8.2: Нескінченна серія
З огляду на послідовність{an}={1/2n}=1/2, 1/4, 1/8, …, розглянемо наступні суми:
\ [\ почати {масив} {ccccc}
a_1 &=& 1/2 &= & 1/2\\
a_1+a_2 &=& 1/2+1/4 &= & 3/4\\
a_1+a_2+a_3 &= & 1/2+1/4+1/8 &= & 7/8\
a_1+a_2+a_3+a_4 &= & 1/2+1/4+1/8+1/16 & =& 15/16
\ кінець {масив}\]
Загалом, ми можемо показати, що
a1+a2+a3+⋯+an=2n−12n=1−12n.
SnДозволяти сума першихn членів послідовності{1/2n}. З вищесказаного ми бачимоS1=1/2, щоS2=3/4, і т.д. наша формула в кінці показує, щоSn=1−1/2n.
Тепер розглянемо наступний ліміт:
limn→∞Sn=limn→∞(1−1/2n)=1.
Цю межу можна інтерпретувати як щось дивовижне: сума всіх членів послідовності{1/2n} дорівнює 1.} Цей приклад ілюструє деякі цікаві поняття, які ми досліджуємо в цьому розділі. Ми починаємо це дослідження з деяких визначень.
Визначення 31: Нескінченна серія,nth Partial Sums, Convergence, Divergence
{an}Дозволяти послідовність.
- Сума∞∑n=1an являє собою нескінченний ряд (або, просто ряд).
- Sn=n∑i=1aiДозволяти; послідовність{Sn} є послідовністюnth часткових сум{an}.
- Якщо послідовність{Sn} сходиться доL, ми говоримо, що ряд∞∑n=1an сходиться доL, і ми пишемо∞∑n=1an=L.
- Якщо послідовність{Sn} розходиться, ряд∞∑n=1an розходиться.
Використовуючи нашу нову термінологію, ми можемо констатувати, що серія∞∑n=11/2n сходиться, і∞∑n=11/2n=1.
Ми розглянемо різноманітні серії в цьому розділі. Ми починаємо з двох серій, які розходяться, показуючи, як ми можемо розрізнити розбіжність.
Приклад8.2.1: Showing series diverge
- Нехай{an}={n2}. Показати∞∑n=1an розбіжності.
- Нехай{bn}={(−1)n+1}. Показати∞∑n=1bn розбіжності.
Рішення
- ВрахуйтеSn,nth часткову суму. Sn=a1+a2+a3+⋯+an=12+22+32⋯+n2.За теоремою 37, це=n(n+1)(2n+1)6. Такlimn→∞Sn=∞, ми робимо висновок, що ряд∞∑n=1n2 розходиться. Повчально писати∞∑n=1n2=∞ для цього розповідає, як розходиться серіал: він росте без прив'язки.
Графік розкиду послідовностей{an} і{Sn} наведено на малюнку 8.7 (а). Терміни{an} ростуть, тому терміни часткових сум ростуть ще швидше, що{Sn} ілюструє, що ряд розходиться.
- Послідовність{bn} починається з 1−1,, 1−1,…. Розглянемо деякі часткові сумиSn{bn}:S1=1S2=0S3=1S4=0 Цей шаблон повторюється; ми знаходимо, щоSn={1n is odd0n is even
Як{Sn} коливається, повторюючи 1, 0, 1, 0…, ми робимо висновок, щоlimn→∞Sn не існує, отже,∞∑n=1(−1)n+1 розходиться.
Графік розкиду послідовності{bn} і часткових сум{Sn} наведено на малюнку 8.7 (б). Колиn непарний,bn=Sn тому позначки дляbn малюються негабаритними, щоб показати, що вони збігаються.
Хоча важливо визнати, коли серія розходиться, нас, як правило, більше цікавить серія, яка сходяться. У цьому розділі ми продемонструємо кілька загальних прийомів визначення конвергенції; пізніше розділи заглибимося в цю тему.
Геометрична серія
Одним з важливих видів серій є геометричний ряд.
Визначення 32: геометричний ряд
Геометричний ряд - це серія форми
∞∑n=0rn=1+r+r2+r3+⋯+rn+⋯
Зверніть увагу, що індекс починається зn=0, а неn=1.
Ми почали цей розділ з геометричного ряду, хоча ми відкинули перший термін1. Одна з причин, чому геометричні ряди важливі, полягає в тому, що вони мають приємні властивості збіжності.
теорема 60: збіжність геометричних рядів
Розглянемо геометричні ряди∞∑n=0rn.
- nthЧасткова сума становить:Sn=1−rn+11−r.
- Ряд сходиться якщо, і тільки якщо,|r|<1. Коли|r|<1,
∞∑n=0rn=11−r.
Згідно з теоремою 60, ряд
∞∑n=012n=∞∑n=0(12)2=1+12+14+⋯
сходиться якr=1/2, і∞∑n=012n=11−1/2=2. Це узгоджується з нашим вступним прикладом; поки ми отримали суму 1, ми пропустили перший член 1.
Приклад8.2.2: Exploring geometric series
Перевірте схожість наступних рядів. Якщо ряд сходиться, знайдіть його суму.
1.∞∑n=2(34)n2.∞∑n=0(−12)n3.∞∑n=03n
Рішення
- Так якr=3/4<1, цей ряд сходиться. За теоремою 60, ми маємо це∞∑n=0(34)n=11−3/4=4. Однак, зверніть увагу на індекс підсумовування в даному ряду: ми повинні почати зn=2. Тому віднімаємо від перших двох членів, даючи:∞∑n=2(34)n=4−1−34=94. Це проілюстровано на малюнку 8.8.
- Так як|r|=1/2<1, цей ряд сходиться, і по теоремі 60,∞∑n=0(−12)n=11−(−1/2)=23.
часткові суми цього ряду побудовані на малюнку 8.9 (а). Зверніть увагу, що часткові суми не чисто збільшуються, оскільки деякі терміни послідовності{(−1/2)n} є негативними.
- Так якr>1, ряд розходиться. (Це має «здоровий глузд»; ми очікуємо, що сума1+3+9+27+81+243+⋯ буде розходитися.) Це проілюстровано на малюнку 8.9 (б).
P-серія
Ще один важливий вид серій - p-серія.
Визначення 33:p-Series, General P-Series
- Ap —series - це серія форми\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}, \qquad \text{where p>0.}\]
- Загальнийp —series} - це серія форми
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(an+b)^p}, \qquad \text{where p>0 and a, b are real numbers.}\]
Як і геометричні серії, одна з приємних речей про p—series полягає в тому, що вони легко визначають властивості збіжності.
теорема 61: збіжність загальногоP--Series
Загальнийp —series∞∑n=11(an+b)p зійдеться, якщо, і тільки якщо,p>1.
Примітка: Теорема 61 передбачає, щоan+b≠0 для всіхn. Якщоan+b=0 для деякихn, то звичайно ряд не сходиться незалежно від тогоp, як не всі члени послідовності визначені.
Приклад8.2.3: Determining convergence of series
Визначте збіжність наступних рядів.
- ∞∑n=11n
- ∞∑n=11n2
- ∞∑n=11√n
- ∞∑n=1(−1)nn
- ∞∑n=111(12n−5)3
- ∞∑n=112n
Рішення
- Цеp —серія сp=1. За теоремою 61 цей ряд розходиться.
Цей серіал є відомим серіалом під назвою Harmonic Series, названий так через його відношення до гармонік у вивченні музики і звуку. - Цеp —серія сp=2. За теоремою 61 вона сходиться. Зауважте, що теорема не дає формули, за якою ми можемо визначити, до чого сходиться ряд; ми просто знаємо, що він сходиться. Відомий, несподіваний результат полягає в тому, що ця серія сходиться доπ2/6.
- Цеp —серія зp=1/2; теорема стверджує, що вона розходиться.
- Це неp —серія; визначення не допускає чергування знаків. Тому ми не можемо застосувати теорему 61. (Інший відомий результат стверджує, що ця серія, серія змінних гармонік, сходиться доln2.)
- Це загальнийp —ряд зp=3, тому він сходиться.
- Це неp —серія, а геометрична серія сr=1/2. Він сходиться.
Пізніші розділи нададуть тести, за допомогою яких ми можемо визначити, чи збігається заданий ряд. Це, в общем-то, набагато простіше, ніж визначити, до чого сходиться даний ряд. Є багато випадків, коли сума може бути визначена.
Приклад8.2.4: Telescoping series
Оцініть суму∞∑n=1(1n−1n+1).
Рішення
Вона допоможе записати деякі з перших кількох часткових сум цього ряду.
\ [\ почати {вирівнювати*}
S_1 &=\ frac11-\ frac12 & & = 1-\ frac12\\
S_2 &=\ вліво (\ frac11-\ frac12\ справа) +\ вліво (\ frac12-\ frac13\ праворуч) & = 1-\ frac13\ S_3 &=\ ліво (\ frac11-\ frac12\ праворуч) & = 1-\ frac13\
S_3 &=\ ліво (\ frac11-\ frac12\ праворуч) +\\\ frac12-\ frac13\ праворуч) +\ ліворуч (\ frac13-\ frac14\ праворуч) & ампер; &= 1-\ frac14\\
S_4 &=\ лівий (\ frac11-\ frac12\ праворуч) +\ лівий (\ frac12-\ frac13\ праворуч) +\ лівий (\ frac13-\ frac14\ праворуч) +\ вліво (\ frac14-\ frac15\ праворуч) & = 1-\ frac15
\ кінець {align*}\]
Зверніть увагу, як скасовується більшість термінів у кожній частковій сумі! Загалом, ми це бачимоSn=1−1n+1. Послідовність{Sn} сходиться, якlimn→∞Sn=limn→∞(1−1n+1)=1, і так ми робимо висновок, що∞∑n=1(1n−1n+1)=1. Часткові суми ряду побудовані на малюнку 8.10.
Серія в прикладі 8.2.4 є прикладом телескопічної серії. Неофіційно телескопічний ряд - це той, в якому часткові суми зменшуються лише до кінцевої кількості термінів. Часткова сумаSn не містилаn термінів, а лише два: 1 і1/(n+1).
Коли це можливо, шукайте спосіб написати явну формулу дляnth часткової сумиSn. Це робить оцінку межіlimn→∞Sn набагато доступнішою. Ми робимо це в наступному прикладі.
Примітка щодо позначення: Більшість серій, з якими ми стикаємося, почнеться зn=1. Для зручності позначення ми часто будемо писати∑an замість написання∞∑n=1an.
Приклад8.2.5: Evaluating series
Оцініть кожен з наступних нескінченних рядів.
1. ∞∑n=12n2+2n2.∞∑n=1ln(n+1n)
Рішення
- Ми можемо розкласти дріб2/(n2+2n) як2n2+2n=1n−1n+2. (див. Розділ 6.5, Розкладання часткових дробів, щоб згадати, як це робиться, якщо необхідно.)
Висловлювати умови{Sn} тепер більш повчальним: у
S1=1−13=1−13S2=(1−13)+(12−14)=1+12−13−14S3=(1−13)+(12−14)+(13−15)=1+12−14−15S4=(1−13)+(12−14)+(13−15)+(14−16)=1+12−15−16S5=(1−13)+(12−14)+(13−15)+(14−16)+(15−17)=1+12−16−17
нас знову є телескопічна серія. У кожній частковій сумі більшість термінів скасовуються, і ми отримуємо формулуSn=1+12−1n+1−1n+2. Беручи межі дозволяє визначити збіжність ряду:limn→∞Sn=limn→∞(1+12−1n+1−1n+2)=32,so ∞∑n=11n2+2n=32.
Це проілюстровано на малюнку 8.11 (a).
- Ми починаємо з написання перших кількох часткових сум ряду:
S1=ln(2)S2=ln(2)+ln(32)S3=ln(2)+ln(32)+ln(43)S4=ln(2)+ln(32)+ln(43)+ln(54)
Спочатку це не здається корисним, але нагадаємо логарифмічну ідентичність:lnx+lny=ln(xy). Застосовуючи це доS4 дає:S4=ln(2)+ln(32)+ln(43)+ln(54)=ln(21⋅32⋅43⋅54)=ln(5).
Ми можемо зробити висновок, що{Sn}={ln(n+1)}. Ця послідовність не сходиться, якlimn→∞Sn=∞. Тому∞∑n=1ln(n+1n)=∞; ряд розходиться. Зверніть увагу на малюнку 8.11 (b), як послідовність часткових сум зростає повільно; після 100 термінів вона ще не перевищує 5. Графічно нас можуть обдурити, думаючи, що серія сходиться, але наш аналіз вище показує, що це не так.
Ми дізнаємося про новий математичний об'єкт, ряд. Як і раніше, ми застосовуємо «стару» математику до цієї нової теми.
ТЕОРЕМА 62 ВЛАСТИВОСТІ НЕСКІНЧЕННИХ РЯДІВ
Нехай∞∑n=1an=L,∞∑n=1bn=K, і нехайc буде постійною.
- Постійне множинне правило:∞∑n=1c⋅an=c⋅∞∑n=1an=c⋅L.
- Правило сума/різниці:∞∑n=1(an±bn)=∞∑n=1an±∞∑n=1bn=L±K.
Перш ніж використовувати цю теорему, ми наводимо кілька «відомих» серій.
КЛЮЧОВА ІДЕЯ 31 ВАЖЛИВА СЕРІЯ
- ∞∑n=01n!=e. (Зауважте, що індекс починається зn=0.)
- ∞∑n=11n2=π26.
- ∞∑n=1(−1)n+1n2=π212.
- ∞∑n=0(−1)n2n+1=π4.
- ∞∑n=11ndiverges. (Це називається Гармонічна серія.)
- ∞∑n=1(−1)n+1n=ln2. (Це називається змінною гармонійною серією.)
Приклад8.2.6: Evaluating series
Оцініть даний ряд.
1.∞∑n=1(−1)n+1(n2−n)n32.∞∑n=11000n!3.116+125+136+149+⋯
Рішення
- Ми починаємо з використання алгебри, щоб розбити ряд на частини:
\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}\big(n^2-n\big)}{n^3} &= \sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^{n+1}n^2}{n^3}-\frac{(-1)^{n+1}n}{n^3}\right) \\&= \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} \\&= \ln(2) - \frac{\pi^2}{12} \approx -0.1293.\end{align*}
Це показано на малюнку 8.12 (a).
- Це виглядає дуже схоже на серію, яка бере участьe у Key Idea 31. Однак зауважте, що серія, наведена в цьому прикладі, починається зn=1 і ніn=0. Перший термін серії в Key Idea - це1/0! = 1, тому ми віднімемо це з нашого результату нижче:
\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1000}{n!} &= 1000\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} \\ &= 1000\cdot (e-1) \approx 1718.28. \end{align*}
Це показано на малюнку 8.12 (b). Графік показує, як цей конкретний ряд дуже швидко сходиться.
- Знаменники в кожному члені є ідеальними квадратами; ми додаємо \sum\limits_{n=4}^\infty \frac{1}{n^2} (зверніть увагу, що ми починаємо зn=4, а неn=1). Цей ряд зійдеться. Використовуючи формулу з Key Idea 31, ми маємо наступне:
\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2} &= \sum\limits_{n=1}^3 \frac1{n^2} +\sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \\ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2} - \sum\limits_{n=1}^3 \frac1{n^2} &=\sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \\ \frac{\pi^2}{6} - \left(\frac11+\frac14+\frac19\right) &= \sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \\ \frac{\pi^2}{6} - \frac{49}{36} &= \sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \\ 0.2838&\approx \sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \end{align*}
Це може зайняти деякий час, перш ніж хтось освоїться з цим твердженням, істина якого лежить в основі вивчення нескінченних рядів: можливо, що сума нескінченного списку ненульових чисел є кінцевою. Ми бачили це неодноразово в цьому розділі, але це все ще може «звикнути».
Коли хтось споглядає поведінку серіалів, стає зрозумілим кілька фактів.
- Для того, щоб додати нескінченний список ненульових чисел і отримати кінцевий результат, «більшість» з цих чисел має бути «дуже близько» 0.
- Якщо ряд розходиться, це означає, що сума нескінченного списку чисел не є кінцевою (вона може наближатися\pm \infty або коливатися), а:
- Ряд все одно буде розходитися, якщо перший термін буде знятий.
- Ряд все одно буде розходитися, якщо видалити перші 10 термінів.
- Ряд все одно буде розходитися, якщо прибрати перші1,000,000 терміни.
- Ряд все одно буде розходитися, якщо будь-яке кінцеве число членів з будь-якої точки серії буде видалено.
Ці поняття дуже важливі і лежать в основі наступних двох теорем.
теорема 63n^\text{th}--Term Test for Convergence/Divergence
Розглянемо серію \sum\limits_{n=1}^\infty a_n.
- Якщо \sum\limits_{n=1}^\infty a_n сходиться, то \lim\limits_{n\to\infty}a_n =0.
- Якщо \lim\limits_{n\to\infty}a_n \neq 0, то \sum\limits_{n=1}^\infty a_n розходиться.
Зауважте, що два твердження в теоремі 63 дійсно однакові. Для того щоб сходитися, межа членів послідовності повинна наближатися до 0; якщо їх немає, то ряд не сходиться.
Озираючись назад, ми можемо застосувати цю теорему до ряду в прикладі 8.2.1. У цьому прикладіn^\text{th} терміни обох послідовностей не сходяться до 0, тому ми можемо швидко зробити висновок, що кожен ряд розходиться.
Важливо! Ця теорема не стверджує, що якщо \lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0 потім \sum\limits_{n=1}^\infty a_n сходиться. Стандартним прикладом цього є Гармонічна серія, як наведено в Key Idea 31. Гармонічна послідовність\{1/n\},, сходиться до 0; Гармонічна серія, \sum\limits_{n=1}^\infty 1/n, розходиться.
теорема 64 нескінченна природа рядів
Збіжність або розбіжність залишаються незмінними шляхом додавання або віднімання будь-якого скінченного числа членів. Тобто:
- Дивергентний ряд залишатиметься розбіжним із додаванням або відніманням будь-якого скінченного числа членів.
- Конвергентний ряд залишатиметься збіжним із додаванням або відніманням будь-якого скінченного числа членів. (Звичайно, сума, швидше за все, зміниться.)
Розглянемо ще раз Гармонічний ряд, \sum\limits_{n=1}^\infty \frac1n який розходиться; тобто послідовність часткових сум\{S_n\} зростає (дуже, дуже повільно) без обмежень. Можна подумати, що, видаливши «великі» терміни послідовності, можливо, ряд сходиться. Це просто не так. Наприклад, сума перших 10 мільйонів членів серії гармонік становить близько 16,7. Видалення перших 10 мільйонів членів з Гармонічного ряду змінюєn^\text{th} часткові суми, фактично віднімаючи 16,7 з суми. Однак послідовність, яка зростає без зв'язки, все одно буде рости без зв'язки, коли з неї віднімається 16,7.
Рівняння нижче ілюструють це. Перший рядок показує нескінченну суму Гармонічних Серій, розділених на суму перших 10 мільйонів членів плюс сума «всього іншого». Наступне рівняння показує, що ми віднімаємо ці перші 10 мільйонів членів з обох сторін. Остаточне рівняння використовує трохи «псуедо-математики»: віднімання 16,7 з «нескінченності» все ще залишає одне з «нескінченністю».
\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1n &= \sum\limits_{n=1}^{10,000,000}\frac1n \quad + \sum\limits_{n=10,000,001}^\infty \frac1n \\ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac1n - \sum\limits_{n=1}^{10,000,000}\frac1n &= \sum\limits_{n=10,000,001}^\infty \frac1n \\ \infty - 16.7 &= \infty.\end{align*}
Цей розділ познайомив нас із серіями та визначив кілька спеціальних типів серій, властивості збіжності яких добре відомі: ми знаємо, колиp -серія або геометричний ряд сходяться або розходяться. Більшість серій, з якими ми стикаємося, не є одним із цих типів, але нам все ще цікаво знати, сходяться вони чи ні. Наступні три розділи представляють тести, які допомагають нам визначити, сходиться чи ні заданий ряд.