8.2: Нескінченна серія

З огляду на послідовність$\{a_n\} = \{1/2^n\} = 1/2,\ 1/4,\ 1/8,\ \ldots$, розглянемо наступні суми:

\ [\ почати {масив} {ccccc}
a_1 &=& 1/2 &= & 1/2\\
a_1+a_2 &=& 1/2+1/4 &= & 3/4\\
a_1+a_2+a_3 &= & 1/2+1/4+1/8 &= & 7/8\
a_1+a_2+a_3+a_4 &= & 1/2+1/4+1/8+1/16 & =& 15/16
\ кінець {масив}\]

Загалом, ми можемо показати, що

$$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n = \frac{2^n-1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^n}.$$

$S_n$Дозволяти сума перших$n$ членів послідовності$\{1/2^n\}$. З вищесказаного ми бачимо$S_1=1/2$, що$S_2 = 3/4$, і т.д. наша формула в кінці показує, що$S_n = 1-1/2^n$.

Тепер розглянемо наступний ліміт:

$$\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \lim\limits_{n\to\infty}\big(1-1/2^n\big) = 1.$$

Цю межу можна інтерпретувати як щось дивовижне: сума всіх членів послідовності$\{1/2^n\}$ дорівнює 1.} Цей приклад ілюструє деякі цікаві поняття, які ми досліджуємо в цьому розділі. Ми починаємо це дослідження з деяких визначень.

Визначення 31: Нескінченна серія,$n^\text{th}$ Partial Sums, Convergence, Divergence

$\{a_n\}$Дозволяти послідовність.

1. Сума$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ являє собою нескінченний ряд (або, просто ряд).
2. $S_n = \sum\limits_{i=1}^n a_i$Дозволяти; послідовність$\{S_n\}$ є послідовністю$n^\text{th}$ часткових сум$\{a_n\}$.
3. Якщо послідовність$\{S_n\}$ сходиться до$L$, ми говоримо, що ряд$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходиться до$L$, і ми пишемо$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n = L$.
4. Якщо послідовність$\{S_n\}$ розходиться, ряд$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ розходиться.

Використовуючи нашу нову термінологію, ми можемо констатувати, що серія$\sum\limits_{n=1}^\infty 1/2^n$ сходиться, і$\sum\limits_{n=1}^\infty 1/2^n = 1.$

Ми розглянемо різноманітні серії в цьому розділі. Ми починаємо з двох серій, які розходяться, показуючи, як ми можемо розрізнити розбіжність.

Приклад$\PageIndex{1}$: Showing series diverge

1. Нехай$\{a_n\} = \{n^2\}$. Показати$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ розбіжності.
2. Нехай$\{b_n\} = \{(-1)^{n+1}\}$. Показати$\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ розбіжності.

Рішення

1. Врахуйте$S_n$,$n^\text{th}$ часткову суму. $$\begin{align*} S_n &= a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \\ &= 1^2+2^2+3^2\cdots + n^2.\end{align*}$$ За теоремою 37, це $$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$ Так$\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \infty$, ми робимо висновок, що ряд$\sum\limits_{n=1}^\infty n^2$ розходиться. Повчально писати$\sum\limits_{n=1}^\infty n^2=\infty$ для цього розповідає, як розходиться серіал: він росте без прив'язки.
   
   Графік розкиду послідовностей$\{a_n\}$ і$\{S_n\}$ наведено на малюнку 8.7 (а). Терміни$\{a_n\}$ ростуть, тому терміни часткових сум ростуть ще швидше, що$\{S_n\}$ ілюструє, що ряд розходиться.
   
2. Послідовність$\{b_n\}$ починається з 1$-1$,, 1$-1$,$\ldots$. Розглянемо деякі часткові суми$S_n$$\{b_n\}$: $$\begin{align*}S_1 &= 1\\S_2 &= 0\\S_3 &= 1\\S_4 &= 0\end{align*}$$ Цей шаблон повторюється; ми знаходимо, що$S_n = \left\{\begin{array}{cc} 1 & n \text{ is odd}\\ 0 & n \text{ is even} \end{array}\right.$
   
   Як$\{S_n\}$ коливається, повторюючи 1, 0, 1, 0$\ldots$, ми робимо висновок, що$\lim\limits_{n\to\infty}S_n$ не існує, отже,$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}$ розходиться.
   
   Графік розкиду послідовності$\{b_n\}$ і часткових сум$\{S_n\}$ наведено на малюнку 8.7 (б). Коли$n$ непарний,$b_n = S_n$ тому позначки для$b_n$ малюються негабаритними, щоб показати, що вони збігаються.

Малюнок 8.7: Графіки розкиду, що відносяться до Прикладу 8.2.1.

Хоча важливо визнати, коли серія розходиться, нас, як правило, більше цікавить серія, яка сходяться. У цьому розділі ми продемонструємо кілька загальних прийомів визначення конвергенції; пізніше розділи заглибимося в цю тему.

Геометрична серія

Одним з важливих видів серій є геометричний ряд.

Визначення 32: геометричний ряд

Геометричний ряд - це серія форми

$$\sum\limits_{n=0}^\infty r^n = 1+r+r^2+r^3+\cdots+r^n+\cdots$$

Зверніть увагу, що індекс починається з$n=0$, а не$n=1$.

Ми почали цей розділ з геометричного ряду, хоча ми відкинули перший термін$1$. Одна з причин, чому геометричні ряди важливі, полягає в тому, що вони мають приємні властивості збіжності.

теорема 60: збіжність геометричних рядів

Розглянемо геометричні ряди$\sum\limits_{n=0}^\infty r^n$.

1. $n^\text{th}$Часткова сума становить:$S_n = \frac{1-r\,^{n+1}}{1-r}$.
2. Ряд сходиться якщо, і тільки якщо,$|r| < 1$. Коли$|r|<1$,
   $$\sum\limits_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}.$$

Згідно з теоремою 60, ряд

$$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} =\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac 12\right)^2= 1+\frac12+\frac14+\cdots$$

сходиться як$r=1/2$, і$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{1-1/2} = 2.$ Це узгоджується з нашим вступним прикладом; поки ми отримали суму 1, ми пропустили перший член 1.

Приклад$\PageIndex{2}$: Exploring geometric series

Перевірте схожість наступних рядів. Якщо ряд сходиться, знайдіть його суму.

$1. \sum\limits_{n=2}^\infty \left(\frac34\right)^n \qquad 2. \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{2}\right)^n \qquad 3. \sum\limits_{n=0}^\infty 3^n$

Рішення

Малюнок 8.8: Графіки розкиду, що відносяться до серії в прикладі 8.2.2

1. Так як$r=3/4<1$, цей ряд сходиться. За теоремою 60, ми маємо це $$\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac34\right)^n = \frac{1}{1-3/4} = 4.$$ Однак, зверніть увагу на індекс підсумовування в даному ряду: ми повинні почати з$n=2$. Тому віднімаємо від перших двох членів, даючи: $$\sum\limits_{n=2}^\infty \left(\frac34\right)^n = 4 - 1 - \frac34 = \frac94.$$ Це проілюстровано на малюнку 8.8.
   
2. Так як$|r| = 1/2 < 1$, цей ряд сходиться, і по теоремі 60, $$\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{2}\right)^n = \frac{1}{1-(-1/2)} = \frac23.$$
   
   часткові суми цього ряду побудовані на малюнку 8.9 (а). Зверніть увагу, що часткові суми не чисто збільшуються, оскільки деякі терміни послідовності$\{(-1/2)^n\}$ є негативними.
   
3. Так як$r>1$, ряд розходиться. (Це має «здоровий глузд»; ми очікуємо, що сума $$1+3+9+27 + 81+243+\cdots$$ буде розходитися.) Це проілюстровано на малюнку 8.9 (б).

Малюнок 8.9: Графіки розкиду, що відносяться до серії в прикладі 8.2.2.

P-серія

Ще один важливий вид серій - p-серія.

Визначення 33:$p$-Series, General $P$-Series

1. A$p$ —series - це серія форми\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}, \qquad \text{where $p>0$.}\]
2. Загальний$p$ —series} - це серія форми
   \[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(an+b)^p}, \qquad \text{where $p>0$ and $a$, $b$ are real numbers.}\]

Як і геометричні серії, одна з приємних речей про p—series полягає в тому, що вони легко визначають властивості збіжності.

теорема 61: збіжність загального$P$--Series

Загальний$p$ —series$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(an+b)^p}$ зійдеться, якщо, і тільки якщо,$p>1$.

Примітка: Теорема 61 передбачає, що$an+b\neq 0$ для всіх$n$. Якщо$an+b=0$ для деяких$n$, то звичайно ряд не сходиться незалежно від того$p$, як не всі члени послідовності визначені.

Приклад$\PageIndex{3}$: Determining convergence of series

Визначте збіжність наступних рядів.

1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$
2. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$
3. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$
4. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$
5. $\sum\limits_{n=11}^\infty \frac{1}{(\frac12n-5)^3}$
6. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$

Рішення

1. Це$p$ —серія с$p=1$. За теоремою 61 цей ряд розходиться.
   Цей серіал є відомим серіалом під назвою Harmonic Series, названий так через його відношення до гармонік у вивченні музики і звуку.
2. Це$p$ —серія с$p=2$. За теоремою 61 вона сходиться. Зауважте, що теорема не дає формули, за якою ми можемо визначити, до чого сходиться ряд; ми просто знаємо, що він сходиться. Відомий, несподіваний результат полягає в тому, що ця серія сходиться до${\pi^2}/{6}$.
3. Це$p$ —серія з$p=1/2$; теорема стверджує, що вона розходиться.
4. Це не$p$ —серія; визначення не допускає чергування знаків. Тому ми не можемо застосувати теорему 61. (Інший відомий результат стверджує, що ця серія, серія змінних гармонік, сходиться до$\ln 2$.)
5. Це загальний$p$ —ряд з$p=3$, тому він сходиться.
6. Це не$p$ —серія, а геометрична серія с$r=1/2$. Він сходиться.

Пізніші розділи нададуть тести, за допомогою яких ми можемо визначити, чи збігається заданий ряд. Це, в общем-то, набагато простіше, ніж визначити, до чого сходиться даний ряд. Є багато випадків, коли сума може бути визначена.

Приклад$\PageIndex{4}$: Telescoping series

Оцініть суму$\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)$.

Рішення

Вона допоможе записати деякі з перших кількох часткових сум цього ряду.

\ [\ почати {вирівнювати*}
S_1 &=\ frac11-\ frac12 & & = 1-\ frac12\\
S_2 &=\ вліво (\ frac11-\ frac12\ справа) +\ вліво (\ frac12-\ frac13\ праворуч) & = 1-\ frac13\ S_3 &=\ ліво (\ frac11-\ frac12\ праворуч) & = 1-\ frac13\
S_3 &=\ ліво (\ frac11-\ frac12\ праворуч) +\\\ frac12-\ frac13\ праворуч) +\ ліворуч (\ frac13-\ frac14\ праворуч) & ампер; &= 1-\ frac14\\
S_4 &=\ лівий (\ frac11-\ frac12\ праворуч) +\ лівий (\ frac12-\ frac13\ праворуч) +\ лівий (\ frac13-\ frac14\ праворуч) +\ вліво (\ frac14-\ frac15\ праворуч) & = 1-\ frac15
\ кінець {align*}\]

Зверніть увагу, як скасовується більшість термінів у кожній частковій сумі! Загалом, ми це бачимо$S_n = 1-\frac{1}{n+1}$. Послідовність$\{S_n\}$ сходиться, як$\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac1{n+1}\right) = 1$, і так ми робимо висновок, що$\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac1n-\frac1{n+1}\right) = 1$. Часткові суми ряду побудовані на малюнку 8.10.

Малюнок 8.10: Графіки розкиду, що відносяться до серії Приклад 8.2.4.

Серія в прикладі 8.2.4 є прикладом телескопічної серії. Неофіційно телескопічний ряд - це той, в якому часткові суми зменшуються лише до кінцевої кількості термінів. Часткова сума$S_n$ не містила$n$ термінів, а лише два: 1 і$1/(n+1)$.

Коли це можливо, шукайте спосіб написати явну формулу для$n^\text{th}$ часткової суми$S_n$. Це робить оцінку межі$\lim\limits_{n\to\infty} S_n$ набагато доступнішою. Ми робимо це в наступному прикладі.

Примітка щодо позначення: Більшість серій, з якими ми стикаємося, почнеться з$n=1$. Для зручності позначення ми часто будемо писати$\sum\limits a_n$ замість написання$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$.

Приклад$\PageIndex{5}$: Evaluating series

Оцініть кожен з наступних нескінченних рядів.

1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2}{n^2+2n} \qquad 2. \sum\limits_{n=1}^\infty \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)$

Рішення

1. Ми можемо розкласти дріб$2/(n^2+2n)$ як $$\frac2{n^2+2n} = \frac1n-\frac1{n+2}.$$ (див. Розділ 6.5, Розкладання часткових дробів, щоб згадати, як це робиться, якщо необхідно.)
   Висловлювати умови$\{S_n\}$ тепер більш повчальним: у
   $$\begin{align*}S_1 &= 1-\frac13 &&= 1-\frac13\\S_2 &= \left(1-\frac13\right) + \left(\frac12-\frac14\right) &&= 1+\frac12-\frac13-\frac14\\S_3 &= \left(1-\frac13\right) + \left(\frac12-\frac14\right)+\left(\frac13-\frac15\right) &&= 1+\frac12-\frac14-\frac15\\S_4 &= \left(1-\frac13\right) + \left(\frac12-\frac14\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\left(\frac14-\frac16\right) &&= 1+\frac12-\frac15-\frac16\\S_5 &= \left(1-\frac13\right) + \left(\frac12-\frac14\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\left(\frac14-\frac16\right)+\left(\frac15-\frac17\right) &&= 1+\frac12-\frac16-\frac17\\\end{align*}$$
   
   нас знову є телескопічна серія. У кожній частковій сумі більшість термінів скасовуються, і ми отримуємо формулу$S_n = 1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}.$ Беручи межі дозволяє визначити збіжність ряду: $$\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right) = \frac32,\quad \text{so } \sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2+2n} = \frac32.$$
   
   Це проілюстровано на малюнку 8.11 (a).
   
2. Ми починаємо з написання перших кількох часткових сум ряду:
   $$\begin{align*}S_1 &= \ln\left(2\right) \\S_2 &= \ln\left(2\right)+\ln\left(\frac32\right) \\S_3 &= \ln\left(2\right)+\ln\left(\frac32\right)+\ln\left(\frac43\right) \\S_4 &= \ln\left(2\right)+\ln\left(\frac32\right)+\ln\left(\frac43\right)+\ln\left(\frac54\right) \end{align*}$$
   
   Спочатку це не здається корисним, але нагадаємо логарифмічну ідентичність:$\ln x+\ln y = \ln (xy).$ Застосовуючи це до$S_4$ дає: $$S_4 = \ln\left(2\right)+\ln\left(\frac32\right)+\ln\left(\frac43\right)+\ln\left(\frac54\right) = \ln\left(\frac21\cdot\frac32\cdot\frac43\cdot\frac54\right) = \ln\left(5\right).$$
   
   Ми можемо зробити висновок, що$\{S_n\} = \big\{\ln (n+1)\big\}$. Ця послідовність не сходиться, як$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\infty$. Тому$\sum\limits_{n=1}^\infty \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)=\infty$; ряд розходиться. Зверніть увагу на малюнку 8.11 (b), як послідовність часткових сум зростає повільно; після 100 термінів вона ще не перевищує 5. Графічно нас можуть обдурити, думаючи, що серія сходиться, але наш аналіз вище показує, що це не так.

Малюнок 8.11: Графіки розкиду, що відносяться до ряду в прикладі 8.2.5

Ми дізнаємося про новий математичний об'єкт, ряд. Як і раніше, ми застосовуємо «стару» математику до цієї нової теми.

ТЕОРЕМА 62 ВЛАСТИВОСТІ НЕСКІНЧЕННИХ РЯДІВ

Нехай$\quad \sum\limits_{n=1}^\infty a_n = L,\quad \sum\limits_{n=1}^\infty b_n = K$, і нехай$c$ буде постійною.

1. Постійне множинне правило:$\sum\limits_{n=1}^\infty c\cdot a_n = c\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty a_n = c\cdot L.$
2. Правило сума/різниці:$\sum\limits_{n=1}^\infty \big(a_n\pm b_n\big) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \pm \sum\limits_{n=1}^\infty b_n = L \pm K.$

Перш ніж використовувати цю теорему, ми наводимо кілька «відомих» серій.

КЛЮЧОВА ІДЕЯ 31 ВАЖЛИВА СЕРІЯ

1. $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac1{n!} = e$. (Зауважте, що індекс починається з$n=0$.)
2. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.
3. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$.
4. $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$.
5. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \quad \text{diverges}$. (Це називається Гармонічна серія.)
6. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2$. (Це називається змінною гармонійною серією.)

Приклад$\PageIndex{6}$: Evaluating series

Оцініть даний ряд.

$1. \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}\big(n^2-n\big)}{n^3}\qquad 2. \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1000}{n!}\qquad 3. \frac1{16}+\frac1{25}+\frac1{36}+\frac1{49}+\cdots$

Рішення

1. Ми починаємо з використання алгебри, щоб розбити ряд на частини:
   $$\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}\big(n^2-n\big)}{n^3} &= \sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^{n+1}n^2}{n^3}-\frac{(-1)^{n+1}n}{n^3}\right) \\&= \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} \\&= \ln(2) - \frac{\pi^2}{12} \approx -0.1293.\end{align*}$$
   Це показано на малюнку 8.12 (a).
   
2. Це виглядає дуже схоже на серію, яка бере участь$e$ у Key Idea 31. Однак зауважте, що серія, наведена в цьому прикладі, починається з$n=1$ і ні$n=0$. Перший термін серії в Key Idea - це$1/0! = 1$, тому ми віднімемо це з нашого результату нижче:
   $$\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1000}{n!} &= 1000\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} \\ &= 1000\cdot (e-1) \approx 1718.28. \end{align*}$$
   
   Це показано на малюнку 8.12 (b). Графік показує, як цей конкретний ряд дуже швидко сходиться.
   
3. Знаменники в кожному члені є ідеальними квадратами; ми додаємо$\sum\limits_{n=4}^\infty \frac{1}{n^2}$ (зверніть увагу, що ми починаємо з$n=4$, а не$n=1$). Цей ряд зійдеться. Використовуючи формулу з Key Idea 31, ми маємо наступне:
   $$\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2} &= \sum\limits_{n=1}^3 \frac1{n^2} +\sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \\ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2} - \sum\limits_{n=1}^3 \frac1{n^2} &=\sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \\ \frac{\pi^2}{6} - \left(\frac11+\frac14+\frac19\right) &= \sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \\ \frac{\pi^2}{6} - \frac{49}{36} &= \sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \\ 0.2838&\approx \sum\limits_{n=4}^\infty \frac1{n^2} \end{align*}$$

Малюнок 8.12: Графіки розкиду, що відносяться до серії в прикладі 8.2.6

Це може зайняти деякий час, перш ніж хтось освоїться з цим твердженням, істина якого лежить в основі вивчення нескінченних рядів: можливо, що сума нескінченного списку ненульових чисел є кінцевою. Ми бачили це неодноразово в цьому розділі, але це все ще може «звикнути».

Коли хтось споглядає поведінку серіалів, стає зрозумілим кілька фактів.

1. Для того, щоб додати нескінченний список ненульових чисел і отримати кінцевий результат, «більшість» з цих чисел має бути «дуже близько» 0.
2. Якщо ряд розходиться, це означає, що сума нескінченного списку чисел не є кінцевою (вона може наближатися$\pm \infty$ або коливатися), а:
   1. Ряд все одно буде розходитися, якщо перший термін буде знятий.
   2. Ряд все одно буде розходитися, якщо видалити перші 10 термінів.
   3. Ряд все одно буде розходитися, якщо прибрати перші$1,000,000$ терміни.
   4. Ряд все одно буде розходитися, якщо будь-яке кінцеве число членів з будь-якої точки серії буде видалено.

Ці поняття дуже важливі і лежать в основі наступних двох теорем.

теорема 63$n^\text{th}$--Term Test for Convergence/Divergence

Розглянемо серію$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$.

1. Якщо$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходиться, то$\lim\limits_{n\to\infty}a_n =0$.
2. Якщо$\lim\limits_{n\to\infty}a_n \neq 0$, то$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ розходиться.

Зауважте, що два твердження в теоремі 63 дійсно однакові. Для того щоб сходитися, межа членів послідовності повинна наближатися до 0; якщо їх немає, то ряд не сходиться.

Озираючись назад, ми можемо застосувати цю теорему до ряду в прикладі 8.2.1. У цьому прикладі$n^\text{th}$ терміни обох послідовностей не сходяться до 0, тому ми можемо швидко зробити висновок, що кожен ряд розходиться.

Важливо! Ця теорема не стверджує, що якщо$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0$ потім$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходиться. Стандартним прикладом цього є Гармонічна серія, як наведено в Key Idea 31. Гармонічна послідовність$\{1/n\}$,, сходиться до 0; Гармонічна серія,$\sum\limits_{n=1}^\infty 1/n$, розходиться.

теорема 64 нескінченна природа рядів

Збіжність або розбіжність залишаються незмінними шляхом додавання або віднімання будь-якого скінченного числа членів. Тобто:

1. Дивергентний ряд залишатиметься розбіжним із додаванням або відніманням будь-якого скінченного числа членів.
2. Конвергентний ряд залишатиметься збіжним із додаванням або відніманням будь-якого скінченного числа членів. (Звичайно, сума, швидше за все, зміниться.)

Розглянемо ще раз Гармонічний ряд,$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1n$ який розходиться; тобто послідовність часткових сум$\{S_n\}$ зростає (дуже, дуже повільно) без обмежень. Можна подумати, що, видаливши «великі» терміни послідовності, можливо, ряд сходиться. Це просто не так. Наприклад, сума перших 10 мільйонів членів серії гармонік становить близько 16,7. Видалення перших 10 мільйонів членів з Гармонічного ряду змінює$n^\text{th}$ часткові суми, фактично віднімаючи 16,7 з суми. Однак послідовність, яка зростає без зв'язки, все одно буде рости без зв'язки, коли з неї віднімається 16,7.

Рівняння нижче ілюструють це. Перший рядок показує нескінченну суму Гармонічних Серій, розділених на суму перших 10 мільйонів членів плюс сума «всього іншого». Наступне рівняння показує, що ми віднімаємо ці перші 10 мільйонів членів з обох сторін. Остаточне рівняння використовує трохи «псуедо-математики»: віднімання 16,7 з «нескінченності» все ще залишає одне з «нескінченністю».

$$\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1n &= \sum\limits_{n=1}^{10,000,000}\frac1n \quad + \sum\limits_{n=10,000,001}^\infty \frac1n \\ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac1n - \sum\limits_{n=1}^{10,000,000}\frac1n &= \sum\limits_{n=10,000,001}^\infty \frac1n \\ \infty - 16.7 &= \infty.\end{align*}$$

Цей розділ познайомив нас із серіями та визначив кілька спеціальних типів серій, властивості збіжності яких добре відомі: ми знаємо, коли$p$ -серія або геометричний ряд сходяться або розходяться. Більшість серій, з якими ми стикаємося, не є одним із цих типів, але нам все ще цікаво знати, сходяться вони чи ні. Наступні три розділи представляють тести, які допомагають нам визначити, сходиться чи ні заданий ряд.

Автори та авторства

• Template:ContribApexCalc