея 37 Пошук$\frac{dy}{dx}$ with Parametric Equations.

Нехай$x=f(t)$ і$y=g(t)$, де$f$ і$g$ диференційовані на якомусь відкритому інтервалі$I$ і$f^\prime (t)\neq 0$ далі$I$. Тоді

$$\frac{dy}{dx} = \frac{g^\prime (t)}{f^\prime (t)}.$$

Ми використовуємо це для визначення дотичної лінії.

Визначення 47 Тангенс і Нормальні лінії

$C$Нехай крива параметризується$x=f(t)$ і$y=g(t)$, де$f$ і$g$ є диференційованими функціями на деякому інтервалі,$I$ що містять$t=t_0$. Дотична лінія до$C$ at$t=t_0$ - це лінія, наскрізна$\big(f(t_0),g(t_0)\big)$ з нахилом$m=g^\prime (t_0)/f^\prime (t_0)$, передбачена$f^\prime (t_0)\neq 0$.

Нормальна лінія до$C$ at$t=t_0$ - це лінія через$\big(f(t_0),g(t_0)\big)$ з нахилом$m=-f^\prime (t_0)/g^\prime (t_0)$, передбачена$g^\prime (t_0)\neq 0$.

Визначення залишає розглянути два особливих випадки. Коли дотична лінія горизонтальна, нормальна лінія не визначена вищевказаним визначенням як$g^\prime (t_0)=0$. Так само, коли нормальна лінія горизонтальна, дотична лінія не визначена. Здається розумним, щоб ці лінії були визначені (наприклад, можна намалювати лінію, дотичну до «правої сторони» кола), тому ми додаємо наступне до вищевказаного визначення.

1. Якщо дотична лінія$t=t_0$ має нахил 0, нормаль до$C$ at$t=t_0$ є лінією$x=f(t_0)$.
2. Якщо нормальна лінія$t=t_0$ має нахил 0, дотичною лінією до$C$ at$t=t_0$ є лінією$x=f(t_0)$.

Приклад$\PageIndex{1}$: Tangent and Normal Lines to Curves

Дозволяти$x=5t^2-6t+4$ і$y=t^2+6t-1$, і$C$ нехай крива, визначена цими рівняннями.

1. Знайти рівняння дотичної і нормальної ліній до$C$ at$t=3$.
2. Знайти, де$C$ має вертикальні та горизонтальні дотичні лінії.

Рішення

1. Починаємо з обчислень$f^\prime (t) = 10t-6$ і$g^\prime (t) =2t+6$. Таким чином $$\frac{dy}{dx} = \frac{2t+6}{10t-6}.$$
   , Зверніть увагу на те, що може здатися незвичайним:$\frac{dy}{dx}$ це функція$t$, а не$x$. Подібно до того, як точки на кривій знаходяться в терміні$t$, так і нахили дотичних ліній.
   
   Точка на$C$ на$t=3$ є$(31,26)$. Нахил дотичної лінії дорівнює$m=1/2$ і нахил нормальної лінії дорівнює$m=-2$. Таким чином,
   
   $\bullet$ рівняння дотичної прямої є$y=\frac12(x-31)+26$, а
   $\bullet$ рівняння нормальної прямої -$y=-2(x-31)+26$.
   
   Це проілюстровано на малюнку 9.29.
   
2. Щоб знайти де$C$ має горизонтальну дотичну лінію, задаємо$\frac{dy}{dx}=0$ і вирішуємо для$t$. У цьому випадку це означає встановлення$g^\prime (t)=0$ та рішення для$t$ (і переконавшись, що$f^\prime (t)\neq 0$).
   $$g^\prime (t)=0 \quad \Rightarrow \quad 2t+6=0 \quad \Rightarrow \quad t=-3.$$
   Точка на$C$ відповідному$t=-3$ є$(67,-10)$; дотична лінія в цій точці горизонтальна (отже, з рівнянням$y=-10$).
   
   Щоб знайти, де$C$ має вертикальну дотичну лінію, ми знаходимо, де вона має горизонтальну нормальну лінію, і встановлюємо$-\frac{f^\prime (t)}{g^\prime (t)}=0$. Це означає встановлення$f^\prime (t)=0$ та рішення для$t$ (і переконавшись, що$g^\prime (t)\neq 0$).
   $$f^\prime (t)=0 \quad \Rightarrow \quad 10t-6=0 \quad \Rightarrow \quad t=0.6.$$
   
   Точка на$C$ відповідному$t=0.6$ є$(2.2,2.96)$. Дотична лінія в цій точці є$x=2.2$.
   
   Точки, де дотичні лінії вертикальні і горизонтальні, вказані на графіку на малюнку 9.29.

Малюнок 9.29: Графічні дотичні та нормальні лінії в прикладі 9.3.1

Приклад$\PageIndex{2}$: Tangent and Normal Lines to a Circle

1. Знайти, де одиничне коло, визначене$x=\cos t$ і$y=\sin t$ далі$[0,2\pi]$, має вертикальні та горизонтальні дотичні лінії.
2. Знайти рівняння нормальної прямої при$t=t_0$.

Рішення

1. Обчислюємо похідну наступну Key Idea 37:
   $$\frac{dy}{dx} = \frac{g^\prime (t)}{f^\prime (t)} = -\frac{\cos t}{\sin t}.$$
   Похідна - це$0$ коли$\cos t= 0$; тобто коли$t=\pi/2,\ 3\pi/2$. Це точки$(0,1)$ і$(0,-1)$ на колі.
   
   Нормальна лінія горизонтальна (а значить, і дотична лінія вертикальна) коли$\sin t=0$; тобто коли$t= 0,\ \pi,\ 2\pi$, що відповідає точкам$(-1,0)$ і$(0,1)$ на колі. Ці результати повинні мати інтуїтивний сенс.
2. Ухил нормальної лінії при$t=t_0$ дорівнює$m=\frac{\sin t_0}{\cos t_0} = \tan t_0$. Ця нормальна лінія проходить через точку$(\cos t_0,\sin t_0)$, даючи лінії $$\begin{align*}y &=\frac{\sin t_0}{\cos t_0}(x-\cos t_0) + \sin t_0\\ &= (\tan t_0)x,\end{align*}$$
   стільки ж, скільки$\cos t_0\neq 0$. Важливим фактом є визнання того, що нормальні лінії до кола проходять через його центр, як показано на малюнку 9.30. Зазначена по-іншому будь-яка лінія, яка проходить через центр кола, перетинає коло під прямим кутом.

Малюнок 9.30: Ілюстрація того, як нормальні лінії кола проходять через його центр.

Приклад$\PageIndex{3}$: Tangent lines when $\frac{dy}{dx}$ is not defined

Знайдіть рівняння дотичної лінії до астроїда$x=\cos^3 t$,$y=\sin^3t$ при$t=0$, показаному на малюнку 9.31.

Рішення
Ми починаємо з пошуку$x^\prime (t)$ і$y^\prime (t)$:
$$x^\prime (t) = -3\sin t\cos^2t, \qquad y^\prime (t) = 3\cos t\sin^2t.$$
Зверніть увагу, що обидва вони 0 в$t=0$; крива не є гладкою при$t=0$ формуванні перерізу на графіку. Оцінювання$\frac{dy}{dx}$ на цьому етапі повертає невизначену форму «0/0».

Ми можемо, однак, вивчити нахили дотичних ліній поблизу$t=0$, і прийняти межу як$t\to 0$.
\ [\ begin {align*}
\ lim\ limits_ {t\ to0}\ frac {y^\ прайм (t)} {x^\ прайм (t)} &=\ lim\ limits_ {t\ to0}\ frac {3\ cos t\ sin^2t} {-3\ sin t\ cos^2t}\ квад\ текст {(Ми можемо скасувати як)}$t\neq 0$. \\
&=\ lim\ limits_ {t\ to0} -\ frac {\ sin t} {\ cos t}\\
&= 0.
\ end {align*}\]
Ми досягли чогось значного. Коли похідна$\frac{dy}{dx}$ повертає невизначену форму в$t=t_0$, ми можемо визначити її значення, встановивши його бути$\lim\limits_{t\to t_0} \frac{dy}{dx}$, якщо ця межа існує. Це дозволяє нам знаходити нахили дотичних ліній на розворотах, що може бути дуже вигідно.

Малюнок 9.31: Графік астроїда.

Ми знайшли нахил дотичної лінії при$t=0$ рівному 0; тому дотична лінія$x$ - вісь.$y=0$

Увігнутість

Продовжуємо аналізувати криві в площині, розглядаючи їх увігнутість; тобто нас цікавить$\frac{d^2y}{dx^2}$, «друга$y$ похідна по відношенню до»$x$. Щоб знайти це, нам потрібно знайти похідну$\frac{dy}{dx}$ щодо$x$; тобто, $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left[\frac{dy}{dx}\right],$$ але нагадайте, що$\frac{dy}{dx}$ це функція, а не$t$$x$, що робить це обчислення не простим.

Щоб зробити майбутні позначення трохи простіше, давайте$h(t) = \frac{dy}{dx}$. Ми хочемо$\frac{d}{dx}[h(t)]$; тобто хочемо$\frac{dh}{dx}$. Ми знову звертаємося до Правило ланцюга. Примітка:
$$\frac{dh}{dt} = \frac{dh}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} \quad \Rightarrow \quad \frac{dh}{dx} = \frac{dh}{dt}\Bigg/\frac{dx}{dt}.$$

У словах, щоб знайти$\frac{d^2y}{dx^2}$, ми спочатку беремо$\frac{dy}{dx}$ похідну по відношенню до$t$, потім ділимо на$x^\prime (t)$. Ми повторюємо це як ключову ідею.

ключова ідея 38 Пошук$\frac{d^2y}{dx^2}$ with Parametric Equations

$y=g(t)$Дозволяти$x=f(t)$ і бути двічі диференційовні функції на відкритому інтервалі$I$, де$f^\prime (t)\neq 0$ на$I$. Тоді
$$\frac{d^2y}{dx^2}\quad = \quad\frac{d}{dt}\left[\frac{dy}{dx}\right]\Bigg/\frac{dx}{dt} \quad=\quad \frac{d}{dt}\left[\frac{dy}{dx}\right]\Bigg/f^\prime (t).$$

Приклади допоможуть нам зрозуміти цю Ключову Ідею.

Приклад$\PageIndex{4}$: Concavity of Plane Curves

Нехай$x=5t^2-6t+4$ і$y=t^2+6t-1$ як у прикладі 9.3.1. Визначте$t$ - інтервали, на яких граф увігнутий вгору/вниз.

Увігнутість рішення визначається другою$y$ похідною щодо, тому ми обчислимо$x$$\frac{d^2y}{dx^2}$, що тут слідуючи за ключовою ідеєю 38.

У прикладі 9.3.1 ми знайшли$\frac{dy}{dx} = \frac{2t+6}{10t-6}$ і$f^\prime (t) = 10t-6$. Отже:
\ [\ begin {align*}
\ розрив {d^2y} {dx^2} &=\ розрив {d} {dt} {dt}\ лівий [\ frac {2t+6} {10t-6}\ праворуч]\ Bigg/ (10t-6)\\
&= -\ frac {72} {(10t-6) ^2}\ Bigg/ (10t-6)\\
&= -\ розрив {72} {(10т-6) ^3}\\ &= -\ гідророзриву {9} {(5т-3) ^3}
\ кінець {вирівнювати*}\]

Малюнок 9.32: Графік параметричних рівнянь у прикладі 9.3.4 для демонстрації увігнутості.

Графік параметричних функцій увігнутий вгору, коли$\frac{d^2y}{dx^2} > 0$ і увігнутий вниз, коли$\frac{d^2y}{dx^2} <0$. Визначаємо інтервали, коли друга похідна більше/менше 0 шляхом першого знаходження, коли вона дорівнює 0 або undefined.

Оскільки чисельник ніколи не$-\frac{9}{(5t-3)^3}$ дорівнює 0,$\frac{d^2y}{dx^2} \neq 0$ для всіх$t$. Це не визначено коли$5t-3=0$; тобто коли$t= 3/5$. Після роботи, встановленої в розділі 3.4, ми розглянемо значення$t$ більше/менше, ніж$3/5$ на числовому рядку:

Розглядаючи приклад 9.3.1, ми бачимо, що коли$t=3/5=0.6$, графік параметричних рівнянь має вертикальну дотичну лінію. Ця точка також є точкою перегину для графіка, проілюстрованого на малюнку 9.32.

Приклад$\PageIndex{5}$: Concavity of Plane Curves

Знайти точки перегину графа параметричних рівнянь$x=\sqrt{t}$,$y=\sin t$, для$0\leq t\leq 16$.

Рішення
Нам потрібно обчислити$\frac{dy}{dx}$ і$\frac{d^2y}{dx^2}$.

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y^\prime (t)}{x^\prime (t)} = \frac{\cos t}{1/(2\sqrt{t})} = 2\sqrt{t}\cos t.$$

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left[\frac{dy}{dx}\right]}{x^\prime (t)} = \frac{\cos t/\sqrt{t}-2\sqrt{t}\sin t}{1/(2\sqrt{t})}=2\cos t-4t\sin t.$$

Точки перегину знаходять шляхом установки$\frac{d^2y}{dx^2}=0$. Це не банально, оскільки рівняння, що змішують поліноми та тригонометричні функції, як правило, не мають «приємних» рішень.

На малюнку 9.33 (а) ми бачимо графік другої похідної. Це показує, що він має нулі приблизно$t=0.5,\ 3.5,\ 6.5,\ 9.5,\ 12.5$ і$16$. Ці наближення не дуже хороші, зроблені тільки дивлячись на графік. Метод Ньютона забезпечує більш точні наближення. З точністю до 2 знаків після коми ми маємо:
$$t=0.65,\ 3.29,\ 6.36,\ 9.48,\ 12.61\ \text{and}\ 15.74.$$
Відповідні точки були побудовані на графіку параметричних рівнянь на малюнку 9.33 (б). Зверніть увагу, як найбільше відбувається поблизу$x$ - осі, але не точно на осі.

Малюнок 9.33: У (а) графік, який показує$\frac{d^2y}{dx^2}$, де він дорівнює приблизно 0. У (b) графік параметричних рівнянь у прикладі 9.3.5 разом з точками перегину.

Довжина дуги

Продовжуємо дослідження особливостей графіків параметричних рівнянь шляхом обчислення їх довжини дуги. Нагадаємо, в розділі 7.4 ми знайшли довжину дуги графіка функції, від$x=a$ to$x=b$, to be

$$L = \int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\ dx.$$

Ми можемо використовувати це рівняння і перетворити його в контекст параметричного рівняння. $x=f(t)$Дозволивши і$y=g(t)$, ми це знаємо$\frac{dy}{dx} = g^\prime (t)/f^\prime (t)$. Також буде корисно обчислити диференціал$x$:

$$dx = f^\prime (t)dt \qquad \Rightarrow \qquad dt = \frac{1}{f^\prime (t)}\cdot dx.$$

Починаючи з наведеної вище формули довжини дуги, розглянемо:

\ [\ почати {вирівнювати*}
L &=\ int_a^b\ sqrt {1+\ ліворуч (\ frac {dy} {dx}\ праворуч) ^2}\ dx\
&=\ int_a^b\ sqrt {1+\ frac {g^\ прайм (t) ^2} {f^\ прайм (t) ^2}}\ dx. \\
\ текст {Фактор з$f^\prime (t)^2$:} &\
&=\ int_a^b\ sqrt {f^\ прайм (t) ^2+g^\ прайм (t) ^2}\ cdot\ піддужка {\ frac1 {f^\ прайм (t)}\ dx} _ {= dt}\
&=\ int_ {t_1} ^ {t_2}\ sqrt {f^\ простий (t) ^2+g^\ простий (t) ^2}\ dt. \\
\ кінець {вирівнювати*}\]

Зверніть увагу на нові межі (більше не межі, а "$t$" межі).$x$ Їх знаходять знахідкою$t_1$ і$t_2$ такі, що$a= f(t_1)$ і$b=f(t_2)$. Ця формула важлива, тому ми повторюємо її як теорему.

теорема 82 довжина дуги параметричних кривих

$y=g(t)$Дозволяти$x=f(t)$ і бути параметричними рівняннями з$f^\prime$ і$g^\prime$ неперервними на деякому відкритому інтервалі,$I$ що містить$t_1$ і$t_2$ на якому графік простежує себе тільки один раз. Довжина дуги графіка, від$t=t_1$ до$t=t_2$, дорівнює
$$L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{f^\prime (t)^2+g^\prime (t)^2}\ dt.$$

Як і раніше, ці інтеграли часто непросто обчислити. Почнемо з простого прикладу, потім наведемо інший, де ми наближаємо рішення.

Приклад$\PageIndex{6}$: Arc Length of a Circle

Знайти довжину дуги окружності параметризованої шляхом$x=3\cos t$,$y=3\sin t$ на$[0,3\pi/2]$.

Розв'язок: Безпосереднім застосуванням теореми 82 ми маємо

\ [\ почати {вирівнювати*}
L &=\ int_0^ {3\ pi/2}\ sqrt {(-3\ sin t) ^2 + (3\ cos t) ^2}\ dt. \\
\ text {Застосувати теорему Піфагора.} &\\
&=\ int_0^ {3\ pi/2} 3\ dt\\
&= 3t\ Великий|_0^ {3\ pi/2} = 9\ pi/2.
\ end {вирівнювати*}\]

Це повинно мати сенс; ми знаємо з геометрії, що окружність кола з радіусом 3 є$6\pi$; оскільки ми знаходимо$3/4$ довжину дуги кола, довжина дуги є$3/4\cdot 6\pi = 9\pi/2$.

Приклад$\PageIndex{7}$: Arc Length of a Parametric Curve

Графік параметричних рівнянь$x=t(t^2-1)$,$y=t^2-1$ перетинає себе так, як показано на малюнку 9.34, утворюючи «сльозу». Знайдіть довжину дуги крапельки.

Рішення
Ми можемо бачити за параметризаціями$x$ і$y$ що коли$t=\pm 1$,$x=0$ і$y=0$. Це означає, що ми будемо інтегруватися від$t=-1$ до$t=1$. Застосовуючи теорему 82, ми маємо
\ [\ begin {align*}
L &=\ int_ {-1} ^1\ sqrt {(3t^2-1) ^2+ (2t) ^2}\ dt\\
&=\ int_ {-1} ^1\ sqrt {9t^4-2t^2+1}\ dt.
\ end {align*}\]
На жаль, integrand не має антипохідної, що виражається елементарними функціями. Переходимо до числового інтегрування, щоб наблизити його значення. Використовуючи 4 підінтервали, Правило Сімпсона наближає значення інтеграла як$2.65051$. Використовуючи комп'ютер, більше субінтервалів легко використовувати, і$n=20$ дає значення$2.71559$. Збільшення$n$ показує, що ця величина стабільна і добре наближена до фактичного значення.

Малюнок 9.34: Графік параметричних рівнянь в прикладі 9.3.7, де обчислюється довжина дуги сльози.

Площа поверхні твердого тіла обертання

Пов'язана з формулою знаходження довжини дуги є формула знаходження площі поверхні. Ми можемо адаптувати формулу, знайдену в Key Idea 28 з розділу 7.4, подібним чином, як це зроблено для отримання формули довжини дуги, зробленої раніше.

ключова ідея 39 Площа поверхні твердого тіла революції

Розглянемо графік параметричних рівнянь$x=f(t)$ і$y=g(t)$, де$f^\prime$ і$g^\prime$ є неперервними на відкритому інтервалі,$I$ що містять$t_1$ і$t_2$ на якому графік не перетинається сам.

1. Площа поверхні твердого тіла, утвореного обертовим графіком навколо$x$ - осі, дорівнює (де$g(t)\geq~0$ на$[t_1,t_2]$):
   $$\text{Surface Area} = 2\pi\int_{t_1}^{t_2} g(t)\sqrt{f^\prime (t)^2+g^\prime (t)^2}\ dt.$$
2. Площа поверхні твердого тіла, утвореного обертовим графіком навколо$y$ - осі, дорівнює (де$f(t)\geq~0$ на$[t_1,t_2]$):
   $$\text{Surface Area} = 2\pi\int_{t_1}^{t_2} f(t)\sqrt{f^\prime (t)^2+g^\prime (t)^2}\ dt.$$

Приклад$\PageIndex{8}$: Surface Area of a Solid of Revolution

Розглянемо форму крапельки, утворену параметричними рівняннями$x=t(t^2-1)$,$y=t^2-1$ як показано в прикладі 9.3.7. Знайдіть площу поверхні, якщо ця форма повернута навколо$x$ - осі, як показано на малюнку 9.3.8.

Малюнок 9.35: Обертання форми сльози навколо осі x у прикладі 9.3.8

Рішення

Каплевидна форма утворюється між$t=-1$ і$t=1$. Використовуючи Key Idea 39, ми бачимо$[-1,1]$, що нам потрібно$g(t)\geq 0$ на, і це не так. Щоб це виправити, спростимо$g(t)$ замінити на$-g(t)$, який перевертає весь графік навколо$x$ - осі (і не змінює площу поверхні отриманого твердого тіла). Площа поверхні становить:

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ текст {Площа}\ S &= 2\ pi\ int_ {-1} ^1 (1-t^2)\ sqrt {(3t^2-1) ^2+ (2t) ^2}\ dt\\\
&= 2\ pi\ int_ {-1} ^1 (1-t^2)\ sqrt {9t^4-2t^2+1}\ dt.
\ end {вирівнювати*}\]

Знову ми приходимо до інтеграла, який ми не можемо обчислити з точки зору елементарних функцій. Використовуючи Правило Сімпсона с$n=20$, ми знаходимо область, яка повинна бути$S=9.44$. Використовуючи більші значення$n$ показів, це з точністю до 2 знаків після десяткової.

Визначивши новий спосіб створення кривих на площині, в цьому розділі ми застосували методи обчислення до параметричного рівняння, що визначає ці криві, щоб вивчити їх властивості. У наступному розділі ми визначимо інший спосіб формування кривих в площині. Для цього ми створюємо нову систему координат, звану полярними координатами, яка визначає точки на площині способом, відмінним від вимірювання відстаней від осей$y$$x$ - і -.

Автори та атрибуція

• Template:ContribApexCalc