8.4: Співвідношення та кореневі тести

\(n^\text{th}\)Терміновий тест теореми 63 стверджує, що для того,\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) щоб ряд сходився,\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n = 0\). Тобто терміни\(\{a_n\}\) повинні вийти дуже невеликими. Терміни не тільки повинні наближатися до 0, вони повинні наближатися до 0 «досить швидко»: тоді як серія гармонік\(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac1n\) розходиться\(\lim\limits_{n\to\infty}1/n=0\), оскільки умови\(\{1/n\}\) не наближаються до 0 «досить швидко».

Порівняльні тести попереднього розділу визначають збіжність шляхом порівняння термінів ряду з термінами іншого ряду, збіжність яких відома. У цьому розділі представлені тести Ratio та Root, які визначають збіжність шляхом аналізу термінів ряду, щоб побачити, чи наближаються вони до 0 «досить швидко».

Тест коефіцієнта

теорема 68: тест на співвідношення

\(\{a_n\}\)Дозволяти бути позитивна послідовність де\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = L\).

1. Якщо\(L<1\), то\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) сходиться.
2. Якщо\(L>1\) або\(L=\infty\), то\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) розходиться.
3. Якщо\(L=1\), тест коефіцієнта є непереконливим.

Теорема 64 дозволяє застосовувати тест на співвідношення до рядів, де\(\{a_n\}\) є позитивним для всіх, крім кінцевої кількості членів.

Принцип Ratio Test полягає в наступному: якщо\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = L<1\), то для великих\(n\), кожен член значно менший за його попередній термін, якого достатньо для забезпечення зближення.\(\{a_n\}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\): Applying the Ratio Test

Скористайтеся тестом коефіцієнта, щоб визначити збіжність наступних рядів:

1. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n!}\).
2. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{3^n}{n^3} \)
3. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2+1}.\)

Рішення

1. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n!}\):\[\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!} &= \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2^{n+1}n!}{2^n(n+1)!}\\&= \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2}{n+1}\\&=0.\end{align*}\] Оскільки межа є\(0<1\), по тесту коефіцієнта\(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n!}\) сходиться.
2. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{3^n}{n^3}\):\[\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3^{n+1}/(n+1)^3}{3^n/n^3} &= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3^{n+1}n^3}{3^n(n+1)^3}\\&= \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3n^3}{(n+1)^3}\\&= 3.\end{align*}\] Оскільки межа є\(3>1\), по тесту коефіцієнта\(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{3^n}{n^3}\) розходиться.
3. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2+1}\):\[\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1/\big((n+1)^2+1\big)}{1/(n^2+1)} &= \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{n^2+1}{(n+1)^2+1}\\&= 1.\end{align*}\] Оскільки межа дорівнює 1, тест коефіцієнта є непереконливим. Ми можемо легко показати, що ця серія сходиться за допомогою тестів прямого або граничного порівняння, при кожному порівнянні з серією\(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}\).

Тест на співвідношення не є ефективним, коли члени ряду містять лише алгебраїчні функції (наприклад, поліноми). Найбільш ефективно, коли терміни містять деякі факторіали або експоненціальні числа. Попередній приклад також підсилює нашу інтуїцію, що розвивається: факторіали домінують експоненціальні, які домінують над алгебраїчними функціями, які домінують над логарифмічними функціями. У частині 1 прикладу факторіал у знаменнику домінував експоненціальний в чисельнику, змушуючи ряди сходитися. У частині 2 експоненціальна в чисельнику домінувала алгебраїчна функція в знаменнику, внаслідок чого ряд розходиться.

Хоча ми використовували факторіали в попередніх розділах, ми не вивчали їх уважно, і один, ймовірно, ще не матиме сильного інтуїтивного почуття того, як вони поводяться. Наступний приклад дає більше практики з факторіалами.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Applying the Ratio Test

Визначаємо збіжність\(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n!n!}{(2n)!}\).

Рішення

Перш ніж ми почнемо, обов'язково зверніть увагу на різницю між\((2n)!\) і\(2n!\). Коли\(n=4\), перший є\(8!=8\cdot7\cdot\ldots\cdot 2\cdot1=40,320\), тоді як останній є\(2(4\cdot3\cdot2\cdot1) = 48\).

Застосування тесту на співвідношення:

\ [\ begin {align*}
\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {(n+1)! (н+1)! /\ великий (2 (n+1)\ великий)!} {n! п! /(2n)!} &=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {(n+1)! (н+1)! (2n)!} {n! п! (2n+2)!} \\
\ text {Відзначивши\((2n+2)! = (2n+2)\cdot(2n+1)\cdot(2n)!\), що ми маємо} &\\
&=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {(n+1) (n+1)} {(2n+2) (2n+1)}\\
&= 1/4.
\ end {вирівнювати*}\]

Оскільки межа є\(1/4<1\), по тесту коефіцієнта ми робимо висновок\(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n!n!}{(2n)!}\) сходиться.

Кореневий тест

Остаточний тест, який ми вводимо, - це кореневий тест, який особливо добре працює на серіях, де кожен термін піднімається до влади, і не працює добре з термінами, що містять факторіали.

теорема 69: кореневий тест

\(\{a_n\}\)Дозволяти бути позитивна послідовність і нехай\(\lim\limits_{n\to \infty} (a_n)^{1/n} = L\).

1. Якщо\(L<1\), то\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) сходиться.
2. Якщо\(L>1\) або\(L=\infty\), то\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) розходиться.
3. Якщо\(L=1\), Кореневий тест є безрезультатним.

Приклад\(\PageIndex{3}\): Applying the Root Test

Визначте збіжність наступних рядів за допомогою Root Test:

1. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\dfrac{3n+1}{5n-2}\right)^n\qquad\qquad 2. \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n^4}{(\ln n)^n}\qquad\qquad 3. \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n^2}.\)

Рішення

1. \(\lim\limits_{n\to\infty} \left(\left(\dfrac{3n+1}{5n-2}\right)^n\right)^{1/n} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3n+1}{5n-2} = \dfrac 35.\)
   Так як межа менше 1, робимо висновок, що ряд сходиться. Примітка: важко застосувати Ratio Test до цієї серії.
2. \(\lim\limits_{n\to\infty} \left(\dfrac{n^4}{(\ln n)^n}\right)^{1/n} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac {\big(n^{1/n}\big)^4}{\ln n} \).
   У\(n\) міру зростання чисельник наближається до 1 (застосовуйте правило L'H\ ^opital) і знаменник зростає до нескінченності. Таким чином,\[ \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\big(n^{1/n}\big)^4}{\ln n} = 0.\] Оскільки межа менше 1, робимо висновок, що ряд сходиться.
3. \(\lim\limits_{n\to\infty} \left(\dfrac{2^n}{n^2}\right)^{1/n} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2}{\big(n^{1/n}\big)^2} = 2\).
   Оскільки це більше 1, робимо висновок, що ряд розходиться.

Кожен з тестів, з якими ми стикалися до цього часу, вимагав, щоб ми аналізували ряди з позитивних послідовностей. Наступний розділ розслабляє це обмеження, розглядаючи чергуються ряди, де основна послідовність має терміни, які чергуються між позитивними та негативними.

Автори та атрибуція

• Template:ContribApexCalc