8.1: Послідовності

Ми зазвичай називаємо набір подій, які відбуваються один за одним, як послідовність подій. У математиці ми використовуємо послідовність слів для позначення впорядкованого набору чисел, тобто набору чисел, які «відбуваються один за одним».

Наприклад, числа 2, 4, 6, 8,... утворюють послідовність. Порядок важливий; перше число - 2, друге - 4 тощо Здається природним шукати формулу, яка описує задану послідовність, і часто це можна зробити. Наприклад, послідовність вище може бути описана функцією$a(n) = 2n$, для значень$n = 1, 2, \ldots$ Щоб знайти$^\text{th}$ термін 10 в послідовності, ми б обчислили$a(10)$. Це призводить нас до наступного, формального визначення послідовності.

Визначення 27: послідовності, діапазон та терміни

• Послідовність - це функція$a(n)$, домен якої є$\mathbb{N}$.
• Діапазон послідовності - це набір всіх різних значень$a(n)$.
• Терміни послідовності - це значення$a(1)$,$a(2)$,..., які зазвичай позначаються індексами як$a_1$,$a_2$,...

$a(n)$Послідовність часто позначається як$\{a_n\}$.

Позначення: Ми використовуємо$\mathbb{N}$ для опису множини натуральних чисел, тобто цілих чисел 1, 2, 3,...

Визначення: факторіал

Вираз$3!$ відноситься до числа$3\cdot2\cdot1 = 6$. Загалом,

$$n! = n\cdot (n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1$$

де$n$ - натуральне число. Визначаємо$0! = 1$. Хоча це не відразу має сенсу, це змушує багато математичних формул працювати належним чином.

Приклад$\PageIndex{1}$: Listing terms of a sequence

Перерахуйте перші чотири терміни наступних послідовностей.

1. $\{a_n\} = \left\{\frac{3^n}{n!}\right\}$
2. $\{a_n\} = \{4+(-1)^n\}$
3. $\{a_n\} = \left\{\frac{(-1)^{n(n+1)/2}}{n^2}\right\}$

Рішення

1. $a_1=\frac{3^1}{1!} = 3;\qquad a_2= \frac{3^2}{2!} = \frac92;\qquad a_3 = \frac{3^3}{3!} = \frac92; \qquad a_4 = \frac{3^4}{4!} = \frac{27}8$
   Ми можемо побудувати терміни послідовності з розкидним графіком. Для значень використовується "$x$«-вісь»$n$, а значення термінів наносяться на$y$ вісь -. Для візуалізації цієї послідовності див. Рис. 8.1 (а).
2. $a_1= 4+(-1)^1 = 3;\qquad a_2 = 4+(-1)^2 = 5;\quad a_3=4+(-1)^3 = 3; \qquad a_4 = 4+(-1)^4 = 5$. Зверніть увагу, що діапазон цієї послідовності є кінцевим, що складається тільки з значень 3 і 5. Ця послідовність побудована на малюнку 8.1 (б).
3. $\begin{align} a_1&= \frac{(-1)^{1(2)/2}}{1^2} = -1; \qquad a_2 = \frac{(-1)^{2(3)/2}}{2^2} =-\frac14 \\ a_3 &= \frac{(-1)^{3(4)/2}}{3^2} = \frac19 \qquad a_4 = \frac{(-1)^{4(5)/2}}{4^2} = \frac1{16}; \\ a_5 &= \frac{(-1)^{5(6)/2}}{5^2}=-\frac1{25} \end{align}$.
   Ми дали один додатковий термін, щоб почати показувати візерунок знаків є "$-$,,,,$-$,$+$,$+$,$-$,,$-$,$\ldots$,,,,,,,,,,, через те, що показник$-1$ є особливим квадратичним. Ця послідовність побудована на малюнку 8.1 (в).

Малюнок 8.1: Побудова послідовностей у прикладі 8.1.1.

Приклад$\PageIndex{2}$: Determining a formula for a sequence

Знайдіть$n^\text{th}$ термін наступних послідовностей, тобто знайдіть функцію, яка описує кожну з заданих послідовностей.

1. 2, 5, 8, 11, 14,$\ldots$
2. 2$-5$, 10,$-17$, 26,$-37$,$\ldots$
3. 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720,$\ldots$
4. $\frac52$,$\frac52$,$\frac{15}8$,$\frac54$,$\frac{25}{32}$,$\ldots$

Рішення

Спочатку слід зазначити, що ніколи не існує точно однієї функції, яка описує кінцевий набір чисел як послідовність. Є багато послідовностей, які починаються з 2, потім 5, як це робить наш перший приклад. Ми шукаємо просту формулу, яка описує дані терміни, знаючи, що існує, можливо, більше однієї відповіді.

1. Зверніть увагу, як кожен термін на 3 більше, ніж попередній. Це означає, що лінійна функція буде доречною:$a(n) = a_n = 3n + b$ для деякого відповідного значення$b$. Як ми хочемо$a_1=2$, встановлюємо$b=-1$. Таким чином$a_n = 3n-1$.
2. Спочатку зверніть увагу, як знак змінюється від терміну до терміну. Найчастіше це досягається шляхом множення термінів на будь-який$(-1)^n$ або$(-1)^{n+1}$. Використання$(-1)^n$ множить непарні умови на$(-1)$; використання$(-1)^{n+1}$ множить парні терміни на$(-1)$. Оскільки ця послідовність має негативні парні долі, ми помножимо на$(-1)^{n+1}$.
   
   Після цього ми можемо відчувати себе трохи застрягли щодо того, як діяти далі. У цей момент ми просто шукаємо якусь закономірність: що спільного мають цифри 2, 5, 10, 17 і т.д.? Є багато правильних відповідей, але той, який ми будемо використовувати тут, це те, що кожен з них більше, ніж ідеальний квадрат. Тобто,,$2=1^1+1$$5=2^2+1$$10=3^2+1$, і т.д. таким чином наша формула є$a_n= (-1)^{n+1}(n^2+1)$.
3. Той, хто знайомий з факторіальною функцією, легко розпізнає ці числа. Вони є$0!$,$1!$,$2!$$3!$, тощо Оскільки наші послідовності починаються з$n=1$, ми не можемо писати$a_n = n!$, бо це пропускає$0!$ термін. Замість цього ми зрушуємо на 1, і пишемо$a_n = (n-1)!$.
4. Це може здатися важким, тим більше, що перші два терміни однакові, але трохи ``sleuthing» допоможе. Зверніть увагу, як терміни в чисельнику завжди кратні 5, а терміни в знаменнику завжди є степенями 2. Чи щось таке просте, як$a_n = \frac{5n}{2^n}$ працює?
   
   Коли$n=1$, ми бачимо, що ми дійсно$5/2$ отримуємо бажане. Коли$n=2$, отримуємо$10/4 = 5/2$. Подальша перевірка показує, що ця формула дійсно відповідає іншим умовам послідовності.

Загальним математичним зусиллям є створення нового математичного об'єкта (наприклад, послідовності), а потім застосувати раніше відому математику до нового об'єкта. Ми робимо це тут. Основним поняттям числення є межа, тому ми будемо досліджувати, що означає знайти межу послідовності.

Визначення 28 МЕЖА ПОСЛІДОВНОСТІ, КОНВЕРГЕНТНА, ДИВЕРГЕНТНА

$\{a_n\}$Дозволяти бути послідовність і нехай$L$ бути дійсним числом. З огляду на будь-який$\epsilon>0$, якщо$m$ можна знайти таке, що$|a_n-L|<\epsilon$ для всіх$n>m$, то скажемо межа$\{a_n\}$, як$n$ наближається нескінченність, є$L$, позначається $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n = L.$$

Якщо$\lim\limits_{n\to\infty} a_n$ існує, ми говоримо, що послідовність сходиться; інакше послідовність розходиться.

Це визначення неофіційно стверджує, що якщо межа послідовності є$L$, то якщо ви йдете досить далеко уздовж послідовності, всі наступні терміни будуть дійсно близькі до$L$. Звичайно, терміни «досить далеко» і «дійсно близько» є суб'єктивними термінами, але, сподіваємось, намір зрозумілий.

Це визначення нагадує$\epsilon$ —$\delta$ докази глави 1. У цьому розділі ми розробили інші інструменти для оцінки обмежень, окрім формального визначення; ми робимо це і тут.

Теорема 55: МЕЖА ПОСЛІДОВНОСТІ

$\{a_n\}$Дозволяти бути послідовність і нехай$f(x)$ функція, область якої містить позитивні дійсні числа де$f(n) = a_n$ для всіх$n$ в$\mathbb{N}$.

Теорема 55 дозволяє нам у певних випадках застосовувати інструменти, розроблені в главі 1, до меж послідовностей. Зверніть увагу на дві речі, не викладені теоремою:

1. Якщо$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ не існує, ми не можемо зробити висновок, що$\lim\limits_{n\to\infty} a_n$ не існує. Вона може існувати, а може і ні. Наприклад, ми можемо визначити послідовність$\{a_n\} = \{\cos(2\pi n)\}$. Нехай$f(x) = \cos (2\pi x)$. Оскільки функція косинуса коливається над дійсними числами, межі$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ не існує.
   
   Однак для кожного натурального цілого числа$n$$\cos(2\pi n) = 1$, так$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 1$.
2. Якщо ми не можемо знайти функцію, домен$f(x)$ якої містить позитивні дійсні числа, де$f(n) = a_n$ для всіх$n$ в$\mathbb{N}$, ми не можемо зробити висновок, що$\lim\limits_{n\to\infty} a_n$ не існує. Вона може існувати, а може і ні.

Приклад$\PageIndex{3}$: Determining convergence/divergence of a sequence

Визначте збіжність або розбіжність наступних послідовностей.

1. $\{a_n\} = \left\{\frac{3n^2-2n+1}{n^2-1000}\right\}$
2. $\{a_n\} = \{\cos n \}$
3. $\{a_n\} = \left\{\frac{(-1)^n}{n}\right\}$

Рішення

1. Використовуючи теорему 11, ми можемо стверджувати, що$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{3x^2-2x+1}{x^2-1000} = 3$. (Ми могли б також безпосередньо застосувати правило L'H\ ^opital.) При цьому послідовність$\{a_n\}$ сходиться, а її межа дорівнює 3. Графік розкиду кожні 5 значень$a_n$ наведено на малюнку 8.2 (а). Значення$a_n$ коливаються широко близько$n=30$, починаючи від приблизно$-73$ до$125$, але в$n$ міру зростання значення наближаються до 3.
   
2. Межі$\lim\limits_{x\to\infty}\cos x$ не існує, так як$\cos x$ коливається (і бере на себе кожне значення$[-1,1]$ нескінченно багато разів). Таким чином, ми не можемо застосувати теорему 55.
   
   Той факт, що функція косинуса сильно коливається, натякає на те$\cos n$, що, коли$n$ її обмежують$\mathbb{N}$, також буде коливатися. Малюнок 8.2 (b), де побудована послідовність, показує, що це вірно. Оскільки побудовані лише дискретні значення косинуса, він не несе сильної схожості зі знайомою косинусоїдальною хвилею.
   
   Робимо висновок, що$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ не існує.
3. Ми не можемо насправді застосувати теорему 55 тут, оскільки функція не$f(x) = (-1)^x/x$ дуже чітко визначена. (Що$(-1)^{\sqrt{2}}$ означає? Насправді відповідь є, але він передбачає комплексний аналіз, що виходить за рамки цього тексту.) Тож поки що ми говоримо, що не можемо визначити межу. (Але ми зможемо дуже скоро.) Дивлячись на сюжет на малюнку 8.2 (c), ми хотіли б зробити висновок, що послідовність сходиться до 0. Це правда, але на даний момент ми не в змозі рішуче сказати так.

Малюнок 8.2: Графіки розкиду послідовностей у прикладі 8.1.2.

Здається, що$\{(-1)^n/n\}$ сходиться до 0, але нам не вистачає формального інструменту, щоб довести це. Наступна теорема дає нам цей інструмент.

ТЕОРЕМА 56: ТЕОРЕМА АБСОЛЮТНОГО ЗНАЧЕННЯ

$\{a_n\}$Дозволяти послідовність. Якщо$\lim\limits_{n\to\infty} |a_n| = 0$, то$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0$

Приклад$\PageIndex{4}$: Determining the convergence/divergence of a sequence

Визначте збіжність або розбіжність наступних послідовностей.

1. $\{a_n\} = \left\{\frac{(-1)^n}{n}\right\}$
2. $\{a_n\} = \left\{\frac{(-1)^n(n+1)}{n}\right\}$

Рішення

1. Це з'явилося в прикладі 8.1.1. Ми хочемо застосувати теорему 56, тому розглянемо межу$\{|a_n|\}$:
   $$\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} |a_n| &= \lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| \\ &= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n} \\ &= 0. \end{align*}$$
   Оскільки ця межа дорівнює 0, ми можемо застосувати теорему 56 і стверджувати, що$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$.
2. Через чергуючий характер цієї послідовності (тобто кожен інший член множиться на$-1$), ми не можемо просто дивитися на межу$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{(-1)^x(x+1)}{x}$. Ми можемо спробувати застосувати прийоми теореми 56:
   $$\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} |a_n| &= \lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{(-1)^n(n+1)}{n}\right| \\ &= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n+1}{n}\\ &= 1. \end{align*}$$
   
   Ми зробили висновок, що коли ми ігноруємо чергуючий знак, послідовність наближається до 1. Це означає, що ми не можемо застосувати теорему 56; він стверджує, що межа повинна бути 0, щоб щось зробити.
   
   Оскільки ми знаємо, що знаки термінів чергуються, і ми знаємо, що межа$|a_n|$ дорівнює 1, ми знаємо, що з$n$ наближенням до нескінченності терміни чергуватимуться між значеннями, близькими до 1$-1$, а це означає, що послідовність розходиться. Графік цієї послідовності наведено на малюнку 8.3.

Малюнок 8.3: Графік послідовності в прикладі 8.1.2, частина 2.

Продовжуємо дослідження меж послідовностей, розглядаючи деякі властивості цих меж.

ТЕОРЕМА 57: Властивості меж послідовностей

$\{a_n\}$$\{b_n\}$Дозволяти і бути послідовності такі$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = L$$s \lim\limits_{n\to\infty} b_n = K$, що, і нехай$c$ бути дійсне число.

$\begin{align} &1. \lim\limits_{n\to\infty} (a_n\pm b_n) = L\pm K \qquad \qquad \qquad &&3.\lim\limits_{n\to\infty} (a_n/b_n) = L/K, K\neq 0 \nonumber \\ &2.\lim\limits_{n\to\infty} (a_n\cdot b_n) = L\cdot K \qquad \qquad \qquad &&4. \lim\limits_{n\to\infty} c\cdot a_n = c\cdot L \nonumber \end{align}$

Приклад$\PageIndex{5}$: Applying properties of limits of sequences

Нехай будуть наведені наступні послідовності та їх межі:

• $\{a_n\} = \left\{\frac{n+1}{n^2}\right\}$, і$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0$;
• $\{b_n\} = \left\{\left(1+\frac1n\right)^{n}\right\}$, і$\lim\limits_{n\to\infty} b_n = e$; і
• $\{c_n\} = \big\{n\cdot \sin (5/n)\big\}$, і$\lim\limits_{n\to\infty} c_n = 5$.

Оцініть наступні межі.

1. $\lim\limits_{n\to\infty} (a_n+b_n) \qquad 2. \lim\limits_{n\to\infty} (b_n\cdot c_n) \qquad 3. \lim\limits_{n\to\infty} (1000\cdot a_n)$

Рішення

Ми будемо використовувати теорему 57, щоб відповісти на кожне з них.

1. Оскільки$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0$ і$\lim\limits_{n\to\infty} b_n = e$, ми робимо висновок, що$\lim\limits_{n\to\infty} (a_n+b_n) = 0+e = e.$ Таким чином, незважаючи на те, що ми додаємо щось до кожного члена послідовності$b_n$, ми додаємо щось настільки маленьке, що кінцева межа така ж, як і раніше.
2. Оскільки$\lim\limits_{n\to\infty} b_n = e$ і$\lim\limits_{n\to\infty} c_n = 5$, робимо висновок, що$\lim\limits_{n\to\infty} (b_n\cdot c_n) = e\cdot 5 = 5e.$
3. З тих пір$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0$, у нас є$\lim\limits_{n\to\infty} 1000a_n =1000\cdot 0 = 0$. Неважливо, що ми множимо кожен член на 1000; послідовність все одно наближається до 0. (Це просто займе більше часу, щоб наблизитися до 0.)

Існує більше, щоб дізнатися про послідовності, ніж просто їх межі. Ми також вивчимо їх діапазон та умови взаємозв'язку з термінами, які слідують. Почнемо з деяких визначень, що описують властивості діапазону.

Визначення 29 Обмежені та необмежені послідовності

$\{a_n\}$Послідовність, як кажуть, обмежена, якщо існують дійсні числа$m$ і$M$ такі, що$m < a_n < M$ для всіх$n$ в$\mathbb{N}$.

Послідовність$\{a_n\}$ вважається необмеженою, якщо вона не обмежена.

$\{a_n\}$Послідовність, як кажуть, обмежена вище, якщо існує$M$ така, що$a_n < M$ для всіх$n$ в$\mathbb{N}$; вона обмежена нижче, якщо існує$m$ таке, що$m<a_n$ для всіх$n$ в$\mathbb{N}$.

З цього визначення випливає, що необмежена послідовність може бути обмежена вище або обмежена нижче; послідовність, яка обмежена вище і нижче, є просто обмеженою послідовністю.

Приклад$\PageIndex{6}$: Determining boundedness of sequences

Визначте обмеженість наступних послідовностей.

1. \ (\ {a_n\} =\ ліворуч\ {\ frac1n\ вправо\}\
2. $\{a_n\} = \{2^n\}$

Рішення

1. Терміни цієї послідовності завжди позитивні, але зменшуються, тому ми маємо$0<a_n<2$ для всіх$n$. Таким чином ця послідовність обмежена. Малюнок 8.4 (a) ілюструє це.
   
2. Терміни цієї послідовності, очевидно, ростуть без обмежень. Однак вірно і те, що ці терміни всі позитивні, що означають$0<a_n$. Таким чином, ми можемо сказати, що послідовність необмежена, але також обмежена нижче. Малюнок 8.4 (b) ілюструє це.

Малюнок 8.4: Сюжет${a_n} = {1/n} \text{ and }{a_n}={2^n}$ з прикладу 8.1.6.

Попередній приклад дає кілька цікавих понять. По-перше, ми можемо розпізнати, що послідовність$\left\{1/n\right\}$ сходиться до 0. Це говорить, неофіційно, що «більшість» термінів послідовності «дійсно близькі» до 0. Це означає, що послідовність обмежена, використовуючи наступну логіку. По-перше, «більшість» термінів близькі до 0, тому ми могли б знайти якусь пов'язану з цими термінами (використовуючи визначення 28, прив'язка є$\epsilon$). Це залишає «кілька» термінів, які не близькі до 0 (тобто кінцева кількість термінів). Кінцевий список чисел завжди обмежений.

Ця логіка передбачає, що якщо послідовність сходиться, вона повинна бути обмежена. Це дійсно так, як стверджує наступна теорема.

ТЕОРЕМА 58 ЗБІЖНІ ПОСЛІДОВНОСТІ ОБМЕЖЕНІ

$\left\{a_n\right\}$Дозволяти бути збіжною послідовністю. Потім$\{a_n\}$ обмежується.

У прикладі 8.1.5 ми побачили послідовність$\{b_n\} = \left\{\left(1+1/n\right)^{n}\right\}$, де було зазначено, що$\lim\limits_{n\to\infty} b_n = e$. (Зауважте, що це просто повторна частина теореми 5.) Незважаючи на те, що інтуїтивно зрозуміти поведінку цієї послідовності може бути важко, ми відразу знаємо, що вона обмежена.

Ще одна цікава концепція, яка вийде з Прикладу 8.1.6 знову включає послідовність$\{1/n\}$. Ми заявляли, без доказів, що терміни послідовності зменшуються. Тобто, що$a_{n+1} < a_n$ для всіх$n$. (Це легко показати. Чітко$n < n+1$. Прийняття взаємних перевертає нерівність:$1/n > 1/(n+1)$. Це те саме, що і\ (a_n > a_ {n+1} $.) Послідовності, які постійно збільшуються або зменшуються, важливі, тому ми даємо цій властивості ім'я.

Визначення 30 МОНОТОННИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ

1. $\{a_n\}$Послідовність монотонно збільшується, якщо$a_n \leq a_{n+1}$ для всіх$n$, т. Е.
   $$a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots a_n \leq a_{n+1} \cdots$$
2. $\{a_n\}$Послідовність монотонно зменшується, якщо$a_n \geq a_{n+1}$ для всіх$n$, т. Е.
   $$a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots a_n \geq a_{n+1} \cdots$$
3. Послідовність монотонна, якщо вона монотонно збільшується або монотонно зменшується.

ПРИМІТКА: Іноді корисно викликати монотонно зростаючу послідовність, строго зростаючу, якщо$a_n < a_{n+1}$ для всіх$n$; тобто ми прибираємо можливість того, що наступні терміни рівні. Аналогічне твердження тримає і для суворо зменшується.

Приклад$\PageIndex{7}$: Determining monotonicity

Визначте монотонність наступних послідовностей.

$\begin{align} &1.\{a_n\} = \left\{\frac{n+1}n\right\} \qquad \qquad \qquad &&3.\{a_n\} = \left\{\frac{n^2-9}{n^2-10n+26}\right\} \nonumber \\ &2.\{a_n\} = \left\{\frac{n^2+1}{n+1}\right\}\qquad \qquad \qquad &&4. \{a_n\} = \left\{\frac{n^2}{n!}\right\}\nonumber \end{align}$


Рішення.
У кожному з наведених нижче ми розглянемо$a_{n+1}-a_n$. Якщо$a_{n+1}-a_n >0$, робимо висновок, що$a_n<a_{n+1}$ а значить і послідовність збільшується. Якщо$a_{n+1}-a_n<0$, робимо висновок, що$a_n>a_{n+1}$ і послідовність зменшується. Звичайно, послідовність не повинна бути монотонною і, можливо, жодне з перерахованих вище не буде застосовуватися.

Ми також наведемо розкид діаграму кожної послідовності. Вони корисні, оскільки вони пропонують модель монотонності, але аналітична робота повинна бути виконана, щоб підтвердити графічну тенденцію.

Малюнок 8.5: Графіки послідовностей у прикладі 8.1.7.

1. \[\begin{align} a_{n+1}-a_n &= \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} \\ &= \frac{(n+2)(n)-(n+1)^2}{(n+1)n} \\ &= \frac{-1}{n(n+1)} \\ &<0 \quad\text{ for all $n$.}\end{align}\]
   Так як$a_{n+1}-a_n<0$ для всіх робимо висновок$n$, що послідовність зменшується.
   
2. \[ \begin{align} a_{n+1}-a_n &= \frac{(n+1)^2+1}{n+2} - \frac{n^2+1}{n+1} \\ &= \frac{\big((n+1)^2+1\big)(n+1)- (n^2+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}\\ &= \frac{n^2+4n+1}{(n+1)(n+2)} \\ &> 0 \quad \text{ for all $n$.}\end{align}\]
   Так як$a_{n+1}-a_n>0$ для всіх робимо висновок$n$, що послідовність збільшується.
   
3. Ми чітко бачимо на малюнку 8.5 (c), де побудована послідовність, що вона не монотонна. Однак здається, що після перших 4 термінів він зменшується. Щоб зрозуміти, чому, виконайте той самий аналіз, що і раніше:
   $$\begin{align}a_{n+1}-a_n &= \frac{(n+1)^2-9}{(n+1)^2-10(n+1)+26} - \frac{n^2-9}{n^2-10n+26} \\ &= \frac{n^2+2n-8}{n^2-8n+17}-\frac{n^2-9}{n^2-10n+26}\\ &= \frac{(n^2+2n-8)(n^2-10n+26)-(n^2-9)(n^2-8n+17)}{(n^2-8n+17)(n^2-10n+26)}\\ &= \frac{-10n^2+60n-55}{(n^2-8n+17)(n^2-10n+26)}.\end{align}$$
   
   Ми хочемо знати, коли це більше або менше 0. Знаменник завжди позитивний, тому нас турбує тільки чисельник. Використовуючи квадратичну формулу, ми можемо визначити, що$-10n^2+60n-55=0$ коли$n\approx 1.13, 4.87$. Отже$n<1.13$, послідовність зменшується. Оскільки ми маємо справу тільки з натуральними числами, це означає, що$a_1 > a_2$.
   
   Між$1.13$ і$4.87$, тобто для$n=2$, 3 і 4, ми маємо що$a_{n+1}>a_n$ і послідовність збільшується. (Тобто, коли$n=2$, 3 і 4, чисельник$-10n^2+60n+55$ з дробу вище є$>0$.)
   
   Коли$n> 4.87$, тобто, для$n\geq 5$, ми маємо що$-10n^2+60n+55<0$, отже$a_{n+1}-a_n<0$, так послідовність зменшується.
   
   Словом, послідовність просто не одноманітна. Однак корисно відзначити, що для$n\geq 5$, послідовність монотонно зменшується.
4. Знову ж таки, сюжет на малюнку 8.6 показує, що послідовність не монотонна, але говорить про те, що вона монотонно зменшується після першого члена. Проводимо звичайний аналіз, щоб підтвердити це.
   $$\begin{align} a_{n+1}-a_n &= \frac{(n+1)^2}{(n+1)!} - \frac{n^2}{n!} \\ &= \frac{(n+1)^2-n^2(n+1)}{(n+1)!} \\ &= \frac{-n^3+2n+1}{(n+1)!}\end{align}$$
   
   Коли$n=1$, вищевказаний вираз є$>0$; бо$n\geq 2$, вищевказаний вираз є$<0$. Таким чином, ця послідовність не є монотонною, а монотонно зменшується після першого терміну.

Малюнок 8.6: Ділянка${a_n}={n^2/n!}$ в прикладі 8.1.7.

Знання того, що послідовність є монотонною, може бути корисним. Зокрема, якщо ми знаємо, що послідовність обмежена і монотонна, ми можемо зробити висновок, що вона сходиться! Розглянемо, наприклад, послідовність, яка монотонно зменшується і обмежена нижче. Ми знаємо, що послідовність завжди стає меншою, але є пов'язана з тим, наскільки маленькою вона може стати. Цього достатньо, щоб довести, що послідовність буде сходитися, як сказано в наступній теоремі.

ТЕОРЕМА 59 ОБМЕЖЕНІ МОНОТОННІ ПОСЛІДОВНОСТІ ЗБІЖНІ

1. $\{a_n\}$Дозволяти бути обмежена, монотонна послідовність. Потім$\{a_n\}$ сходиться; тобто$\lim\limits_{n \to\infty}a_n$ існує.
2. $\{a_n\}$Дозволяти монотонно зростаюча послідовність, яка обмежена вище. Потім$\{a_n\}$ сходиться.
3. $\{a_n\}$Дозволяти монотонно зменшується послідовність, яка обмежена нижче. Потім$\{a_n\}$ сходиться.

Розглянемо ще раз послідовність$\{a_n\} = \{1/n\}$. Легко показати, що він монотонно зменшується і що він завжди позитивний (тобто обмежений нижче 0). Тому можна зробити висновок за теоремою 59, що послідовність сходиться. Ми вже знали це іншими способами, але в наступному розділі ця теорема стане дуже корисною.

Послідовності є чудовим джерелом математичного дослідження. Онлайн-енциклопедія цілочисельних послідовностей http://oeis.org містить тисячі послідовностей та їх формули. (На момент написання статті в базі даних налічується 257 537 послідовностей.) Ознайомлення з цією базою даних швидко демонструє, що одна послідовність може представляти кілька різних явищ «реального життя».

Цікаво, що це так, наш інтерес насправді лежить в іншому місці. Нас більше цікавить сума послідовності. Тобто, з огляду на послідовність$\{a_n\}$, нас дуже цікавить$a_1+a_2+a_3+\cdots$. Звичайно, можна відразу протистояти «Хіба це не просто додає до `нескінченності»?» Багато разів, так, але є багато важливих випадків, коли відповідь - ні. Це тема серії, яку ми починаємо досліджувати в наступному розділі.

Автори та авторства

• Template:ContribApexCalc