8.4: Співвідношення та кореневі тести
nthТерміновий тест теореми 63 стверджує, що для того,∞∑n=1an щоб ряд сходився,limn→∞an=0. Тобто терміни{an} повинні вийти дуже невеликими. Терміни не тільки повинні наближатися до 0, вони повинні наближатися до 0 «досить швидко»: тоді як серія гармонік∞∑n=11n розходитьсяlimn→∞1/n=0, оскільки умови{1/n} не наближаються до 0 «досить швидко».
Порівняльні тести попереднього розділу визначають збіжність шляхом порівняння термінів ряду з термінами іншого ряду, збіжність яких відома. У цьому розділі представлені тести Ratio та Root, які визначають збіжність шляхом аналізу термінів ряду, щоб побачити, чи наближаються вони до 0 «досить швидко».
Тест коефіцієнта
теорема 68: тест на співвідношення
{an}Дозволяти бути позитивна послідовність деlimn→∞an+1an=L.
- ЯкщоL<1, то∞∑n=1an сходиться.
- ЯкщоL>1 абоL=∞, то∞∑n=1an розходиться.
- ЯкщоL=1, тест коефіцієнта є непереконливим.
Теорема 64 дозволяє застосовувати тест на співвідношення до рядів, де{an} є позитивним для всіх, крім кінцевої кількості членів.
Принцип Ratio Test полягає в наступному: якщоlimn→∞an+1an=L<1, то для великихn, кожен член значно менший за його попередній термін, якого достатньо для забезпечення зближення.{an}
Приклад8.4.1: Applying the Ratio Test
Скористайтеся тестом коефіцієнта, щоб визначити збіжність наступних рядів:
- ∞∑n=12nn!.
- ∞∑n=13nn3
- ∞∑n=11n2+1.
Рішення
- ∞∑n=12nn!:limn→∞2n+1/(n+1)!2n/n!=limn→∞2n+1n!2n(n+1)!=limn→∞2n+1=0. Оскільки межа є0<1, по тесту коефіцієнта∞∑n=12nn! сходиться.
- ∞∑n=13nn3:limn→∞3n+1/(n+1)33n/n3=limn→∞3n+1n33n(n+1)3=limn→∞3n3(n+1)3=3. Оскільки межа є3>1, по тесту коефіцієнта∞∑n=13nn3 розходиться.
- ∞∑n=11n2+1:limn→∞1/((n+1)2+1)1/(n2+1)=limn→∞n2+1(n+1)2+1=1. Оскільки межа дорівнює 1, тест коефіцієнта є непереконливим. Ми можемо легко показати, що ця серія сходиться за допомогою тестів прямого або граничного порівняння, при кожному порівнянні з серією∞∑n=11n2.
Тест на співвідношення не є ефективним, коли члени ряду містять лише алгебраїчні функції (наприклад, поліноми). Найбільш ефективно, коли терміни містять деякі факторіали або експоненціальні числа. Попередній приклад також підсилює нашу інтуїцію, що розвивається: факторіали домінують експоненціальні, які домінують над алгебраїчними функціями, які домінують над логарифмічними функціями. У частині 1 прикладу факторіал у знаменнику домінував експоненціальний в чисельнику, змушуючи ряди сходитися. У частині 2 експоненціальна в чисельнику домінувала алгебраїчна функція в знаменнику, внаслідок чого ряд розходиться.
Хоча ми використовували факторіали в попередніх розділах, ми не вивчали їх уважно, і один, ймовірно, ще не матиме сильного інтуїтивного почуття того, як вони поводяться. Наступний приклад дає більше практики з факторіалами.
Приклад8.4.2: Applying the Ratio Test
Визначаємо збіжність∞∑n=1n!n!(2n)!.
Рішення
Перш ніж ми почнемо, обов'язково зверніть увагу на різницю між(2n)! і2n!. Колиn=4, перший є8!=8⋅7⋅…⋅2⋅1=40,320, тоді як останній є2(4⋅3⋅2⋅1)=48.
Застосування тесту на співвідношення:
\ [\ begin {align*}
\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {(n+1)! (н+1)! /\ великий (2 (n+1)\ великий)!} {n! п! /(2n)!} &=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {(n+1)! (н+1)! (2n)!} {n! п! (2n+2)!} \\
\ text {Відзначивши(2n+2)!=(2n+2)⋅(2n+1)⋅(2n)!, що ми маємо} &\\
&=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {(n+1) (n+1)} {(2n+2) (2n+1)}\\
&= 1/4.
\ end {вирівнювати*}\]
Оскільки межа є1/4<1, по тесту коефіцієнта ми робимо висновок∞∑n=1n!n!(2n)! сходиться.
Кореневий тест
Остаточний тест, який ми вводимо, - це кореневий тест, який особливо добре працює на серіях, де кожен термін піднімається до влади, і не працює добре з термінами, що містять факторіали.
теорема 69: кореневий тест
{an}Дозволяти бути позитивна послідовність і нехайlimn→∞(an)1/n=L.
- ЯкщоL<1, то∞∑n=1an сходиться.
- ЯкщоL>1 абоL=∞, то∞∑n=1an розходиться.
- ЯкщоL=1, Кореневий тест є безрезультатним.
Приклад8.4.3: Applying the Root Test
Визначте збіжність наступних рядів за допомогою Root Test:
1. ∞∑n=1(3n+15n−2)n2.∞∑n=1n4(lnn)n3.∞∑n=12nn2.
Рішення
- limn→∞((3n+15n−2)n)1/n=limn→∞3n+15n−2=35.
Так як межа менше 1, робимо висновок, що ряд сходиться. Примітка: важко застосувати Ratio Test до цієї серії. - limn→∞(n4(lnn)n)1/n=limn→∞(n1/n)4lnn.
Уn міру зростання чисельник наближається до 1 (застосовуйте правило L'H\ ^opital) і знаменник зростає до нескінченності. Таким чином,limn→∞(n1/n)4lnn=0. Оскільки межа менше 1, робимо висновок, що ряд сходиться. - limn→∞(2nn2)1/n=limn→∞2(n1/n)2=2.
Оскільки це більше 1, робимо висновок, що ряд розходиться.
Кожен з тестів, з якими ми стикалися до цього часу, вимагав, щоб ми аналізували ряди з позитивних послідовностей. Наступний розділ розслабляє це обмеження, розглядаючи чергуються ряди, де основна послідовність має терміни, які чергуються між позитивними та негативними.