9.1: Вступ до послідовностей та серій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58183

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Навички для розвитку

Знайти будь-який елемент послідовності, заданої формулою для її загального члена.
Використовуйте сигма-позначення і розгорніть відповідні ряди.
Розрізняють послідовність і ряд.
$n$Обчисліть часткову суму послідовності.

Послідовності

Послідовність ¹ - це функція, область якої являє собою набір послідовних натуральних чисел, що починаються с$1$. Наприклад, наступне рівняння з доменом$\{1,2,3, \dots\}$ визначає нескінченну послідовність ²:

$a(n)=5 n-3$або$a_{n}=5 n-3$

Елементи в діапазоні цієї функції називаються членами послідовності. Загальноприйнято визначати$n$ й термін, або загальний термін послідовності ³, використовуючи індексне позначення$a_{n}$, яке читає «$a$sub»$n$. Терміни можна знайти за допомогою підміни наступним чином:

$\begin{aligned}\color{Cerulean} { General\: term: } \quad &\color{black}{a_{n}=5 n-3} \\ \color{Cerulean} { First\: term (n=1) :}\quad & \color{black}{a_{1}=}5(\color{Cerulean}{1}\color{black}{)}-3=2 \\ \color{Cerulean}{Second\:term(n=2):} \quad& \color{black}{a_{2}=5}(\color{Cerulean}{2}\color{black}{)}-3=7 \\ \color{Cerulean}{Third\:term(n=3):} \quad& \color{black}{a_{3}=5}(\color{Cerulean}{3}\color{black}{)}-3=12 \\\color{Cerulean}{Fourth\:term(n=4):} \quad& \color{black}{a_{4}=5}(\color{Cerulean}{4}\color{black}{)}-3=17 \\ \color{Cerulean}{Fifth\:term(n=5):} \quad& \color{black}{a_{5}=5}(\color{Cerulean}{5}\color{black}{)}-3=22 \\ \vdots\end{aligned}$

Це створює упорядкований список,

$2,7,12,17,22, \ldots$

Трикрапка$(…)$ вказує на те, що ця послідовність триває вічно. На відміну від набору, порядок має значення. Якщо область послідовності складається з натуральних чисел, які закінчуються, наприклад$\{1,2,3, \ldots, k\}$, то вона називається скінченною послідовністю ⁴.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Враховуючи загальний термін послідовності, знайдіть перші$5$ члени, а також$100^{th}$ термін:$a_{n}=\frac{n(n-1)}{2}$.

Рішення:

Щоб знайти перші$5$ терміни, підставляємо$1, 2, 3, 4$,$n$ а$5$ потім спрощуємо.

$\begin{array}{l}{a_{1}=\frac{\color{Cerulean}{1}\color{black}{(}\color{Cerulean}{1}\color{black}{-}1)}{2}=\frac{1(0)}{2}=\frac{0}{2}=0} \\ {a_{2}=\frac{\color{Cerulean}{2}\color{black}{(}\color{Cerulean}{2}\color{black}{-}1)}{2}=\frac{2(1)}{2}=\frac{2}{2}=1} \\ {a_{3}=\frac{\color{Cerulean}{3}\color{black}{(}\color{Cerulean}{3}\color{black}{-}1)}{2}=\frac{3(2)}{2}=\frac{6}{2}=3} \\ {a_{4}=\frac{\color{Cerulean}{4}\color{black}{(}\color{Cerulean}{4}\color{black}{-}1)}{2}=\frac{4(3)}{2}=\frac{12}{2}=6} \\ {a_{5}=\frac{\color{Cerulean}{5}\color{black}{(}\color{Cerulean}{5}\color{black}{-}1)}{2}=\frac{5(4)}{2}=\frac{20}{2}=10}\end{array}$

$n = 100$Використовувати для визначення$100^{th}$ терміну в послідовності.

$a_{100}=\frac{100(100-1)}{2}=\frac{100(99)}{2}=\frac{9,900}{2}=4,950$

Відповідь:

Перші п'ять термінів:$0, 1, 3, 6, 10$;$a_{100} = 4,950$

Іноді загальний термін послідовності буде чергуватися за знаком і мати змінну, відмінну від$n$.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Знайдіть перші члени$5$ послідовності:$a_{n}=(-1)^{n} x^{n+1}$.

Рішення:

Тут ми подбаємо про$n$ заміну на перші$5$ натуральні числа, а не$x$.

$\begin{array}{l}{a_{1}=(-1)\color{Cerulean}{^{1}}\color{black}{ x}^{\color{Cerulean}{1}\color{black}{+}1}=-x^{2}} \\ {a_{2}=(-1)^{\color{Cerulean}{2}}\color{black}{ x}^{\color{Cerulean}{2}\color{black}{+}1}=x^{3}} \\ {a_{3}=(-1)^{\color{Cerulean}{3}} \color{black}{x}^{\color{Cerulean}{3}\color{black}{+}1}=-x^{4}} \\ {a_{4}=(-1)^{\color{Cerulean}{4}}\color{black}{ x}^{\color{Cerulean}{4}\color{black}{+}1}=x^{5}} \\ {a_{5}=(-1)^{\color{Cerulean}{5}}\color{black}{ x}^{\color{Cerulean}{5}\color{black}{+}1}=-x^{6}}\end{array}$

Відповідь:

$-x^{2}, x^{3},-x^{4}, x^{5},-x^{6}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайдіть перші члени$5$ послідовності:$a_{n}=(-1)^{n+1} 2^{n}$.

Відповідь

$2, −4, 8, −16, 32.$

http://www.youtube.com/v/uuQ3jYL-g_I

Один цікавий приклад - послідовність Фібоначчі. Перші два числа в послідовності Фібоначчі є$1$, а кожен наступний член - сума попередніх двох. Тому загальний термін виражається в терміні попередніх двох наступним чином:

$F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}$

Ось$F_{1} = 1, F_{2} = 1$, і$n > 2$. Формула, яка описує послідовність через її попередні члени, називається рекурентним відношенням ⁵.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Знайдіть перші числа$7$ Фібоначчі.

Рішення:

Враховуючи, що$F_{1} = 1$ і$F_{2} = 1$, скористайтеся співвідношенням повторення,$F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}$ де$n$ є ціле число, що починається з,$n = 3$ щоб знайти наступні$5$ члени:

$\begin{array}{l}{F_{3}=F_{\color{Cerulean}{3}\color{black}{-}2}+F_{\color{Cerulean}{3}\color{black}{-}1}=F_{1}+F_{2}=1+1=2} \\ {F_{4}=F_{\color{Cerulean}{4}\color{black}{-}2}+F_{\color{Cerulean}{4}\color{black}{-}1}=F_{2}+F_{3}=1+2=3} \\ {F_{5}=F_{\color{Cerulean}{5}\color{black}{-}2}+F_{\color{Cerulean}{5}\color{black}{-}1}=F_{3}+F_{4}=2+3=5} \\ {F_{6}=F_{\color{Cerulean}{6}\color{black}{-}2}+F_{\color{Cerulean}{6}\color{black}{-}1}=F_{4}+F_{5}=3+5=8} \\ {F_{7}=F_{\color{Cerulean}{7}\color{black}{-}2}+F_{\color{Cerulean}{7}\color{black}{-}1}=F_{5}+F_{6}=5+8=13}\end{array}$

Відповідь:

$1,1,2,3,5,8,13$

Малюнок 9.1.1: Леонардо Фібоначчі (1170—1250)

Числа Фібоначчі з'являються в додатках, починаючи від мистецтва до інформатики та біології. Красу цієї послідовності можна візуалізувати, побудувавши спіраль Фібоначчі. Розглянемо плитку квадратів, де кожна сторона має довжину, яка відповідає кожному числу Фібоначчі:

Малюнок 9.1.2

З'єднання протилежних кутів квадратів дугою виробляє спеціальну спіральну форму.

Малюнок 9.1.3

Ця форма називається спіраллю Фібоначчі і наближає багато спіральних форм, знайдених в природі.

Серія

Ряд ⁶ - це сума членів послідовності. Сума членів нескінченної послідовності призводить до нескінченного ряду ⁷, позначеного$S_{∞}$. Сума перших$n$ членів в послідовності називається частковою сумою ⁸, що позначається$S_{n}$. Наприклад, задана послідовність натуральних непарних чисел,$1, 3, 5,…$ ми можемо записати:

$\begin{array}{l}{S_{\infty}=1+3+5+7+9+\dots \quad\color{Cerulean} { Infinite\: series }} \\ {S_{5}=1+3+5+7+9=25 \quad\:\:\color{Cerulean} { 5th\: partial\: sum }}\end{array}$

Приклад$\PageIndex{4}$:

Визначаємо$3^{rd}$ і$5^{th}$ часткові суми послідовності:$3,−6, 12,−24, 48,… $

Рішення:

$S_{3}=3+(-6)+12=9$
$S_{5}=3+(-6)+12+(-24)+48=33$

Відповідь:

$S_{3}=9 ; S_{5}=33$

Якщо відомий загальний термін, то ми можемо висловити ряд за допомогою позначень сигма ⁹ (або підсумовування ¹⁰):

$\begin{aligned}S_{\infty}&=\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots & \color{Cerulean}{Infinite\:series} \\ S_{3}&=\sum_{n=1}^{3} n^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2} & \color{Cerulean}{3rd\:partial\:sum}\end{aligned}$

Символ$\Sigma$ (верхній регістр грецька буква сигма) використовується для позначення ряду. Вирази вище і нижче вказують діапазон індексу підсумовування ¹¹, в даному випадку представлений$n$. Нижнє число вказує на початкове ціле число, а верхнє - кінцеве ціле число. Часткова сума$S_{n}$ може бути виражена за допомогою сигматичних позначень наступним чином:$n$

$S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$

Це читається, «сума$a_{k}$ як$k$ йде від$1$ до»$n$. $n$Замініть$∞$ на, щоб вказати нескінченну суму.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Оцініть:$\sum_{k=1}^{5}(-3)^{n-1}$.

$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{5}(-3)^{k-1} &=(-3)^{\color{Cerulean}{1}\color{black}{-}1}+(-3)^{\color{Cerulean}{2}\color{black}{-}1}+(-3)^{\color{Cerulean}{3}\color{black}{-}1}+(-3)^{\color{Cerulean}{4}\color{black}{-}1}+(-3)^{\color{Cerulean}{5}\color{black}{-}1} \\ &=(-3)^{0}+(-3)^{1}+(-3)^{2}+(-3)^{3}+(-3)^{4} \\ &=1-3+9-27+81 \\ &=61 \end{aligned}$

Відповідь:

$61$

При роботі з сигма-нотацією індекс не завжди починається з$1$.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Оцініть:$\sum_{k=2}^{5}(-1)^{k}(3 k)$

Рішення:

Тут індекс виражається за допомогою змінної$k$, яка коливається від$2$ до$5$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Оцініть:$\sum_{n=1}^{5}(15-9 n)$.

Відповідь

$-60$

http://www.youtube.com/v/aZ3sPd8N1TU

Нескінченність використовується як верхня межа суми для позначення нескінченного ряду.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Пишіть в розгорнутому вигляді:$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{n}{n+1}$.

Рішення:

У цьому випадку ми починаємо з$n = 0$ і додаємо три крапки, щоб вказати, що ця серія триває назавжди.

$\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n+1} &=\frac{\color{Cerulean}{0}}{\color{Cerulean}{0}\color{black}{+}1}+\frac{\color{Cerulean}{1}}{\color{Cerulean}{1}\color{black}{+}1}+\frac{\color{Cerulean}{2}}{\color{Cerulean}{2}\color{black}{+}1}+\frac{\color{Cerulean}{3}}{\color{Cerulean}{3}\color{black}{+}1}+\cdots \\ &=\frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots \\ &=0+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots \end{aligned}$

Відповідь:

$0+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots$

Розширюючи ряд, подбайте про заміну тільки змінної, зазначеної індексом.

Приклад$\PageIndex{8}$:

Пишіть в розгорнутому вигляді:$\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i-1} x^{2 i}$.

Рішення:

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i-1} x^{2 i} &=(-1)^{\color{Cerulean}{1}\color{black}{-}1} x^{2(\color{Cerulean}{1}\color{black}{)}}+(-1)^{\color{Cerulean}{2}\color{black}{-}1} x^{2(\color{Cerulean}{2}\color{black}{)}}+(-1)^{\color{Cerulean}{3}\color{black}{-}1} x^{2(\color{Cerulean}{3}\color{black}{)}}+\cdots \\ &=(-1)^{0} x^{2(1)}+(-1)^{1} x^{2(2)}+(-1)^{2} x^{2(3)}+\cdots \\ &=x^{2}-x^{4}+x^{6}-\cdots \end{aligned}$

Відповідь:

$x^{2}-x^{4}+x^{6}-\cdots$

Ключові винос

Послідовність - це функція, область якої складається з набору натуральних чисел, що починаються с$1$. Крім того, послідовність можна розглядати як упорядкований список.
Формули часто використовуються для опису$n$ терміну, або загального терміну, послідовності з використанням індексованих позначень$a_{n}$.
Ряд - це сума членів у послідовності. Сума перших$n$ членів називається$n$ -й частковою сумою і позначається$S_{n}$.
Використовуйте сигма-позначення для компактного позначення підсумовувань. N-а часткова сума, використовуючи сигма-позначення, може бути записана$S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$. Символ$\Sigma$ позначає підсумовування, де вираз нижче вказує на те, що індекс$k$ починається з$1$ і перебирається через натуральні числа, що закінчуються значенням$n$ вище.

Вправа$\PageIndex{3}$

Знайдіть перші$5$ члени послідовності, а також$30^{th}$ термін.

$a_{n}=2 n$
$a_{n}=2 n+1$
$a_{n}=\frac{n^{2}-1}{2}$
$a_{n}=\frac{n}{2 n-1}$
$a_{n}=(-1)^{n}(n+1)^{2}$
$a_{n}=(-1)^{n+1} n^{2}$
$a_{n}=3^{n-1}$
$a_{n}=2^{n-2}$
$a_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
$a_{n}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}$
$a_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{3 n-1}$
$a_{n}=\frac{2(-1)^{n}}{n+5}$
$a_{n}=1+\frac{1}{n}$
$a_{n}=\frac{n^{2}+1}{n}$

Відповідь

1. $2,4,6,8,10 ; a_{30}=60$

3. $0, \frac{3}{2}, 4, \frac{15}{2}, 12 ; a_{30}=\frac{899}{2}$

5. $-4,9,-16,25,-36 ; a_{30}=961$

7. $1,3,9,27,81 ; a_{30}=3^{29}$

9. $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32} ; a_{30}=\frac{1}{2^{30}}$

11. $\frac{1}{2},-\frac{1}{5}, \frac{1}{8},-\frac{1}{11}, \frac{1}{14} ; a_{30}=-\frac{1}{89}$

13. $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \frac{6}{5} ; a_{30}=\frac{31}{30}$

Вправа$\PageIndex{4}$

Знайдіть перші члени$5$ послідовності.

$a_{n}=2 x^{2 n-1}$
$a_{n}=(2 x)^{n-1}$
$a_{n}=\frac{x^{n}}{n+4}$
$a_{n}=\frac{x^{2 n}}{x-2}$
$a_{n}=\frac{n x^{2 n}}{n+1}$
$a_{n}=\frac{(n+1) x^{n}}{n^{2}}$
$a_{n}=(-1)^{n} x^{3 n}$
$a_{n}=(-1)^{n-1} x^{n+1}$

Відповідь

1. $2 x, 2 x^{3}, 2 x^{5}, 2 x^{7}, 2 x^{9}$

3. $\frac{x}{5}, \frac{x^{2}}{6}, \frac{x^{3}}{7}, \frac{x^{4}}{8}, \frac{x^{5}}{9}$

5. $\frac{x^{2}}{2}, \frac{2 x^{4}}{3}, \frac{3 x^{6}}{4}, \frac{4 x^{8}}{5}, \frac{5 x^{10}}{6}$

7. $-x^{3}, x^{6},-x^{9}, x^{12},-x^{15}$

Вправа$\PageIndex{5}$

Знайти перші 5 членів послідовності, визначеної заданим співвідношенням повторення.

$a_{n}=a_{n-1}+5$де$a_{1}=3$
$a_{n}=a_{n-1}-3$де$a_{1}=4$
$a_{n}=3 a_{n-1}$де$a_{1}=-2$
$a_{n}=-2 a_{n-1}$де$a_{1}=-1$
$a_{n}=n a_{n-1}$де$a_{1}=1$
$a_{n}=(n-1) a_{n-1}$де$a_{1}=1$
$a_{n}=2 a_{n-1}-1$де$a_{1}=0$
$a_{n}=3 a_{n-1}+1$де$a_{1}=-1$
$a_{n}=a_{n-2}+2 a_{n-1}$де$a_{1}=-1$ і$a_{2}=0$
$a_{n}=3 a_{n-1}-a_{n-2}$де$a_{1}=0$ і$a_{2}=2$
$a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}$де$a_{1}=1$ і$a_{2}=3$
$a_{n}=a_{n-2}+a_{n-1}+2$де$a_{1}=-4$ і$a_{2}=-1$

Відповідь

1. $3, 8, 13, 18, 23$

3. $−2, −6, −18, −54, −162$

5. $1, 2, 6, 24, 120$

7. $0, −1, −3, −7, −15$

9. $−1, 0, −1, −2, −5$

11. $1, 3, 2, −1, −3$

Вправа$\PageIndex{6}$

Знайдіть зазначений термін.

$a_{n}=2-7 n ; a_{12}$
$a_{n}=3 n-8 ; a_{20}$
$a_{n}=-4(5)^{n-4} ; a_{7}$
$a_{n}=6\left(\frac{1}{3}\right)^{n-6} ; a_{9}$
$a_{n}=1+\frac{1}{n}; a_{10}$
$a_{n}=(n+1) 5^{n-3} ; a_{5}$
$a_{n}=(-1)^{n} 2^{2 n-3} ; a_{4}$
$a_{n}=n(n-1)(n-2) ; a_{6}$
Інвестиції в $$4,500$ здійснюються в рахунок, який заробляє$2$% відсотків, що складаються щоквартально. Залишок на рахунку після$n$ кварталів дається по$a_{n}=4500\left(1+\frac{0.02}{4}\right)^{n}$. Знайти суму на рахунку після кожного кварталу протягом перших двох років. Округлити до найближчого цента.
Значення нового автомобіля через$n$ роки задається за формулою$a_{n}=18,000\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$. Знайти і інтерпретувати$a_{7}$. Округлити до найближчого цілого долара.
Кількість порівнянь, які робить комп'ютерний алгоритм для сортування n імен у списку, задається формулою$a_{n}=n \log _{2} n$. Визначте кількість порівнянь, які потрібно цим алгоритмом для сортування$2 × 10^{6}$ (2 млн) імен.
Кількість порівнянь, які робить комп'ютерний алгоритм для пошуку$n$ імен у списку, задається формулою$a_{n}=n^{2}$ Визначити кількість порівнянь, які цей алгоритм використовує для пошуку$2 × 10^{6}$ (2 мільйони) імен.

Відповідь

1. $-82$

3. $-500$

5. $\frac{11}{10}$

7. $32$

9. Рік 1: ЦИ: $$4,522.50$; QII: $$4,545.11$; QIII: $$4,567.84$; QIV: $$4,590.68$; Рік 2: ЦИ: $$4,613.63$; QII: $$4,636.70$; QIII: $$4,659.88$; QIV: $$4,683.18$

11. Приблизно$4 \times 10^{7}$ порівняння

Вправа$\PageIndex{7}$

Знайти зазначену часткову суму.

$3,5,9,17,33, \ldots ; S_{4}$
$-5,7,-29,79,-245, \ldots ; S_{4}$
$4,1,-4,-11,-20, \ldots ; S_{5}$
$0,2,6,12,20, \ldots ; S_{3}$
$a_{n}=2-7 n ; S_{5}$
$a_{n}=3 n-8 ; S_{5}$
$a_{n}=-4(5)^{n-4} ; S_{3}$
$a_{n}=6\left(\frac{1}{3}\right)^{n-6} ; S_{3}$
$a_{n}=1+\frac{1}{n}; S_{4}$
$a_{n}=(n+1) 5^{n-3} ; S_{3}$
$a_{n}=(-1)^{n} 2^{2 n-3} ; S_{5}$
$a_{n}=n(n-1)(n-2) ; S_{4}$

Відповідь

1. $34$

3. $-30$

5. $-95$

7. $-\frac{124}{125}$

9. $\frac{73}{12}$

11. $-\frac{205}{2}$

Вправа$\PageIndex{8}$

Оцінити.

$\sum_{k=1}^{5} 3 k$
$\sum_{k=1}^{6} 2 k$
$\sum_{i=2}^{6} i^{2}$
$\sum_{i=0}^{4}(i+1)^{2}$
$\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n+1} 2^{n}$
$\sum_{n=5}^{10}(-1)^{n} n^{2}$
$\sum_{k=-2}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}$
$\sum_{k=-4}^{0}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}$
$\sum_{k=0}^{4}(-2)^{k+1}$
$\sum_{k=-1}^{3}(-3)^{k-1}$
$\sum_{n=1}^{5} 3$
$\sum_{n=1}^{7}-5$
$\sum_{k=-2}^{3} k(k+1)$
$\sum_{k=-2}^{2}(k-2)(k+2)$

Відповідь

1. $45$

3. $90$

5. $22$

7. $\frac{31}{4}$

9. $−22$

11. $15$

13. $22$

Вправа$\PageIndex{9}$

Пишіть в розгорнутому вигляді.

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n}$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2 n-1}$
$\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
$\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1}$
$\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{1}{5}\right)^{n}$
$\sum_{n=0}^{\infty} 2\left(\frac{1}{3}\right)^{n}$
$\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} x^{k+1}$
$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} x^{k-1}$
$\sum_{i=0}^{\infty}(-2)^{i+1} x^{i}$
$\sum_{i=1}^{\infty}(-3)^{i-1} x^{3 i}$
$\sum_{k=1}^{\infty}(2 k-1) x^{2 k}$
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k x^{k-1}}{k+1}$

Відповідь

1. $0+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots$

3. $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots$

5. $\frac{3}{5}+\frac{3}{25}+\frac{3}{125}+\frac{3}{625}+\cdots$

7. $x-x^{2}+x^{3}-x^{4}+\cdots$

9. $-2+4 x-8 x^{2}+16 x^{3}-\dots$

11. $x^{2}+3 x^{4}+5 x^{6}+7 x^{8}+\cdots$

Вправа$\PageIndex{10}$

Висловіть наступний ряд за допомогою сигма-нотації.

$x+2 x^{2}+3 x^{3}+4 x^{4}+5 x^{5}$
$\frac{1}{2} x^{2}+\frac{2}{3} x^{3}+\frac{3}{4} x^{4}+\frac{4}{5} x^{5}+\frac{5}{6} x^{6}$
$2+2^{2} x+2^{3} x^{2}+2^{4} x^{3}+2^{5} x^{4}$
$3 x+3^{2} x^{2}+3^{3} x^{3}+3^{4} x^{4}+3^{5} x^{5}$
$2 x+4 x^{2}+8 x^{3}+\dots+2^{n} x^{n}$
$x+3 x^{2}+9 x^{3}+\dots+3^{n} x^{n+1}$
$5+(5+d)+(5+2 d)+\dots+(5+n d)$
$2+2 r^{1}+2 r^{2}+\dots+2 r^{n-1}$
$\frac{3}{4}+\frac{3}{8}+\frac{3}{16}+\dots+3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
$\frac{8}{3}+\frac{16}{4}+\frac{32}{5}+\dots+\frac{2^{n}}{n}$
Структурований врегулювання дає суму в доларах щороку, представлена$n$, відповідно до формули$p_{n}=10,000(0.70)^{n-1}$. Яка загальна сума, отримана від врегулювання через$5$ роки?
Перший ряд сидінь в маленькому театрі складається з$14$ сидінь. Кожен ряд після цього складається з$2$ більшої кількості місць, ніж попередній ряд. Якщо є$7$ ряди, скільки всього місць в театрі?

Відповідь

1. $\sum_{k=1}^{5} k x^{k}$

3. $\sum_{k=1}^{5} 2^{k} x^{k-1}$

5. $\sum_{k=1}^{n} 2^{k} x^{k}$

7. $\sum_{k=0}^{n}(5+k d)$

9. $\sum_{k=2}^{n} 3\left(\frac{1}{2}\right)^{k}$

11. $\$ 27,731$

Вправа$\PageIndex{11}$

Досліджуйте та обговоріть числа Фібоначчі, оскільки вони зустрічаються в природі.
Досліджуйте та обговоріть життя та внески Леонардо Фібоначчі.
Поясніть різницю між послідовністю та серією. Наведіть приклад кожного.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹ Функція, область якої являє собою набір послідовних натуральних чисел, що починаються з$1$.

² Послідовність, доменом якої є набір натуральних чисел$\{1,2,3, \dots\}$.

³ Рівняння, яке визначає n-й член послідовності, яку зазвичай позначають за допомогою індексів$a_{n}$.

⁴ Послідовність, домен якої$\{1,2,3, \dots, k\}$ де$k$ є натуральним числом.

⁵ Формула, яка використовує попередні члени послідовності для опису наступних термінів.

⁶ Сума членів послідовності.

⁷ Сума членів нескінченної послідовності, що позначається$S_{∞}$.

⁸ Сума перших n членів в послідовності позначається$S_{n}$.

⁹ Сума позначається за допомогою символу$\Sigma$ (прописна грецька буква сигма).

¹⁰ Використовується при зверненні до сигматичних позначень.

¹¹ Змінна, що використовується в сигма-позначенні для позначення нижньої та верхньої меж підсумовування.