8.4: Співвідношення та кореневі тести
nthТерміновий тест теореми 63 стверджує, що для того,∞∑n=1an щоб ряд сходився,lim. Тобто терміни\{a_n\} повинні вийти дуже невеликими. Терміни не тільки повинні наближатися до 0, вони повинні наближатися до 0 «досить швидко»: тоді як серія гармонік\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac1n розходиться\lim\limits_{n\to\infty}1/n=0, оскільки умови\{1/n\} не наближаються до 0 «досить швидко».
Порівняльні тести попереднього розділу визначають збіжність шляхом порівняння термінів ряду з термінами іншого ряду, збіжність яких відома. У цьому розділі представлені тести Ratio та Root, які визначають збіжність шляхом аналізу термінів ряду, щоб побачити, чи наближаються вони до 0 «досить швидко».
Тест коефіцієнта
теорема 68: тест на співвідношення
\{a_n\}Дозволяти бути позитивна послідовність де\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = L.
- ЯкщоL<1, то\sum\limits_{n=1}^\infty a_n сходиться.
- ЯкщоL>1 абоL=\infty, то\sum\limits_{n=1}^\infty a_n розходиться.
- ЯкщоL=1, тест коефіцієнта є непереконливим.
Теорема 64 дозволяє застосовувати тест на співвідношення до рядів, де\{a_n\} є позитивним для всіх, крім кінцевої кількості членів.
Принцип Ratio Test полягає в наступному: якщо\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = L<1, то для великихn, кожен член значно менший за його попередній термін, якого достатньо для забезпечення зближення.\{a_n\}
Приклад\PageIndex{1}: Applying the Ratio Test
Скористайтеся тестом коефіцієнта, щоб визначити збіжність наступних рядів:
- \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n!}.
- \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{3^n}{n^3}
- \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2+1}.
Рішення
- \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n!}:\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!} &= \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2^{n+1}n!}{2^n(n+1)!}\\&= \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2}{n+1}\\&=0.\end{align*} Оскільки межа є0<1, по тесту коефіцієнта\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n!} сходиться.
- \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{3^n}{n^3}:\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3^{n+1}/(n+1)^3}{3^n/n^3} &= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3^{n+1}n^3}{3^n(n+1)^3}\\&= \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3n^3}{(n+1)^3}\\&= 3.\end{align*} Оскільки межа є3>1, по тесту коефіцієнта\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{3^n}{n^3} розходиться.
- \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2+1}:\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1/\big((n+1)^2+1\big)}{1/(n^2+1)} &= \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{n^2+1}{(n+1)^2+1}\\&= 1.\end{align*} Оскільки межа дорівнює 1, тест коефіцієнта є непереконливим. Ми можемо легко показати, що ця серія сходиться за допомогою тестів прямого або граничного порівняння, при кожному порівнянні з серією\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}.
Тест на співвідношення не є ефективним, коли члени ряду містять лише алгебраїчні функції (наприклад, поліноми). Найбільш ефективно, коли терміни містять деякі факторіали або експоненціальні числа. Попередній приклад також підсилює нашу інтуїцію, що розвивається: факторіали домінують експоненціальні, які домінують над алгебраїчними функціями, які домінують над логарифмічними функціями. У частині 1 прикладу факторіал у знаменнику домінував експоненціальний в чисельнику, змушуючи ряди сходитися. У частині 2 експоненціальна в чисельнику домінувала алгебраїчна функція в знаменнику, внаслідок чого ряд розходиться.
Хоча ми використовували факторіали в попередніх розділах, ми не вивчали їх уважно, і один, ймовірно, ще не матиме сильного інтуїтивного почуття того, як вони поводяться. Наступний приклад дає більше практики з факторіалами.
Приклад\PageIndex{2}: Applying the Ratio Test
Визначаємо збіжність\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n!n!}{(2n)!}.
Рішення
Перш ніж ми почнемо, обов'язково зверніть увагу на різницю між(2n)! і2n!. Колиn=4, перший є8!=8\cdot7\cdot\ldots\cdot 2\cdot1=40,320, тоді як останній є2(4\cdot3\cdot2\cdot1) = 48.
Застосування тесту на співвідношення:
\ [\ begin {align*}
\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {(n+1)! (н+1)! /\ великий (2 (n+1)\ великий)!} {n! п! /(2n)!} &=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {(n+1)! (н+1)! (2n)!} {n! п! (2n+2)!} \\
\ text {Відзначивши(2n+2)! = (2n+2)\cdot(2n+1)\cdot(2n)!, що ми маємо} &\\
&=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {(n+1) (n+1)} {(2n+2) (2n+1)}\\
&= 1/4.
\ end {вирівнювати*}\]
Оскільки межа є1/4<1, по тесту коефіцієнта ми робимо висновок\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n!n!}{(2n)!} сходиться.
Кореневий тест
Остаточний тест, який ми вводимо, - це кореневий тест, який особливо добре працює на серіях, де кожен термін піднімається до влади, і не працює добре з термінами, що містять факторіали.
теорема 69: кореневий тест
\{a_n\}Дозволяти бути позитивна послідовність і нехай\lim\limits_{n\to \infty} (a_n)^{1/n} = L.
- ЯкщоL<1, то\sum\limits_{n=1}^\infty a_n сходиться.
- ЯкщоL>1 абоL=\infty, то\sum\limits_{n=1}^\infty a_n розходиться.
- ЯкщоL=1, Кореневий тест є безрезультатним.
Приклад\PageIndex{3}: Applying the Root Test
Визначте збіжність наступних рядів за допомогою Root Test:
1. \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\dfrac{3n+1}{5n-2}\right)^n\qquad\qquad 2. \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n^4}{(\ln n)^n}\qquad\qquad 3. \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n^2}.
Рішення
- \lim\limits_{n\to\infty} \left(\left(\dfrac{3n+1}{5n-2}\right)^n\right)^{1/n} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3n+1}{5n-2} = \dfrac 35.
Так як межа менше 1, робимо висновок, що ряд сходиться. Примітка: важко застосувати Ratio Test до цієї серії. - \lim\limits_{n\to\infty} \left(\dfrac{n^4}{(\ln n)^n}\right)^{1/n} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac {\big(n^{1/n}\big)^4}{\ln n} .
Уn міру зростання чисельник наближається до 1 (застосовуйте правило L'H\ ^opital) і знаменник зростає до нескінченності. Таким чином, \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\big(n^{1/n}\big)^4}{\ln n} = 0. Оскільки межа менше 1, робимо висновок, що ряд сходиться. - \lim\limits_{n\to\infty} \left(\dfrac{2^n}{n^2}\right)^{1/n} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2}{\big(n^{1/n}\big)^2} = 2.
Оскільки це більше 1, робимо висновок, що ряд розходиться.
Кожен з тестів, з якими ми стикалися до цього часу, вимагав, щоб ми аналізували ряди з позитивних послідовностей. Наступний розділ розслабляє це обмеження, розглядаючи чергуються ряди, де основна послідовність має терміни, які чергуються між позитивними та негативними.