Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8: Послідовності та серії

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    60721

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У цій главі представлені послідовності і ряди, важливі математичні конструкції, які корисні при вирішенні великої різноманітності математичних задач. Зміст цієї глави значно відрізняється від змісту глав перед нею. Хоча матеріал, який ми вивчаємо тут, безумовно, підпадає під сферу «числення», ми будемо дуже мало використовувати похідні або інтеграли. Однак межі надзвичайно важливі, особливо межі, які передбачають нескінченність.

    Одна з проблем, розглянутих в цій главі, полягає в наступному: припустимо, ми знаємо інформацію про функцію та її похідні в точці\(f(1) = 3\), такі як\(f^\prime(1) = 1\),\(f^{\prime\prime}(1) = -2\),\(f^{\prime\prime\prime}(1) = 7\),, і так далі. Що можна сказати про\(f(x)\) себе? Чи існує якесь розумне наближення значення\(f(2)\)? Тема серії Тейлора розглядає цю проблему і дозволяє нам робити відмінні наближення функцій, коли доступні обмежені знання функції.

    • 8.1: Послідовності
      Ми зазвичай називаємо набір подій, які відбуваються один за одним, як послідовність подій. У математиці ми використовуємо послідовність слів для позначення впорядкованого набору чисел, тобто набору чисел, які «відбуваються один за одним». Наприклад, числа 2, 4, 6, 8,... утворюють послідовність. Порядок важливий.
    • 8.2: Нескінченна серія
      Цей розділ знайомить нас із серіями та визначив кілька спеціальних типів серій, властивості збіжності яких добре відомі: ми знаємо, коли p-серія або геометричний ряд сходяться або розходяться. Більшість серій, з якими ми стикаємося, не є одним із цих типів, але нам все ще цікаво знати, сходяться вони чи ні.
    • 8.3: Інтегральні та порівняльні тести
      Існує багато важливих серій, збіжність яких не може бути визначена цими теоремами, тому ми вводимо набір тестів, які дозволяють нам обробляти широкий спектр серій, включаючи інтегральні та порівняльні тести.
    • 8.4: Співвідношення та кореневі тести
      Порівняльні тести попереднього розділу визначають збіжність шляхом порівняння термінів ряду з термінами іншого ряду, збіжність яких відома. У цьому розділі представлені тести Ratio та Root, які визначають збіжність шляхом аналізу термінів ряду, щоб побачити, чи наближаються вони до 0 «досить швидко».
    • 8.5: Чергування серії та абсолютна конвергенція
      У цьому розділі ми досліджуємо ряди, підсумовування яких включає негативні терміни. Почнемо з дуже специфічної форми рядів, де терміни підсумовування чергуються між позитивними та негативними.
    • 8.6: Серія живлення
      Поки що наше дослідження рядів розглядало питання «Чи є сума цих нескінченних членів кінцевою? , «Тобто, «Чи сходиться серія?» Зараз ми підходимо до ряду з іншої точки зору: як функція. З огляду на значення x, ми оцінюємо f (x), знаходячи суму конкретного ряду, яка залежить від x (припускаючи, що ряд сходиться). Ми починаємо цей новий підхід до серії з визначення.
    • 8.7: Поліноми Тейлора
      Поліном Тейлора є поданням функції у вигляді нескінченної суми членів, які обчислюються за значеннями похідних функції в одній точці.
    • 8.8: Серія Тейлора
      Різниця між поліномом Тейлора та рядом Тейлора полягає в тому, що перший є поліномом, що містить лише скінченну кількість членів, тоді як останній - це ряд, підсумовування нескінченної множини термінів.
    • 8.E: Застосування послідовностей та серій (вправи)

    Дописувачі та атрибуція