Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9: Криві в площині

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    60826

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ми\(y = f(x)\) уважно вивчили функції форми протягом усього цього тексту. Ми вивчили їх межі, їх похідні та їх антипохідні; ми навчилися ідентифікувати ключові особливості їхніх графіків, такі як відносні максимуми та мінімуми, точки перегину та асимптоти; ми знайшли рівняння їх дотичних ліній, ділянки між частинами їх графіків та віссю x та обсяги твердих тіл, що генеруються обертовими частинами їх графіків навколо горизонтальної або вертикальної осі.

    Незважаючи на все це, графіки, створені функціями форми\(y = f(x)\), обмежені. Оскільки кожне значення x може відповідати лише 1 значенню y, загальні форми, такі як кола, не можуть бути повністю описані функцією в такому вигляді. Відповідно, «тест вертикальної лінії» виключає вертикальні лінії з функцій x, хоча ці рядки важливі в математиці.

    У цьому розділі ми розглянемо нові способи малювання кривих на площині. Ми все одно будемо працювати в рамках функцій, так як вхід все одно буде відповідати тільки одному виводу. Однак наші нові методи малювання кривих зроблять тест вертикальної лінії безглуздим і дозволять нам створювати важливі - і красиві - нові криві. Після того, як ці криві будуть визначені, ми застосуємо до них поняття числення, продовжуючи знаходити рівняння дотичних ліній і площ замкнених областей.

    • 9.1: Конічні перерізи
      Стародавні греки визнали, що цікаві форми можуть бути сформовані шляхом перетину площини з подвійним ворсовим конусом (тобто двома однаковими конусами, розміщеними кінчиком до кінчика, як показано на наступних малюнках). Оскільки ці форми формуються у вигляді розрізів коніків, вони заслужили офіційну назву «конічні секції».
    • 9.2: Параметричні рівняння
      Прямокутне рівняння y = f (x) y=f (x) добре працює для деяких фігур, таких як парабола з вертикальною віссю симетрії, але в попередньому розділі ми зіткнулися з кількома фігурами, які не могли бути накидані таким чином. (Для побудови еліпса за допомогою вищеописаної процедури нам потрібно побудувати «верх» і «низ» окремо.) У цьому розділі ми представляємо нову процедуру ескізу.
    • 9.3: Обчислення та параметричні рівняння
      У попередньому розділі визначені криві на основі параметричних рівнянь. У цьому розділі ми будемо використовувати методи обчислення для вивчення цих кривих. Нас все ще цікавлять лінії, дотичні до точок на кривій. Вони описують, як змінюються значення y щодо x-значень, вони корисні при складанні наближень і вказують миттєвий напрямок руху.
    • 9.4: Вступ до полярних координат
      Ми, як правило, знайомилися з ідеєю побудови графічних кривих шляхом пов'язування значень x до значень y через функцію f Попередні два розділи ввели і вивчили новий спосіб побудови точок у площині x, y. Використовуючи параметричні рівняння, значення x та y обчислюються незалежно, а потім будуються разом. Цей метод дозволяє нам графікувати надзвичайний діапазон кривих. Цей розділ представляє ще один спосіб побудови точок на площині: використання полярних координат.
    • 9.5: Обчислення та полярні функції
      У попередньому розділі визначені полярні координати, що ведуть до полярних функцій. Ми досліджували побудову цих функцій та розв'язували фундаментальне питання щодо їх графіків, а саме, де перетинаються два полярні графіки? Тепер звернемо увагу на відповіді на інші питання, рішення яких вимагають використання обчислення. Основою для більшої частини того, що робиться в цьому розділі, є здатність перетворити полярну функцію r = f (θ) у набір параметричних рівнянь.
    • 9.E: Застосування кривих у площині (вправи)

    Дописувачі та атрибуція