9.2: Параметричні рівняння

Ми знайомі з ескізом фігур, таких як параболи, дотримуючись цієї основної процедури:

Прямокутне рівняння добре$y=f(x)$ працює для деяких фігур, таких як парабола з вертикальною віссю симетрії, але в попередньому розділі ми зіткнулися з кількома фігурами, які не можна було намалювати таким чином. (Для побудови еліпса за допомогою вищеописаної процедури нам потрібно побудувати «верх» і «низ» окремо.)

У цьому розділі ми представляємо нову процедуру ескізу:

Тут$x$ і$y$ зустрічаються окремо, але потім будуються разом. Це призводить нас до визначення.

Визначення 45 Параметричні рівняння та криві

$g$Дозволяти$f$ і бути безперервними функціями на інтервалі$I$. Множина всіх точок$\big(x,y\big) = \big(f(t),g(t)\big)$ в декартовій площині, як$t$ змінюється$I$, - це графік параметричних рівнянь$x=f(t)$ і$y=g(t)$, де$t$ знаходиться параметр. Крива - це графік разом з параметричними рівняннями, які її визначають.

Це формальне визначення слова крива. Коли крива лежить у площині (наприклад, декартовій площині), її часто називають плоскою кривою. Приклади допоможуть нам зрозуміти поняття, введені в визначення.

Приклад$\PageIndex{1}$: Plotting parametric functions

Побудувати графік параметричних рівнянь$x=t^2$,$y=t+1$ для$t$ в$[-2,2]$.

Рішення
Ми будуємо графіки параметричних рівнянь майже так само, як ми будували графіки функцій на кшталт$y=f(x)$: складаємо таблицю значень, будуємо точки, потім з'єднуємо ці точки «розумною» кривою. На малюнку 9.20 (а) показана така таблиця значень; зверніть увагу, як у нас є 3 колонки.

Точки$(x,y)$ з таблиці побудовані на малюнку 9.20 (б). Точки були з'єднані плавною кривою. Кожна точка була позначена відповідним$t$ -значенням. Ці значення разом з двома стрілками вздовж кривої використовуються для позначення орієнтації графіка. Ця інформація допомагає нам визначити напрямок, в якому «рухається» графік.

Малюнок 9.20: Таблиця значень параметричних рівнянь в прикладі 9.2.1 разом з ескізом їх графіка.

Ми часто використовуємо букву$t$ як параметр, оскільки ми часто розглядаємо$t$ як представлення часу. Звичайно, існує багато контекстів, в яких параметр не є часом, але це може бути корисно думати з точки зору часу, оскільки має сенс параметричних графіків та їх орієнтації (наприклад, «У$t=0$ той час позиція є,$(1,2)$ а в$t=3$ той час позиція є$(5,1)$»).

Приклад$\PageIndex{2}$: Plotting parametric functions

Намалюйте графік параметричних рівнянь$x=\cos^2t$,$y=\cos t+1$ для$t$ в$[0,\pi]$.

Рішення Знову
починаємо зі складання таблиці значень на малюнку 9.21 (а), потім намічаємо точки$(x,y)$ на декартовій площині на малюнку 9.21 (б).

Малюнок 9.21: Таблиця значень параметричних рівнянь в прикладі 9.2.2 разом з ескізом їх графіка.

Неважко показати, що криві в Прикладах$\PageIndex{1}$ і$\PageIndex{2}$ є частинами однієї і тієї ж параболи. Хоча парабола однакова, криві різні. У прикладі$\PageIndex{1}$, якщо ми дозволимо$t$ варіюватися над усіма дійсними числами, ми отримаємо всю параболу. У цьому прикладі, дозволяючи$t$ варіювати всі дійсні числа, все одно призведе до того ж графіка; ця частина параболи буде простежуватися і повторно простежуватися нескінченно. Орієнтація, показана на малюнку 9.21$[0,\pi]$, показує орієнтацію на, але ця орієнтація змінюється$[\pi,2\pi]$.

Ці приклади починають ілюструвати потужний характер параметричних рівнянь. Їх графіки набагато різноманітніші, ніж графіки функцій, вироблених "$y=f(x)$" функціями.

Примітка технології: Більшість графічних утиліт можуть графувати функції, наведені в параметричній формі. Часто слово «параметричний» скорочено позначається як «PAR» або «PARAM» в варіантах. Користувачеві зазвичай потрібно визначити графічне вікно (тобто мінімальне та максимальне$x$ - і$y$ -значення) разом із значеннями,$t$ які повинні бути побудовані. Користувачеві часто пропонується дати$t$ мінімум,$t$ максимум і «$t$-крок» або «$\Delta t$.» Графічні утиліти ефективно будують параметричні функції так само, як ми показали тут: вони малюють багато точок. Менший$t$ -step відображає більше очок, що робить графік більш гладким (але може зайняти більше часу). На малюнку 9.20$t$ -крок дорівнює 1; на малюнку 9.21$t$ - крок - це$\pi/4$.

Однією приємною особливістю параметричних рівнянь є те, що їх графіки легко зміщуються. Хоча це не надто складно в контексті "$y=f(x)$", результуюча функція може виглядати досить безладно. (Плюс, щоб зрушити вправо на два, ми$x$ замінюємо на$x-2$, який є лічильником - інтуїтивно.) Наступний приклад демонструє це.

Приклад$\PageIndex{3}$: Shifting the graph of parametric functions

Намалюйте графік параметричних рівнянь$x=t^2+t$,$y=t^2-t$. Знайдіть нові параметричні рівняння, які зрушують цей графік вправо на 3 місця і вниз 2.

Розв'язок Графік параметричних рівнянь наведено на малюнку 9.22 (а). Вона являє собою параболу з віссю симетрії уздовж лінії$y=x$; вершина знаходиться в$(0,0)$.

Для того щоб зрушити графік вправо на 3 одиниці, нам потрібно збільшити$x$ -значення на 3 для кожної точки. Простий спосіб досягти цього - просто додати 3 до функції, що визначає$x$:$x = t^2+t+3$. Щоб зрушити графік вниз на 2 одиниці, ми хочемо зменшити кожне$y$ -значення на 2, тому віднімаємо 2 з функції, що визначає$y$:$y = t^2-t-2$. Таким чином, наші параметричні рівняння для зсунутого графа є$x=t^2+t+3$,$y=t^2-t-2$. Це зображено на малюнку 9.22 (b). Зверніть увагу, як вершина тепер на$(3,-2)$.

Малюнок 9.22: Ілюстрація того, як зсунути графіки в 9.2.3.

Оскільки$x$ - і$y$ -значення графіка визначаються незалежно, графіки параметричних функцій часто мають особливості, які не спостерігаються на графіках типу$y=f(x)$ "". Наступний приклад демонструє, як такі графіки можуть надходити в одну і ту ж точку не один раз.

Приклад$\PageIndex{4}$: Graphs that cross themselves

Побудуйте параметричні функції$x=t^3-5t^2+3t+11$$y=t^2-2t+3$ та визначте$t$ -значення, де графік перетинає себе.

Рішення
Використовуючи методи, розроблені в цьому розділі, знову будуємо точки і графуємо параметричні рівняння, як показано на малюнку 9.23. Здається, що графік перетинає себе в точці$(2,6)$, але нам потрібно буде аналітично визначити це.

Малюнок 9.23: Графік параметричних рівнянь з прикладу 9.2.4.

Ми шукаємо два різних значення, скажімо,$s$ і$t$, де$x(s) = x(t)$ і$y(s) = y(t)$. Тобто$x$ -значення однакові саме тоді, коли$y$ -значення однакові. Це дає нам систему з 2 рівнянь з 2 невідомими:

\ [\ почати {масив} {c} s^3-5s^2+3+11 = t^3-5t^2+3t+11\\
s^2-2с+3 = т ^2-2т+3
\ кінець {масив}\]

Рішення цієї системи не є тривіальним, а передбачає лише алгебру. Використовуючи квадратичну формулу, можна вирішити для$t$ другого рівняння і знайти це$t = 1\pm \sqrt{s^2-2s+1}$. Це можна підставити в перше рівняння, виявивши, що графік перетинається на$t=-1$ і$t=3$. Підтверджуємо свій результат обчислювальними$x(-1) = x(3)=2$ і$y(-1) = y(3) = 6$.

Перетворення між прямокутними та параметричними рівняннями

Іноді корисно переписати рівняння прямокутної форми (тобто$y=f(x)$) у параметричну форму, і навпаки. Перетворення з прямокутного в параметричне може бути дуже простим:$y=f(x)$ наведені параметричні рівняння$x=t$,$y=f(t)$ виробляють той же графік. Як приклад$y=x^2$, наведені параметричні рівняння$x=t$,$y=t^2$ виробляють знайому параболу. Однак можуть бути використані інші параметризації. Наступний приклад демонструє одну можливу альтернативу.

Приклад$\PageIndex{5}$: Converting from rectangular to parametric

Розглянемо$y=x^2$. Знайти параметричні рівняння$x=f(t)$,$y=g(t)$ для параболи де$t=\frac{dy}{dx}$. Тобто$t=a$ відповідає точці на графіку, дотична лінія якої має нахил$a$.

Рішення

Почнемо з обчислень$\frac{dy}{dx}$:$y^{\prime} = 2x$. Таким чином ставимо$t=2x$. Ми можемо вирішити за$x$ і знайти$x= t/2$. Знаючи це$y=x^2$, ми маємо$y= t^2/4$. Таким чином, параметричні рівняння для$y=x^2$ параболи

$$x=t/2 \quad y=t^2/4.$$

Щоб знайти точку, де дотична лінія має нахил$-2$, ставимо$t=-2$. Це дає крапку$(-1, 1)$. Ми можемо перевірити, що нахил прямої дотичної до кривої в цій точці дійсно має нахил$-2$.

Ми іноді вибирали параметр, щоб точно моделювати фізичну поведінку.

Приклад$\PageIndex{6}$: Converting from rectangular to parametric

Об'єкт обстрілюється з висоти 0 футів і приземляється через 6 секунд, на відстані 192 футів. Припускаючи ідеальний рух снаряда, висота, в ногах, об'єкта може бути описана тим$h(x) = -x^2/64+3x$, де$x$ знаходиться відстань в футах від початкового розташування. (Таким чином$h(0) = h(192) = 0$ футів.) Знайдіть параметричні рівняння$x=f(t)$,$y=g(t)$ для шляху снаряда, де$x$ горизонтальна відстань, яку об'єкт пройшов у часі$t$ (у секундах) і$y$ є висотою в часі$t$.

Рішення

Фізика говорить нам, що горизонтальний рух снаряда лінійне; тобто горизонтальна швидкість снаряда постійна. Оскільки об'єкт подорожує 192ft за 6s, ми виводимо, що об'єкт рухається горизонтально зі швидкістю 32 футів/с, даючи рівняння$x=32t$. Як$y=-x^2/64+3x$, знаходимо$y= -16t^2+96t$. Ми можемо швидко перевірити, що$y^{\prime\prime\prime}=-32$ ft/s$^2$, прискорення через гравітацію, і що снаряд досягає свого максимуму на$t=3$ півдорозі вздовж свого шляху.

Ці параметричні рівняння полегшують певні визначення місця розташування об'єкта: через 2 секунди в польоті об'єкт знаходиться в точці$\big(x(2),y(2)\big) = \big(64,128\big)$. Тобто він пройшов горизонтально 64 фути і знаходиться на висоті 128 футів, як показано на малюнку 9.24.

Малюнок 9.24: Графік руху снаряда в прикладі 9.2.6

Іноді необхідно перетворити задані параметричні рівняння в прямокутну форму. Це може бути значно складніше, оскільки деякі «прості» на вигляд параметричні рівняння можуть мати дуже «складні» прямокутні рівняння. Це перетворення часто називають «усуненням параметра», оскільки ми шукаємо зв'язок між$x$ і$y$ який не включає параметр$t$.

Приклад$\PageIndex{7}$: Eliminating the parameter

Знайти прямокутне рівняння для кривої, описаної $$x= \frac{1}{t^2+1}\quad \text{and}\quad y=\frac{t^2}{t^2+1}.$$

Рішення

Не існує встановленого способу усунення параметра. Один метод полягає в тому, щоб вирішити для$t$ в одному рівнянні, а потім підставити це значення в другому. Ми використовуємо цю техніку тут, а потім показуємо другий, простіший метод.

Починаючи з$x= 1/(t^2+1)$, вирішуйте для$t$:$t = \pm\sqrt{1/x-1}$. Підставте це значення для$t$ рівняння для$y$:

\ [\ почати {вирівнювати*}
y &=\ гідророзриву {t^2} {t^2 +1}\\
&=\ гідророзриву {1/x-1} {1/x-1}\\
&=\ гідророзриву {1/х - 1} {1/x}\
&=\ ліворуч (\ frac1x-1\ праворуч)\ cdot x\\
&= 1-х.
\ end {вирівнювати*}\]

Малюнок 9.25: Відображення параметричних і прямокутних рівнянь для графіка в прикладі 9.2.7

Таким чином$y=1-x$. Можливо, це було визнано раніше, маніпулюючи рівнянням для$y$:
$$y = \frac{t^2}{t^2+1} = 1-\frac{1}{t^2+1} = 1-x.$$
Це ярлик, який дуже специфічний для цієї проблеми; іноді ярлики існують, і їх варто шукати.

Ми повинні бути обережними, щоб обмежити домен функції$y=1-x$. Параметричні рівняння$x$ обмежуються значеннями в$(0,1]$, таким чином, щоб отримати той самий графік, ми повинні обмежити область$y=1-x$ до того ж.

Графіки цих функцій наведені на малюнку 9.25. Частина графіка, визначена параметричними рівняннями, задається товстою лінією; графік, який визначається$y=1-x$ необмеженою областю, задається тонкою лінією.

Приклад$\PageIndex{8}$: Eliminating the parameter

Усунути параметр в$x=4\cos t+3$,$y= 2\sin t+1$

Рішення

Ми не повинні намагатися вирішувати для цієї$t$ ситуації, оскільки результуюча алгебра/триг буде брудною. Швидше, вирішуємо для$\cos t$ і$\sin t$ в кожному рівнянні відповідно. Це дає $$\cos t = \frac{x-3}{4} \quad \text{and}\quad \sin t=\frac{y-1}{2}.$$
Теорема Піфагора дає$\cos^2t+\sin^2t=1$, так:
\ [\ begin {align*}
\ cos^2t+\ sin^2t &=1\\
\ ліворуч (\ frac {x-3} {4}\ праворуч) ^2 +\ ліворуч (\ frac {y-1} {2}\ праворуч) ^2 &=1
\\ frac {(x-3) ^2} {16}\ розрив {(y-1) ^2} {4} &=1
\ end {вирівнювати*}\]

Малюнок 9.26: Графік параметричних рівнянь$x=4\cos t+3$,$y=2\sin t+1$ у прикладі 9.2.8

Це остаточне рівняння має виглядати знайомим — це рівняння еліпса! Малюнок 9.26 відображає параметричні рівняння, демонструючи, що графік дійсно є еліпсом з горизонтальною великою віссю і центром в$(3,1)$.

Теорема Піфагора також може бути використана для ідентифікації параметричних рівнянь для гіпербол. Наведено параметричні рівняння для еліпсів та гіпербол у наступній Key Idea.

КЛЮЧОВА ІДЕЯ 36 ПАРАМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ ЕЛІПСІВ І ГІПЕРБОЛ

• Параметричні рівняння
  $$x=a\cos t+h, \quad y=b\sin t+k$$
  визначають еліпс з горизонтальною віссю довжини$2a$ та вертикальною віссю довжини$2b$, зосередженою на$(h,k)$.
• Параметричні рівняння
  $$x= a\tan t+h,\quad y=\pm b\sec t+k$$
  визначають гіперболу з вертикальною поперечною віссю з центром$(h,k)$, і
  $$x=\pm a\sec t+h, \quad y=b\tan t + k$$
  визначають гіперболу з горизонтальною поперечною віссю. Кожен має асимптоти при$y=\pm b/a(x-h)+k$.

Спеціальні криві

Малюнок 9.27 дає невелику галерею «цікавих» і «відомих» кривих разом з параметричними рівняннями, які їх виробляють. Зацікавлені читачі можуть почати дізнаватися більше про ці криві за допомогою пошуку в Інтернеті.

Можна відзначити функцію, яку поділяють два з цих графіків: «гострі кути» або кути. Ми бачили графіки з купами раніше і визначили, що такі функції не диференційовані в цих точках. Це призводить нас до визначення.

Малюнок 9.27: Галерея цікавих плоских кривих.

Визначення 46 ГЛАДКИЙ

Крива$x=f(t)$,$C$ визначена,$y=g(t)$ є гладкою на інтервалі,$I$ якщо$f^\prime$ і$g^{\prime}$ є безперервною,$I$ а не одночасно 0 (за винятком, можливо, в кінцевих точках$I$). Крива є кусково-гладкою,$I$ якщо$I$ може бути розділена на підінтервали, де$C$ є гладкою на кожному підінтервалі.

Розглянемо астроїд, даний$x=\cos^3t$,$y=\sin^3t$. Беручи похідні, ми маємо:

$$x^\prime = -3\cos^2t\sin t\quad \text{and}\quad y^{\prime} = 3\sin^2t\cos t.$$

Зрозуміло, що кожен дорівнює 0 коли$t=0,\ \pi/2,\ \pi,\ldots$. Таким чином, астроїд не є гладким у цих точках, що відповідає потикам, поміченим на малюнку. Ми це ще раз демонструємо.

Приклад$\PageIndex{9}$: Determine where a curve is not smooth

Нехай крива$C$ буде визначена параметричними рівняннями$x=t^3-12t+17$ і$y=t^2-4t+8$. Визначте точки, якщо такі є, де вона не гладка.

Рішення

Починаємо з взяття похідних.

$$x^\prime = 3t^2-12,\quad y^{\prime} = 2t-4.$$

Кожну ставимо рівним 0:

\ [\ почати {масив} {l} x^\ правий = 0\ Стрілка вправо 3t^2-12=0\ Стрілка вправо t=\ pm 2\\
y^ {\ правий} =0\ Стрілка вправо 2t-4 = 0\ Стрілка вправо t = 2
\ кінець {масив}
\]

Ми бачимо в$t=2$ обох$x^\prime$ і$y^{\prime}$ 0; Таким чином, не$C$ є гладкою в$t=2$, що відповідає точці$(1,4)$. Крива зображена на малюнку 9.28, що ілюструє поглиблення в$(1,4)$.

Малюнок 9.28: Графік кривої в прикладі 9.2.9; зверніть увагу, що вона не є гладкою$(1,4)$.

Якщо крива не є гладкою$t=t_0$, це означає, що$x^\prime(t_0)=y^{\prime}(t_0)=0$ визначено. Це, в свою чергу, означає, що швидкість зміни$x$ (і$y$) дорівнює 0; тобто в цей момент, ні,$x$ ні$y$ змінюється. Якщо параметричні рівняння описують шлях деякого об'єкта, це означає, що об'єкт знаходиться в стані спокою$t_0$. Об'єкт у спокої може зробити «різку» зміну напрямку, тоді як рухомі об'єкти мають тенденцію змінювати напрямок «плавно».

Слід бути обережним, щоб відзначити, що «гострий кут» не повинен виникати, коли крива не є гладкою. Наприклад, можна перевірити, що$x=t^3$,$y=t^6$ виробляти знайому$y=x^2$ параболу. Однак при такій параметризації крива не є гладкою. Частка, що рухається вздовж параболи відповідно до заданих параметричних рівнянь, приходить в спокій$t=0$, хоча різка точка не створюється. \\

Наш попередній досвід роботи з cusps навчив нас, що функція не диференційована на крок. Це може змусити нас задуматися про похідні в контексті параметричних рівнянь та застосування інших понять числення. З огляду на криву, визначену параметрично, як знайти нахили дотичних ліній? Чи можемо ми визначити увігнутість? Ми досліджуємо ці поняття та багато іншого в наступному розділі.

Автори та авторства

• Template:ContribApexCalc