Search

7.4: Довжина дуги та площа поверхні
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Apex)/07%3A_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97/7.04%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B2%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D1%83%D0%B3%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%96
У цьому розділі ми розглянемо просте питання: з огляду на криву, яка її довжина? Це часто називають довжиною дуги.
7.3.4: Площа поверхні правих призм
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_I_(%D0%86%D0%BB%D1%8E%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_-_7_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81)/07%3A_%D0%9A%D1%83%D1%82%D0%B8%2C_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B8/7.03%3A_%D0%A2%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%B4%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/7.3.4%3A_%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BC
Всі 12 прямокутників є однаковими копіями, тому ми можемо знайти площу для одного з них, помножити її на 12, а потім додати на області двох основ». Щоб знайти площу поверхні тривимірної фігури, обличч...Всі 12 прямокутників є однаковими копіями, тому ми можемо знайти площу для одного з них, помножити її на 12, а потім додати на області двох основ». Щоб знайти площу поверхні тривимірної фігури, обличчя якої складаються з багатокутників, ми можемо знайти площу кожної грані та скласти їх! Наприклад, якщо грані куба кожна мають площу 9 см 2 , то площа поверхні куба дорівнює $6\cdot 9$ , або 54 см 2 .
6.4: Довжина дуги кривої та площа поверхні
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/06%3A_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97/6.04%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B2%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D1%83%D0%B3%D0%B8_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%96
Довжину дуги кривої можна обчислити за допомогою певного інтеграла. Довжина дуги спочатку наближається за допомогою відрізків лінії, що генерує суму Рімана. Беручи межу, то дає нам певну інтегральну ф...Довжину дуги кривої можна обчислити за допомогою певного інтеграла. Довжина дуги спочатку наближається за допомогою відрізків лінії, що генерує суму Рімана. Беручи межу, то дає нам певну інтегральну формулу. Цей же процес може бути застосований до функцій y. Поняття, що використовуються для обчислення довжини дуги, можуть бути узагальнені, щоб знайти площу поверхні обертання. Інтеграли, породжені як формулами довжини дуги, так і площі поверхні, часто важко оцінити.
2.9: Грунти
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9D%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%97%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D1%8E/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D1%8F_(%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0)/%D0%9D%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%88%D0%BD%D1%94_%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%B5_%D0%B7%D0%B5%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%96_(Southard)/02%3A_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D1%8F/2.09%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BD%D1%82%D0%B8
Поряд з киснем і водою ґрунти мають важливе значення для існування людини. Майже вся наша їжа надходить, прямо чи опосередковано, з культур, вирощених у ґрунті.
9.3: Обчислення та параметричні рівняння
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Apex)/09%3A_%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D1%96_%D0%B2_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D1%96/9.03%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F
У попередньому розділі визначені криві на основі параметричних рівнянь. У цьому розділі ми будемо використовувати методи обчислення для вивчення цих кривих. Нас все ще цікавлять лінії, дотичні до точо...У попередньому розділі визначені криві на основі параметричних рівнянь. У цьому розділі ми будемо використовувати методи обчислення для вивчення цих кривих. Нас все ще цікавлять лінії, дотичні до точок на кривій. Вони описують, як змінюються значення y щодо x-значень, вони корисні при складанні наближень і вказують миттєвий напрямок руху.
3.8: Зворотні та радикальні функції
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83_%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97/%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/03%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97/3.08%3A_%D0%97%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BD%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97
У цьому розділі ми вивчимо зворотні поліноміальні та раціональні функції, зокрема радикальні функції, з якими ми стикаємося в процесі.
13.5: Площа поверхні
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Apex)/13%3A_%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F/13.05%3A_%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%96
Природним продовженням поняття «довжина дуги через інтервал» до поверхонь є «площа поверхні над областю».
9.9: Вирішити додатки геометрії - обсяг і площа поверхні (частина 1)
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(OpenStax)/09%3A_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/9.09%3A_%D0%92%D0%B8%D1%80%D1%96%D1%88%D0%B8%D1%82%D0%B8_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B8_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_-_%D0%BE%D0%B1%D1%81%D1%8F%D0%B3_%D1%96_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%96_(%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0_1)
Площа поверхні - це квадратна міра загальної площі всіх сторін прямокутного твердого тіла. Обсяг простору всередині прямокутного твердого тіла - це обсяг, кубічна міра. Об'єм, V, будь-якого прямокутно...Площа поверхні - це квадратна міра загальної площі всіх сторін прямокутного твердого тіла. Обсяг простору всередині прямокутного твердого тіла - це обсяг, кубічна міра. Об'єм, V, будь-якого прямокутного твердого тіла є твором довжини, ширини та висоти. Щоб знайти площу поверхні прямокутного тіла, знайдіть площу кожної грані, яку ви бачите, а потім помножте кожну область на два, щоб врахувати обличчя на протилежній стороні.
16.6: Поверхневі інтеграли
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/16%3A_%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F/16.06%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D1%96_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8
Якщо ми хочемо інтегрувати над поверхнею (двовимірним об'єктом), а не шляхом (одновимірним об'єктом) у просторі, то нам потрібен новий вид інтеграла. Ми можемо розширити концепцію лінійного інтеграла ...Якщо ми хочемо інтегрувати над поверхнею (двовимірним об'єктом), а не шляхом (одновимірним об'єктом) у просторі, то нам потрібен новий вид інтеграла. Ми можемо розширити концепцію лінійного інтеграла до поверхневого інтеграла, щоб дозволити нам виконати цю інтеграцію. Поверхневі інтеграли важливі з тих же причин, що і лінійні інтеграли важливі. Вони мають багато застосувань до фізики та техніки, і вони дозволяють нам розширити Фундаментальну теорему обчислення до більш високих вимірів.
9.5: Обчислення та полярні функції
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Apex)/09%3A_%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D1%96_%D0%B2_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D1%96/9.05%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97
У попередньому розділі визначені полярні координати, що ведуть до полярних функцій. Ми досліджували побудову цих функцій та розв'язували фундаментальне питання щодо їх графіків, а саме, де перетинають...У попередньому розділі визначені полярні координати, що ведуть до полярних функцій. Ми досліджували побудову цих функцій та розв'язували фундаментальне питання щодо їх графіків, а саме, де перетинаються два полярні графіки? Тепер звернемо увагу на відповіді на інші питання, рішення яких вимагають використання обчислення. Основою для більшої частини того, що робиться в цьому розділі, є здатність перетворити полярну функцію r = f (θ) у набір параметричних рівнянь.
3.4: Площа поверхні
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_CLP-3_(Feldman%2C_Rechnitzer_%D1%82%D0%B0_Yeager)/03%3A_%D0%9A%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B2/3.04%3A_%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%96
Припустимо, що ми хочемо знайти площу $S\text{,}$ частини, поверхні $z=f(x,y)\text{.}$ Ми починаємо з $S$ розрізання на крихітні шматочки.